Дискретті шама бөлу заңымен берілген. Дискретті кездейсоқ шама, ықтималдық таралу заңы

Дискретті белгілі бір ықтималдығы бар жеке, оқшауланған мәндерді қабылдай алатын кездейсоқ шама деп аталады.

МЫСАЛ 1.Елтаңбаның үш тиын лақтырылған кезде пайда болуының саны. Мүмкін мәндер: 0, 1, 2, 3, олардың ықтималдықтары сәйкесінше тең:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

МЫСАЛ 2.Бес элементтен тұратын құрылғыдағы сәтсіз элементтердің саны. Мүмкін мәндер: 0, 1, 2, 3, 4, 5; олардың ықтималдығы әрбір элементтің сенімділігіне байланысты.

Дискретті кездейсоқ шама Xтаралу қатары немесе таралу функциясы (интегралдық үлестіру заңы) арқылы берілуі мүмкін.

Таратуға жақын барлығының жиынтығы деп аталады мүмкін мәндер Xменжәне олардың сәйкес ықтималдықтары ri = P(X = xмен), оны кесте түрінде көрсетуге болады:

x i				x n
p i				р n

Сонымен бірге ықтималдықтар rменшартты қанағаттандыру

rмен= 1 себебі

мұндағы мүмкін мәндер саны nақырлы немесе шексіз болуы мүмкін.

Таралу қатарының графикалық көрінісі таралу полигоны деп аталады . Оны құру үшін кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері ( Xмен) х осі бойымен және ықтималдықтармен сызылады rмен- ордината осінің бойымен; ұпай Аменкоординаттарымен ( Xi,рмен) үзік сызықтармен жалғанады.

Бөлу функциясы кездейсоқ шама Xфункциясы деп аталады Ф(X), нүктесінде кімнің мәні Xкездейсоқ шаманың ықтималдығына тең Xбұл мәннен аз болады X, яғни

F(x) = P(X< х).

Функция Ф(X) үшін дискретті кездейсоқ шамаформула бойынша есептеледі

Ф(X) = rмен , (1.10.1)

мұнда жиынтық барлық мәндер бойынша жүзеге асырылады мен, ол үшін Xмен< х.

МЫСАЛ 3.Құрамында 100 өнімі бар, оның ішінде 10 ақауы бар партиядан олардың сапасын тексеру үшін бес өнім кездейсоқ таңдалады. Бөлулер қатарын құрастырыңыз кездейсоқ сан Xүлгідегі ақаулы өнімдер.

Шешім. Үлгіде ақаулы өнімдердің саны 0-ден 5-ке дейінгі кез келген бүтін сан болуы мүмкін болғандықтан, мүмкін мәндер Xменкездейсоқ шама Xтең:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Ықтималдық Р(X = k) үлгіде дәл бар к(к = 0, 1, 2, 3, 4, 5) ақаулы өнімдер, тең

P (X = k) =.

Осы формуланы 0,001 дәлдікпен есептеу нәтижесінде біз мынаны аламыз:

r 1 = P(X = 0) @ 0,583;r 2 = P(X = 1) @ 0,340;r 3 = P(X = 2) @ 0,070;

r 4 = P(X = 3) @ 0,007;r 5 = P(X= 4) @ 0;r 6 = P(X = 5) @ 0.

Тексеру үшін теңдікті пайдалану rк=1, біз есептеулер мен дөңгелектеу дұрыс орындалғанына көз жеткіземіз (кестені қараңыз).

x i
p i

МЫСАЛ 4.Кездейсоқ шаманың таралу қатары берілген X :

x i
p i

Ықтималдық үлестіру функциясын табыңыз Ф(X) осы кездейсоқ шаманың және оны құрастырыңыз.

Шешім. Егер XСонда £10 Ф(X)= P(X<X) = 0;

егер 10<XСонда £20 Ф(X)= P(X<X) = 0,2 ;

егер 20<XСонда £30 Ф(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

егер 30<XСонда £40 Ф(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

егер 40<XСонда £50 Ф(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Егер X> 50, содан кейін Ф(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

X; мағынасы Ф(5); кездейсоқ шаманың ықтималдығы Xсегментінен мәндерді қабылдайды. Бөлу көпбұрышын тұрғызу.

1. Дискретті кездейсоқ шаманың F(x) таралу функциясы белгілі X:

Кездейсоқ шаманың таралу заңын қойыңыз Xкесте түрінде.

1. Кездейсоқ шаманың таралу заңы берілген X:

X	–28	–20	–12	–4
б	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Дүкенде өнімнің толық ассортименті үшін сапа сертификаттары болуы ықтималдығы 0,7 құрайды. Комиссия аудандағы төрт дүкенде сертификаттардың бар-жоғын тексерді. Бөлу заңын құрастыр, есепте математикалық күтужәне тексеру кезінде сапа сертификаттары табылмаған дүкендер санының шашырауы.

1. 350 бірдей қорап партиясындағы электр шамдарының орташа жану уақытын анықтау үшін сынаққа әр қораптан бір электр шамы алынды. Таңдалған электр лампаларының орташа жану ұзақтығы абсолютті мәндегі бүкіл партияның орташа жану ұзақтығынан 7 сағаттан азырақ ерекшелену ықтималдығын төменнен бағалаңыз, егер электр шамдарының жану ұзақтығының стандартты ауытқуы әрбір қорап 9 сағаттан аз.

1. Телефон станциясында 0,002 ықтималдықпен қате қосылым орын алады. 500 қосылымның ішінде келесінің орын алу ықтималдығын табыңыз:

Кездейсоқ шаманың таралу функциясын табыңыз X. Функциялардың графиктерін құру және. Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін, дисперсиясын, модасын және медианасын есептеңіз X.

1. Автоматты машина роликтер жасайды. Олардың диаметрі орташа мәні 10 мм болатын қалыпты таралған кездейсоқ шама деп саналады. Диаметрі 9,7 мм-ден 10,3 мм-ге дейінгі аралықта 0,99 ықтималдығымен стандартты ауытқу қандай болады.

Үлгі А: 6 9 7 6 4 4

B үлгісі: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

17 нұсқа.

1. 35 бөліктің ішінде 7-і стандартты емес. Кездейсоқ алынған екі бөліктің стандартты болу ықтималдығын табыңыз.

1. Үш сүйек лақтырылады. Түсірілген жақтардың нүктелерінің қосындысы 9-ға еселік болу ықтималдығын табыңыз.

1. «ШЫҚҚАН» сөзі әрқайсысында бір әріп жазылған карталардан тұрады. Карточкалар араластырылып, қайтарылмай бір-бірден шығарылады. Көріну ретімен алынған әріптердің сөзді құрау ықтималдығын табыңыз: а) ШЫҚҚАН; б) ТҰТМАҚ.

1. Урнада 6 қара және 5 ақ шар бар. Кездейсоқ 5 шар тартылды. Олардың арасында мыналар болу ықтималдығын табыңыз:
1. 2 ақ шар;
2. 2 ақ шардан аз;
3. кем дегенде бір қара шар.

1. Абір сынақта 0,4 тең. Келесі оқиғалардың ықтималдығын табыңыз:
1. оқиға А 7 тәуелсіз сынақ сериясында 3 рет пайда болады;
2. оқиға А 400 сынақ сериясында кемінде 220 және 235 реттен көп емес пайда болады.

1. Зауыт базаға 5000 жақсы сапалы өнім жөнелтті. Жолдағы әрбір өнімнің зақымдану ықтималдығы 0,002. Саяхат кезінде 3-тен аспайтын өнімнің зақымдалу ықтималдығын табыңыз.

1. Бірінші урнада 4 ақ және 9 қара шар, ал екінші урнада 7 ақ және 3 қара шар бар. Бірінші урнадан кездейсоқ түрде 3 шар, ал екінші урнадан 4 доп алынады.

1. Кездейсоқ шаманың таралу заңы берілген X:

Оның математикалық күтілуі мен дисперсиясын есептеңіз.

1. Қорапта 10 қарындаш бар. Кездейсоқ 4 қарындаш салынған. Кездейсоқ айнымалы X– таңдалғандар арасындағы көк қарындаштар саны. Оның таралу заңын, 2-ші және 3-ші реттердің бастапқы және орталық моменттерін табыңыз.

1. Техникалық бақылау бөлімі 475 бұйымның ақауын тексереді. Өнімнің ақаулы болу ықтималдығы 0,05. 0,95 ықтималдықпен сынақтан өткендердің арасында ақауы бар өнімдердің саны қамтылатын шекараларды табыңыз.

1. Телефон станциясында 0,003 ықтималдықпен қате қосылым орын алады. 1000 қосылымның ішінде келесінің орын алу ықтималдығын табыңыз:
1. кем дегенде 4 қате қосылым;
2. екіден көп дұрыс емес қосылымдар.

1. Кездейсоқ шама таралу тығыздығы функциясы арқылы анықталады:

Кездейсоқ шаманың таралу функциясын табыңыз X. Функциялардың графиктерін құру және. Х кездейсоқ шамасының математикалық күтуін, дисперсиясын, модасын және медианасын есептеңіз.

1. Кездейсоқ шама тарату функциясы арқылы анықталады:

1. Үлгі бойынша Акелесі мәселелерді шешу:
1. вариациялық қатар құру;

· орташа таңдау;

· таңдау дисперсиясы;

Режим және медиана;

А үлгісі: 0 0 2 2 1 4

1. есептеу сандық сипаттамаларвариациялық қатар:

· орташа таңдау;

· таңдау дисперсиясы;

үлгінің стандартты ауытқуы;

· режим және медиана;

B үлгісі: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

18 нұсқа.

1. 10 лотерея билетінің ішінде 2 ұтыс. Кездейсоқ алынған бес билеттің біреуі жеңімпаз болу ықтималдығын табыңыз.

1. Үш сүйек лақтырылады. Домаланған нүктелердің қосындысы 15-тен үлкен болу ықтималдығын табыңыз.

1. «ПЕРИМЕТР» сөзі әрқайсысында бір әріп жазылған карталардан тұрады. Карточкалар араластырылып, қайтарылмай бір-бірден шығарылады. Алынған әріптердің сөзді құрау ықтималдығын табыңыз: а) ПЕРИМЕТР; б) МЕТР.

1. Урнада 5 қара және 7 ақ шар бар. Кездейсоқ 5 шар тартылды. Олардың арасында мыналар болу ықтималдығын табыңыз:
1. 4 ақ шар;
2. 2 ақ шардан аз;
3. кем дегенде бір қара шар.

1. Оқиғаның орын алу ықтималдығы Абір сынақта 0,55 тең. Келесі оқиғалардың ықтималдығын табыңыз:
1. оқиға А 5 сынақ сериясында 3 рет пайда болады;
2. оқиға А 300 сынақ сериясында кемінде 130 және 200 реттен көп емес пайда болады.

1. Консервіленген өнімдердің банкасының сыну ықтималдығы 0,0005. 2000 банканың ішінде екеуінде ағып кету ықтималдығын табыңыз.

1. Бірінші урнада 4 ақ және 8 қара шар, ал екінші урнада 7 ақ және 4 қара шар бар. Бірінші урнадан кездейсоқ екі шар, ал екінші урнадан кездейсоқ үш шар алынады. Барлық тартылған шарлардың түсі бірдей болу ықтималдығын табыңыз.

1. Құрастыруға келген бөлшектердің ішінде бірінші станоктан 0,1%, екіншіден 0,2%, үшіншіден 0,25%, төртіншіден 0,5% ақау бар. Машина өнімділігінің коэффициенттері сәйкесінше 4:3:2:1. Кездейсоқ алынған бөлік стандартты болып шықты. Бөлшектің бірінші станокта жасалу ықтималдығын табыңыз.

1. Кездейсоқ шаманың таралу заңы берілген X:

Оның математикалық күтілуі мен дисперсиясын есептеңіз.

1. Электриктің үш шамы бар, олардың әрқайсысында 0,1 ықтималдығы бар шамдар розеткаға бұралып, ток қосылады. Ток қосылған кезде ақаулы шам бірден жанып, басқасымен ауыстырылады. Тексерілген шамдар санының таралу заңын, математикалық күтуін және дисперсиясын табыңыз.

1. Нысанаға тию ықтималдығы 900 тәуелсіз атудың әрқайсысы үшін 0,3 құрайды. Чебышев теңсіздігін пайдаланып, нысанаға кемінде 240, ең көбі 300 рет тию ықтималдығын бағалаңыз.

1. Телефон станциясында 0,002 ықтималдықпен қате қосылым орын алады. 800 қосылымның ішінде келесінің орын алу ықтималдығын табыңыз:
1. кем дегенде үш қате қосылым;
2. төрттен көп қате қосылымдар.

1. Кездейсоқ шама таралу тығыздығы функциясы арқылы анықталады:

Кездейсоқ X шамасының таралу функциясын табыңыз. Функциялардың графиктерін салыңыз және. Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін, дисперсиясын, модасын және медианасын есептеңіз X.

1. Кездейсоқ шама тарату функциясы арқылы анықталады:

1. Үлгі бойынша Акелесі мәселелерді шешу:
1. вариациялық қатар құру;
2. салыстырмалы және жинақталған жиіліктерді есептеу;
3. эмпирикалық таралу функциясын құрастыру және оның графигін салу;
4. вариациялық қатардың сандық сипаттамаларын есептеңіз:

· орташа таңдау;

· таңдау дисперсиясы;

үлгінің стандартты ауытқуы;

· режим және медиана;

Үлгі А: 4 7 6 3 3 4

1. B үлгісін пайдаланып, келесі есептерді шешіңіз:
1. топтастырылған вариациялық қатар құру;
2. гистограмма мен жиілік көпбұрышын құру;
3. вариациялық қатардың сандық сипаттамаларын есептеңіз:

· орташа таңдау;

· таңдау дисперсиясы;

үлгінің стандартты ауытқуы;

· режим және медиана;

B үлгісі: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

19-нұсқа.

1. Учаскеде 16 әйел және 5 ер адам жұмыс істейді. 3 адам жеке нөмірлері арқылы кездейсоқ таңдалды. Таңдалған адамдардың барлығы ер адам болу ықтималдығын табыңыз.

2. Төрт тиын лақтырылды. Тек екі тиынның «елтаңбасы» болу ықтималдығын табыңыз.

3. «ПСИХОЛОГИЯ» сөзі әрқайсысында бір әріп жазылған карточкалардан тұрады. Карточкалар араластырылып, қайтарылмай бір-бірден шығарылады. Алынған әріптердің сөз болу ықтималдығын табыңыз: а) ПСИХОЛОГИЯ; б) ҚЫЗМЕТКЕРЛЕР.

4. Урнада 6 қара және 7 ақ шар бар. Кездейсоқ 5 шар тартылды. Олардың арасында мыналар болу ықтималдығын табыңыз:

а. 3 ақ шар;

б. 3 ақ шардан аз;

в. кем дегенде бір ақ шар.

5. Болған оқиғаның ықтималдығы Абір сынақта 0,5-ке тең. Келесі оқиғалардың ықтималдығын табыңыз:

а. оқиға А 5 тәуелсіз сынақ сериясында 3 рет пайда болады;

б. оқиға А 50 сынақ сериясында кемінде 30 және 40 реттен көп емес пайда болады.

6. Бір режимде бір-бірінен тәуелсіз жұмыс істейтін, олардың жетегі 0,8 жұмыс сағатына қосылған 100 бірдей қуаттылықтағы станоктар бар. Кез келген уақытта 70-тен 86-ға дейінгі станоктардың қосылу ықтималдығы қандай?

7. Бірінші урнада 4 ақ және 7 қара шар, ал екінші урнада 8 ақ және 3 қара шар бар. Бірінші урнадан кездейсоқ түрде 4 шар, екіншісінен 1 шар алынады. Тартылған шарлардың ішінде тек 4 қара шардың болу ықтималдығын табыңыз.

8. Автосалонға күн сайын үш маркалы автокөліктер көлемі бойынша түседі: «Москвич» – 40%; «Ока» - 20%; «Волга» - барлық импортталған автокөліктердің 40%. «Москвич» автокөліктерінің ішінде 0,5% ұрлыққа қарсы құрылғы, Ока – 0,01%, Волга – 0,1%. Тексеруге алынған көлікте ұрлыққа қарсы құрылғының болуы ықтималдығын табыңыз.

9. Сандар және сегментте кездейсоқ таңдалады. Бұл сандардың теңсіздіктерді қанағаттандыру ықтималдығын табыңыз.

10. Кездейсоқ шаманың таралу заңы берілген X:

X
б	0,1	0,2	0,3	0,4

Кездейсоқ шаманың таралу функциясын табыңыз X; мағынасы Ф(2); кездейсоқ шаманың ықтималдығы Xаралығындағы мәндерді қабылдайды. Бөлу көпбұрышын тұрғызу.

Белгілі болғандай, кездейсоқ шама жағдайға байланысты белгілі бір мәндерді қабылдай алатын айнымалы шама деп аталады. Кездейсоқ айнымалылар латын әліпбиінің бас әріптерімен (X, Y, Z) белгіленеді, ал олардың мәндері сәйкес кіші әріптермен (x, y, z) белгіленеді. Кездейсоқ шамалар үзіліссіз (дискретті) және үздіксіз болып бөлінеді.

Дискретті кездейсоқ шама кездейсоқ шама, белгілі бір нөлдік емес ықтималдығы бар мәндердің ақырлы немесе шексіз (есептелетін) жиынын ғана қабылдайды.

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы кездейсоқ шаманың мәндерін олардың сәйкес ықтималдықтарымен байланыстыратын функция. Бөлу заңын келесі жолдардың бірімен көрсетуге болады.

1 . Бөлу заңын кесте арқылы беруге болады:

мұндағы λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V)пайдалану арқылы үлестіру функциясы F(x) , ол әрбір x мәні үшін X кездейсоқ шамасының x-тен кіші мәнді қабылдау ықтималдығын анықтайды, яғни. F(x) = P(X< x).

F(x) функциясының қасиеттері

3 . Бөлу заңын графикалық түрде көрсетуге болады – таралу көпбұрышы (көпбұрыш) (3 есепті қараңыз).

Кейбір мәселелерді шешу үшін бөлу заңын білу қажет емес екенін ескеріңіз. Кейбір жағдайларда бөлу заңының маңызды белгілерін көрсететін бір немесе бірнеше сандарды білу жеткілікті. Бұл кездейсоқ шаманың «орташа мәні» мағынасы бар сан немесе кездейсоқ шаманың орташа мәнінен ауытқуының орташа өлшемін көрсететін сан болуы мүмкін.

Мұндай сандар кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары деп аталады. :

• Дискретті кездейсоқ шаманың негізгі сандық сипаттамалары Математикалық күту дискретті кездейсоқ шаманың (орташа мәні)..
  M(X)=Σ x i p i
• Биномдық үлестірім үшін M(X)=np, Пуассон таралымы үшін M(X)=λ Дисперсия дискретті кездейсоқ шама D(X)=M2 немесе D(X) = M(X 2)− 2
  . X–M(X) айырмасы кездейсоқ шаманың оның математикалық күтуінен ауытқуы деп аталады.
• Биномдық үлестірім үшін D(X)=npq, Пуассон таралымы үшін D(X)=λ Стандартты ауытқу (стандартты ауытқу).

σ(X)=√D(X)

«Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы» тақырыбына есептер шығару мысалдары

1-тапсырма.

1000 лотерея билеті шығарылды: оның 5-і 500 рубль, 10-ы 100 рубль, 20-сы 50 рубль, 50-і 10 рубль ұтып алады. Кездейсоқ Х шамасының ықтималдылық таралу заңын анықтаңыз – бір билет бойынша ұтыс. Шешім.

Есептің шарттарына сәйкес X кездейсоқ шамасының келесі мәндері мүмкін: 0, 10, 50, 100 және 500.

Ұтыссыз билеттер саны 1000 – (5+10+20+50) = 915, содан кейін P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Сол сияқты, біз барлық басқа ықтималдықтарды табамыз: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X) =500) = 5/1000=0,005. Алынған заңды кесте түрінде көрсетейік:

X шамасының математикалық күтуін табайық: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Құрылғы бір-бірінен тәуелсіз жұмыс істейтін үш элементтен тұрады.

1000 лотерея билеті шығарылды: оның 5-і 500 рубль, 10-ы 100 рубль, 20-сы 50 рубль, 50-і 10 рубль ұтып алады. Кездейсоқ Х шамасының ықтималдылық таралу заңын анықтаңыз – бір билет бойынша ұтыс. 1. Бір тәжірибеде әрбір элементтің істен шығу ықтималдығы 0,1. Бір тәжірибедегі сәтсіз элементтер санының таралу заңын құрастырыңыз, таралу көпбұрышын тұрғызыңыз. F(x) таралу функциясын тауып, графигін сал. Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуін, дисперсиясын және стандартты ауытқуын табыңыз.

Дискретті кездейсоқ шама X = (бір тәжірибедегі сәтсіз элементтердің саны) келесі мүмкін мәндерге ие: x 1 = 0 (құрылғы элементтерінің ешқайсысы сәтсіз аяқталды), x 2 = 1 (бір элемент сәтсіз), x 3 = 2 ( екі элемент орындалмады ) және x 4 =3 (үш элемент орындалмады). Элементтердің істен шығуы бір-бірінен тәуелсіз, әрбір элементтің істен шығу ықтималдығы тең, сондықтан ол қолданылады Бернулли формуласы
. n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 шартына сәйкес шамалардың ықтималдықтарын анықтаймыз:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;

Тексеріңіз: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Сонымен, Х-тің қалаған биномдық таралу заңы келесідей болады:

3. Біз абсцисса осі бойымен x i мүмкін мәндерін, ал сәйкес p i ықтималдықтарды ордината осі бойымен саламыз. М 1 (0; 0,729), М 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) нүктелерін тұрғызайық. Бұл нүктелерді түзу кесінділерімен қосу арқылы біз қажетті таралу көпбұрышын аламыз.

F(x) = Р(Х) таралу функциясын табайық<0) = 0;
x ≤ 0 үшін F(x) = Р(Х< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
0 үшін< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
1 үшін< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
2 үшін

x > 3 үшін F(x) = 1 болады, өйткені оқиға сенімді.

4. F(x) функциясының графигі
Х биномдық таралуы үшін:
- математикалық күту M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;

- стандартты ауытқу σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52. 1-тарау.

§ Дискретті кездейсоқ шама

1. Кездейсоқ шама туралы түсініктер.

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы. Анықтама

: Кездейсоқ – тестілеу нәтижесінде оның мәндерінің мүмкін жиынынан алдын ала белгісіз және кездейсоқ себептерге байланысты бір ғана мән алатын шама.

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы. Кездейсоқ шамалардың екі түрі бар: дискретті және үздіксіз. : X кездейсоқ шама шақырылады дискретті

(үзіліссіз) егер оның мәндерінің жиыны ақырлы немесе шексіз болса, бірақ есептелетін болса.

Басқаша айтқанда, дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерін қайта нөмірлеуге болады.

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы. : Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері мен олардың ықтималдықтары арасындағы сәйкестікті атайды.

Х дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңын кесте түрінде көрсетуге болады, оның бірінші жолында кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндері өсу ретімен, ал екінші жолда осылардың сәйкес ықтималдықтары көрсетілген. құндылықтар, яғни.

мұндағы р1+ р2+…+ рn=1

Мұндай кесте дискретті кездейсоқ шаманың таралу қатары деп аталады.

Егер кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің жиыны шексіз болса, онда p1+ p2+…+ pn+… қатары жинақталады және оның қосындысы 1-ге тең болады.

Х дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңын графикалық түрде бейнелеуге болады, ол үшін координаталары (xi; pi), i=1,2,…n нүктелерін тізбектей қосатын тікбұрышты координаталар жүйесінде сынық сызық тұрғызылады. Алынған сызық деп аталады тарату полигоны (Cурет 1).

Органикалық химия" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">органикалық химия сәйкесінше 0,7 және 0,8. Х кездейсоқ шамасының таралу заңын құрастырыңыз - студент тапсыратын емтихандар саны.

Шешім. Қарастырылған кездейсоқ шама Х емтихан нәтижесінде келесі мәндердің бірін қабылдай алады: x1=0, x2=1, x3=2.

Осы мәндердің ықтималдығын табайық, оқиғаларды белгілейік.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" ені="259" биіктігі="66 src=">

Сонымен, Х кездейсоқ шамасының таралу заңы кестемен берілген:

Бақылау: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Тарату функциясы

Кездейсоқ шаманың толық сипаттамасы таралу функциясы арқылы да беріледі.

Анықтамасы: Х дискретті кездейсоқ шамасының таралу функциясы F(x) функциясы деп аталады, ол әрбір x мәні үшін X кездейсоқ шамасының x-тен кіші мән қабылдау ықтималдығын анықтайды:

F(x)=P(X<х)

Геометриялық тұрғыдан таралу функциясы X кездейсоқ шамасының сан түзуінде х нүктесінің сол жағында жатқан нүкте арқылы көрсетілген мәнді қабылдау ықтималдығы ретінде түсіндіріледі.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) – (-∞;+∞) бойынша кемімейтін функция;

3) F(x) - сол жақта x= xi (i=1,2,...n) нүктелерінде үздіксіз және қалған барлық нүктелерде үздіксіз;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Егер Х дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңы кесте түрінде берілсе:

онда F(x) таралу функциясы мына формуламен анықталады:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

x≤ x1 үшін 0,

р1 кезінде x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 x2 кезінде< х≤ х3

x>xn үшін 1.

Оның графигі 2-суретте көрсетілген:

§ 3. Дискретті кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары.

Маңызды сандық сипаттамалардың бірі – математикалық күту.

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы.: Математикалық күту M(X) дискретті кездейсоқ шама X - оның барлық мәндерінің және олардың сәйкес ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы:

M(X) = ∑ xiри= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Математикалық күту кездейсоқ шаманың орташа мәнінің сипаттамасы ретінде қызмет етеді.

Математикалық күтудің қасиеттері:

1)M(C)=C, мұндағы С – тұрақты шама;

2)M(C X)=C M(X),

3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), мұндағы X, Y тәуелсіз кездейсоқ шамалар;

5)M(X±C)=M(X)±C, мұндағы С – тұрақты шама;

Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің оның орташа мәнінің айналасында дисперсия дәрежесін сипаттау үшін дисперсия қолданылады.

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы.: Дисперсия D ( X ) кездейсоқ шама X – кездейсоқ шаманың оның математикалық күтуінен квадраттық ауытқуының математикалық күтуі:

Дисперсиялық қасиеттері:

1)D(C)=0, мұндағы С – тұрақты шама;

2)D(X)>0, мұндағы Х – кездейсоқ шама;

3)D(C X)=C2 D(X), мұндағы С – тұрақты шама;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), мұндағы X, Y тәуелсіз кездейсоқ шамалар;

Дисперсияны есептеу үшін жиі формуланы пайдалану ыңғайлы:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

мұндағы M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

D(X) дисперсиясы квадрат кездейсоқ шаманың өлшеміне ие, бұл әрқашан қолайлы бола бермейді. Сондықтан √D(X) мәні кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің дисперсиясының көрсеткіші ретінде де қолданылады.

Анықтамасы: Стандартты ауытқу σ(X) X кездейсоқ шама дисперсияның квадрат түбірі деп аталады:

№2 тапсырма.Х дискретті кездейсоқ шаманы бөлу заңымен белгілейді:

P2, үлестіру функциясы F(x) табыңыз және оның графигін, сонымен қатар M(X), D(X), σ(X) сызыңыз.

Шешімі: Х кездейсоқ шамасының мүмкін мәндерінің ықтималдық қосындысы 1-ге тең болғандықтан, онда

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

F(x)=P(X) таралу функциясын табайық

Геометриялық тұрғыдан бұл теңдікті былайша түсіндіруге болады: F(x) – кездейсоқ шаманың сан осінде х нүктесінің сол жағында жатқан нүкте арқылы берілген мәнді қабылдау ықтималдығы.

Егер x≤-1 болса, онда F(x)=0, өйткені (-∞;x) бойынша бұл кездейсоқ шаманың жалғыз мәні жоқ;

Егер -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Егер 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) екі мән бар x1=-1 және x2=0;

Егер 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Егер 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Егер x>3 болса, онда F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, өйткені төрт мән x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 (-∞;x) және x5=3 интервалына түседі.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> x≤-1 кезінде 0,

-1 кезінде 0,1<х≤0,

0 кезінде 0,2<х≤1,

F(x)= 1 кезінде 0,5<х≤2,

2 кезінде 0,7<х≤3,

1 кезінде x>3

F(x) функциясын графикалық түрде көрсетейік (3-сурет):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" ені="158 биіктігі=29" биіктігі="29">≈1,2845.

§ 4. Биномдық таралу заңы

дискретті кездейсоқ шама, Пуассон заңы.

Анықтамасы: Бином дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы деп аталады X – А оқиғасының n тәуелсіз қайталанатын сынақтардағы пайда болу саны, олардың әрқайсысында А оқиғасы p ықтималдығымен болуы мүмкін немесе q = 1-p ықтималдығымен болмайды. Сонда P(X=m) - n сынақта А оқиғасының дәл m рет пайда болу ықтималдығы Бернулли формуласы арқылы есептеледі:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Екілік заң бойынша бөлінген Х кездейсоқ шамасының математикалық күтуі, дисперсиясы және стандартты ауытқуы сәйкесінше мына формулалар арқылы табылады:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> А оқиғасының ықтималдығы - әрбір сынақта "бесті шығару" бірдей және 1/6 тең , яғни P(A)=p=1/6, онда P(A)=1-p=q=5/6, мұндағы

- «А» баллын ала алмау.

Х кездейсоқ шама келесі мәндерді қабылдай алады: 0;1;2;3.

Бернулли формуласы арқылы X-тің мүмкін мәндерінің әрқайсысының ықтималдығын табамыз:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Бұл. Х кездейсоқ шамасының таралу заңы келесідей болады:

Бақылау: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Х кездейсоқ шамасының сандық сипаттамаларын табайық:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

№4 тапсырма.Автоматты машина бөлшектерге мөр басады. Өндірілген бөліктің ақаулы болу ықтималдығы 0,002. Таңдалған 1000 бөліктің арасында болу ықтималдығын табыңыз:

а) 5 ақаулы;

б) кем дегенде біреуі ақаулы.

Шешімі: n=1000 саны үлкен, ақаулы бөліктің пайда болу ықтималдығы p=0,002 аз, ал қарастырылып отырған оқиғалар (бөлік ақаулы болып шығады) тәуелсіз, сондықтан Пуассон формуласы орындалады:

Рn(m)= e- λ λм

λ=np=1000 0,002=2 табайық.

а) 5 ақаулы бөліктің болу ықтималдығын табыңыз (m=5):

Р1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

б) Кем дегенде бір ақаулы бөліктің болу ықтималдығын табыңыз.

А оқиғасы - «таңдалған бөліктердің кем дегенде біреуі ақаулы» оқиғаға қарама-қайшы - «барлық таңдалған бөліктер ақаулы емес.» Сондықтан, P(A) = 1-P(). Демек, қажетті ықтималдық мынаған тең: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

Өзіндік жұмысқа арналған тапсырмалар.

1.1

1.2. Дисперсті кездейсоқ шама X үлестіру заңымен анықталады:

p4, үлестіру функциясы F(X) табыңыз және оның графигін, сонымен қатар M(X), D(X), σ(X) сызыңыз.

1.3. Қорапта 9 маркер бар, оның 2-і енді жазылмайды. Кездейсоқ 3 маркер алыңыз. Кездейсоқ Х айнымалысы - алынғандар арасындағы жазу маркерлерінің саны. Кездейсоқ шаманың таралу заңын құрастырыңыз.

1.4. Кітапхана сөресінде кездейсоқ ретпен орналастырылған 6 оқулық бар, оның 4-і тігілген. Кітапханашы кездейсоқ 4 оқулықты алады. Кездейсоқ Х айнымалысы - алынғандар арасындағы байланыстырылған оқулықтар саны. Кездейсоқ шаманың таралу заңын құрастырыңыз.

1.5. Билетте екі тапсырма бар. Ықтималдық дұрыс шешімбірінші есеп 0,9, екіншісі 0,7. Кездейсоқ шама Х – билеттегі дұрыс шешілген есептер саны. Таралу заңын құрыңыз, осы кездейсоқ шаманың математикалық күтуін және дисперсиясын есептеңіз, сонымен қатар F(x) таралу функциясын табыңыз және оның графигін құрыңыз.

1.6. Үш атқыш нысанаға атуда. Бір оқпен нысанаға тию ықтималдығы бірінші атқанда 0,5, екіншісінде 0,8, үшіншіде 0,7. Кездейсоқ X айнымалысы - атқыштар бір уақытта бір рет атса, нысанаға тиген соққылар саны. M(X),D(X) таралу заңын табыңыз.

1.7. Баскетболшы допты себетке түсіреді, әр соққының соғу ықтималдығы 0,8. Әрбір соққы үшін ол 10 ұпай алады, ал жіберіп алған жағдайда оған ұпай берілмейді. Кездейсоқ Х шамасының таралу заңын құрастырыңыз – баскетболшының 3 соққыда алған ұпай саны. M(X),D(X), сондай-ақ оның 10 ұпайдан жоғары алу ықтималдығын табыңыз.

1.8. Карточкаларға әріптер жазылған, барлығы 5 дауысты және 3 дауыссыз дыбыс. Кездейсоқ 3 карта таңдалады және алынған карта әр жолы қайтарылады. Кездейсоқ X шама - алынғандар арасындағы дауысты дыбыстардың саны. Бөлу заңын құрып, M(X),D(X),σ(X) табыңыз.

1.9. Орташа алғанда, келісім-шарттардың 60%-ы бойынша сақтандыру компаниясы сақтандыру жағдайының басталуына байланысты сақтандыру сомасын төлейді. Кездейсоқ таңдалған төрт шарттың ішінде сақтандыру сомасы төленген келісім-шарттар саны - кездейсоқ шама X үшін бөлу заңын құрастырыңыз. Осы шаманың сандық сипаттамаларын табыңыз.

1.10. Радиостанция екі жақты байланыс орнатылғанша белгілі бір аралықпен шақыру белгілерін (төрттен аспайтын) жібереді. Шақыру белгісіне жауап алу ықтималдығы 0,3. Кездейсоқ Х айнымалысы - жіберілген шақыру белгілерінің саны. Бөлу заңын құрып, F(x) табыңыз.

1.11. 3 кілт бар, олардың біреуі ғана құлыпқа сәйкес келеді. Х-кездейсоқ шамасының таралу заңын құрастырыңыз, егер сыналған кілт келесі әрекеттерге қатыспаса, құлыпты ашу әрекеттерінің саны. M(X),D(X) табыңыз.

1.12. Сенімділік үшін үш құрылғының дәйекті тәуелсіз сынақтары жүргізіледі. Әрбір келесі құрылғы алдыңғысы сенімді болып шыққан жағдайда ғана сыналады. Әрбір құрылғы үшін сынақтан өту ықтималдығы 0,9 құрайды. Тексерілетін құрылғылардың кездейсоқ шамасының Х-санының таралу заңын құрастырыңыз.

1.13 .X дискретті кездейсоқ шамасының үш мүмкін мәні бар: x1=1, x2, x3 және x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Электрондық құрылғы блогында 100 бірдей элемент бар. Т уақыт ішінде әрбір элементтің істен шығу ықтималдығы 0,002. Элементтер дербес жұмыс істейді. Т уақытында екі элементтен артық істен шығу ықтималдығын табыңыз.

1.15. Оқулық 50 000 дана таралыммен жарық көрді. Оқулықтың қате тігілу ықтималдығы 0,0002. Айналым құрамында болу ықтималдығын табыңыз:

а) төрт ақаулы кітап;

б) ақауы бар екі кітаптан кем.

1 .16. Әр минут сайын АТС-ке келіп түсетін қоңыраулар саны Пуассон заңы бойынша λ=1,5 параметрімен бөлінеді. Бір минуттан кейін келесілердің келу ықтималдығын табыңыз:

а) екі шақыру;

б) кем дегенде бір қоңырау.

1.17.

Z=3X+Y болса, M(Z),D(Z) табыңыз.

1.18. Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың таралу заңдары берілген:

Z=X+2Y болса, M(Z),D(Z) табыңыз.

Жауаптары:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0,4; x≤-2 кезінде 0,

-2 кезінде 0,3<х≤0,

F(x)= 0 кезінде 0,5<х≤2,

2 кезінде 0,9<х≤5,

1 кезінде x>5

1.2. p4=0,1; x≤-1 кезінде 0,

-1 кезінде 0,3<х≤0,

0 кезінде 0,4<х≤1,

F(x)= 1 кезінде 0,6<х≤2,

2 кезінде 0,7<х≤3,

1 кезінде x>3

M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> x≤0 кезінде 0,

0 кезінде 0,03<х≤1,

F(x)= 1-де 0,37<х≤2,

x>2 үшін 1

M(X)=2; D(X)=0,62

M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈

M(X)=2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. а)0,0189; б) 0,00049

1.16. а)0,0702; б) 0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

2-тарау. Үздіксіз кездейсоқ шама

Анықтамасы: Үздіксіз Олар сан сызығының шекті немесе шексіз аралығын толығымен толтыратын шаманы барлық мүмкін мәндері деп атайды.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің саны шексіз екені анық.

Үздіксіз кездейсоқ шаманы тарату функциясы арқылы анықтауға болады.

Анықтамасы:Ф бөлу функциясы үздіксіз X кездейсоқ шама F(x) функциясы деп аталады, ол әрбір мән үшін xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">анықтайды. Р

Бөлу функциясын кейде жинақтаушы таралу функциясы деп те атайды.

Бөлу функциясының қасиеттері:

1)1≤ F(x) ≤1

2) Үздіксіз кездейсоқ шама үшін таралу функциясы кез келген нүктеде үздіксіз және барлық жерде дифференциалданатын болады, мүмкін жеке нүктелерден басқа.

3) Х кездейсоқ шамасының (a;b), [a;b], [a;b] аралықтарының біріне түсу ықтималдығы F(x) функциясының мәндерінің айырмасына тең. a және b нүктелерінде, яғни. R(a)<Х

4) Үздіксіз X кездейсоқ шамасының бір бөлек мән қабылдау ықтималдығы 0-ге тең.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Үздіксіз кездейсоқ шаманы үлестіру функциясы арқылы көрсету жалғыз жол емес. Ықтималдылықтың таралу тығыздығы (таралу тығыздығы) ұғымын енгізейік.

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы. : Ықтималдылықтың таралу тығыздығы f ( x ) Үздіксіз X кездейсоқ шамасының таралу функциясының туындысы, яғни:

Ықтималдық тығыздық функциясын кейде дифференциалды таралу функциясы немесе дифференциалды таралу заңы деп те атайды.

f(x) ықтималдық тығыздығының таралу графигі деп аталады ықтималдықтың таралу қисығы .

Ықтималдық тығыздығының таралу қасиеттері:

1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> мекенжайында

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6

∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/) 2-4))=8с;

б) F(x)= ∫ f(x)dx екені белгілі

Сондықтан, х

егер x≤2 болса, онда F(x)= ∫ 0dx=0;

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6

егер x>6 болса, онда F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) =

1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1.

Осылайша,

x≤2 кезінде 0,

F(x)= (x-2)2/16 кезінде 2<х≤6,

x>6 үшін 1.

F(x) функциясының графигі 3-суретте көрсетілген

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> x≤0 кезінде 0,

F(x)= (3 арктан x)/π 0 кезінде<х≤√3,

x>√3 үшін 1.

f(x) дифференциалдық үлестіру функциясын табыңыз.

Шешімі: f(x)= F’(x) болғандықтан, онда

DIV_ADBLOCK93">

· Математикалық күту M (X) Үздіксіз кездейсоқ шама Х теңдігімен анықталады:

M(X)= ∫ x f(x)dx,

егер бұл интеграл абсолютті жинақталса.

· Биномдық үлестірім үшін M(X)=np, Пуассон таралымы үшін M(X)=λ D ( X ) Үздіксіз X кездейсоқ шама теңдікпен анықталады:

D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, немесе

D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2

· Стандартты ауытқу σ(X) үздіксіз кездейсоқ шама теңдікпен анықталады:

Бұрын дисперсті кездейсоқ шама үшін қарастырылған математикалық күту мен дисперсияның барлық қасиеттері үздіксіз шамалар үшін де жарамды.

№3 тапсырма.Кездейсоқ шама X берілген дифференциалдық функция f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Тәуелсіз шешуге арналған мәселелер.

2.1. Үздіксіз кездейсоқ шама X үлестіру функциясы арқылы анықталады:

x≤0 кезінде 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 үшін 0,

F(x)= - π/6 кезінде cos 3x<х≤ π/3,

x> π/3 үшін 1.

f(x) дифференциалды таралу функциясын табыңыз, сонымен қатар

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

x≤2 кезінде 0,

f(x)= c x 2 кезінде<х≤4,

x>4 үшін 0.

2.4. Үздіксіз кездейсоқ шама Х таралу тығыздығымен анықталады:

x≤0 кезінде 0,

f(x)= 0 кезінде c √x<х≤1,

x>1 үшін 0.

Табу: а) в саны; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" ені="36" биіктігі="39"> x кезінде,

0 кезінде x.

Табыңдар: а) F(x) және оның графигін салыңдар; b) M(X),D(X), σ(X); в) төрт тәуелсіз сынақта Х мәні (1;4) интервалына жататын мәннен тура 2 есе көп қабылдау ықтималдығы.

2.6. Үздіксіз X кездейсоқ шамасының ықтималдық таралу тығыздығы берілген:

f(x)= 2(x-2) х кезінде,

0 кезінде x.

Табыңдар: а) F(x) және оның графигін салыңдар; b) M(X),D(X), σ (X); в) үш тәуелсіз сынақта X мәні сегментіне жататын мәннен дәл 2 есе көп қабылдау ықтималдығы.

2.7. f(x) функциясы былай берілген:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. f(x) функциясы былай берілген:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

Табыңыз: а) функция X кездейсоқ шамасының ықтималдық тығыздығы болатын c тұрақтысының мәнін; б) үлестіру функциясы F(x).

2.9. (3;7) интервалында шоғырланған Х кездейсоқ шама F(x)= таралу функциясы арқылы анықталады. Оның ықтималдығын табыңыз

X кездейсоқ шама келесі мәнді қабылдайды: а) 5-тен кем, б) 7-ден кем емес.

2.10. Кездейсоқ шама X, интервалға шоғырланған (-1;4),

F(x)= таралу функциясымен берілген. Оның ықтималдығын табыңыз

кездейсоқ шама X мына мәнді қабылдайды: а) 2-ден кем, б) 4-тен кем емес.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Табу: а) в саны; b) M(X); в) ықтималдығы P(X> M(X)).

2.12. Кездейсоқ шама дифференциалды таралу функциясымен анықталады:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Табыңыз: a) M(X); б) ықтималдық P(X≤M(X))

2.13. Rem үлестірімі ықтималдық тығыздығымен берілген:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0 үшін.

f(x) шын мәнінде ықтималдық тығыздық функциясы екенін дәлелдеңіз.

2.14. Үздіксіз X кездейсоқ шамасының ықтималдық таралу тығыздығы берілген:

DIV_ADBLOCK96">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(Cурет 5)

2.16. Х кездейсоқ шама заңға сәйкес бөлінеді тікбұрышты үшбұрыш"(0;4) аралықта (5-сурет). Бүкіл сандар түзуіндегі f(x) ықтималдық тығыздығының аналитикалық өрнегін табыңыз.

Жауаптар

x≤0 кезінде 0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 үшін 0,

π/6 кезінде F(x)= 3sin 3x<х≤ π/3, Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е.

x≤a үшін 0,

f(x)= a үшін<х

x≥b үшін 0.

f(x) функциясының графигі суретте көрсетілген. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a үшін 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

№1 тапсырма.Кездейсоқ Х шамасы кесіндіде біркелкі таралған. Табу:

а) ықтималдықтың таралу тығыздығы f(x) және оның графигін салу;

б) F(x) үлестіру функциясын және оның графигін салу;

c) M(X),D(X), σ(X).

Шешімі: Жоғарыда қарастырылған формулаларды пайдалана отырып, a=3, b=7, біз табамыз:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" ені="22" биіктігі="39"> 3≤х≤7,

x>7 үшін 0

Оның графигін тұрғызайық (3-сурет):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 кезінде x≤3,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">4-сурет

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" ені="14" биіктігі="49 src="> 0 кезінде x<0,

f(x)= λе-λх x≥0 үшін.

Көрсеткіштік заң бойынша бөлінген Х кездейсоқ шамасының таралу функциясы мына формуламен берілген:

DIV_ADBLOCK98">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" ені="161" биіктігі="119 src="> 6-сурет

Көрсеткіштік үлестірімнің математикалық күтуі, дисперсиясы және стандартты ауытқуы сәйкесінше мынаған тең:

M(X)= , D(X)=, σ (Х)=

Осылайша, математикалық күту мен көрсеткіштік үлестірімнің стандартты ауытқуы бір-біріне тең.

Х-тің (a;b) интервалына түсу ықтималдығы мына формуламен есептеледі:

П(а<Х

№2 тапсырма.Құрылғының ақаусыз жұмыс істеу уақыты орташа есеппен 100 сағатты құрайды. Құрылғының ақаусыз жұмыс уақыты экспоненциалды таралу заңы бар деп есептей отырып, мынаны табыңыз.

а) ықтималдықтың таралу тығыздығы;

б) бөлу функциясы;

c) құрылғының ақаусыз жұмыс уақытының 120 сағаттан асу ықтималдығы.

Шешімі: Шарт бойынша математикалық үлестірім M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 кезінде x<0,

a) x≥0 үшін f(x)= 0,01e -0,01x.

b) x кезінде F(x)= 0<0,

1-e -0,01x x≥0 кезінде.

в) Бөлу функциясы арқылы қажетті ықтималдықты табамыз:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3.

§ 3. Қалыпты таралу заңы

Анықтамасы: Үздіксіз кездейсоқ шама X бар қалыпты таралу заңы (Гаусс заңы), егер оның таралу тығыздығы келесідей болса:

,

мұндағы m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Қалыпты таралу қисығы деп аталады қалыпты немесе Гаусс қисығы (Cурет 7)

Қалыпты қисық x=m түзуіне қатысты симметриялы, x=a кезінде максимумы бар, -ге тең.

Қалыпты заң бойынша бөлінген Х кездейсоқ шамасының таралу функциясы мына формула бойынша Лаплас функциясы Ф (х) арқылы өрнектеледі:

,

Лаплас функциясы қайда орналасқан.

Пікір: Ф(x) функциясы тақ (Ф(-х)=-Ф(х)), сонымен қатар x>5 үшін Ф(х) ≈1/2 деп алуға болады.

F(x) таралу функциясының графигі суретте көрсетілген. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" ені="218" биіктігі="33">

Ауытқудың абсолюттік мәні оң δ санынан кіші болу ықтималдығы мына формуламен есептеледі:

Атап айтқанда, m=0 үшін келесі теңдік орындалады:

«Үш сигма ережесі»

Егер Х кездейсоқ шамасының m және σ параметрлері бар қалыпты таралу заңы болса, онда оның мәні (a-3σ; a+3σ) интервалында жататыны анық дерлік, өйткені

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" ені="157" биіктігі="57 src=">a)

б) формуланы қолданайық:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" ені="369" биіктігі="38 src=">

Ф(х) функция мәндерінің кестесінен Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413 табамыз.

Сонымен, қалаған ықтималдық:

P(28

Өзіндік жұмысқа арналған тапсырмалар

3.1. Х кездейсоқ шама (-3;5) интервалында біркелкі таралған. Табу:

б) үлестіру функциясы F(x);

в) сандық сипаттамалар;

d) ықтималдығы P(4<х<6).

3.2. Кездейсоқ Х шамасы кесіндіде біркелкі таралған. Табу:

а) таралу тығыздығы f(x);

б) үлестіру функциясы F(x);

в) сандық сипаттамалар;

г) ықтималдық P(3≤x≤6).

3.3. Автомагистральда автоматты бағдаршам орнатылған, оның жасыл шамы көліктер үшін 2 минут, сары 3 секунд және қызыл түс 30 секунд және т.б. жанып тұрады. Автомобиль тас жол бойымен кездейсоқ уақыт сәтінде жүреді. Көліктің бағдаршамнан тоқтаусыз өту ықтималдығын табыңыз.

3.4. Метро пойыздары тұрақты түрде 2 минуттық аралықпен жүреді. Жолаушы перронға кездейсоқ уақытта кіреді. Жолаушы пойызды 50 секундтан артық күту ықтималдығы қандай? Кездейсоқ Х шамасының математикалық күтуін табыңыз - пойыздың күту уақыты.

3.5. Тарату функциясы арқылы берілген көрсеткіштік үлестірімнің дисперсиясын және стандартты ауытқуын табыңыз:

F(x)= 0 x кезінде<0,

x≥0 үшін 1-8x.

3.6. Үздіксіз кездейсоқ шама Х ықтималдықтың таралу тығыздығымен анықталады:

x кезінде f(x)= 0<0,

x≥0 кезінде 0,7 e-0,7x.

а) Қарастырылып отырған кездейсоқ шаманың таралу заңын атаңыз.

б) F(X) таралу функциясын және Х кездейсоқ шамасының сандық сипаттамаларын табыңыз.

3.7. Кездейсоқ шама Х ықтималдық үлестірім тығыздығымен көрсетілген экспоненциалды заңға сәйкес бөлінеді:

x кезінде f(x)= 0<0,

x≥0 кезінде 0,4 e-0,4 x.

Сынақ нәтижесінде Х (2,5;5) интервалынан мән алу ықтималдығын табыңыз.

3.8. Үздіксіз кездейсоқ шама X үлестіру функциясымен анықталған экспоненциалды заңға сәйкес таратылады:

F(x)= 0 x кезінде<0,

x≥0 кезінде 1-0,6x

Сынақ нәтижесінде X сегментінен мән алу ықтималдығын табыңыз.

3.9. Қалыпты таралған кездейсоқ шаманың күтілетін мәні және стандартты ауытқуы сәйкесінше 8 және 2 болады:

а) таралу тығыздығы f(x);

б) сынақ нәтижесінде Х (10;14) интервалынан мән алу ықтималдығы.

3.10. Кездейсоқ шама Х қалыпты түрде 3,5 математикалық күтумен және 0,04 дисперсиясымен бөлінеді. Табу:

а) таралу тығыздығы f(x);

б) сынау нәтижесінде Х сегментінен мән алу ықтималдығы.

3.11. Х кездейсоқ шама қалыпты түрде M(X)=0 және D(X)=1 болып бөлінеді. Оқиғалардың қайсысы: |X|≤0,6 немесе |X|≥0,6 ықтимал?

3.12. X кездейсоқ шама M(X)=0 және D(X)=1 арқылы қалыпты түрде таралады (-0,5;-0,1) немесе (1;2) бір сынақ кезінде мәнді қабылдау ықтималдығы жоғары?

3.13. Акцияның ағымдағы бағасын M(X)=10 ден болатын қалыпты үлестіру заңы арқылы модельдеуге болады. бірлік және σ (X)=0,3 ден. бірлік Табу:

а) акцияның ағымдағы бағасының 9,8 ден бастап болу ықтималдығы. бірлік 10,4 күнге дейін бірлік;

б) «үш сигма ережесін» пайдаланып, ағымдағы акция бағасы орналасатын шекараларды табыңыз.

3.14. Зат жүйелі қателерсіз өлшенеді. Кездейсоқ өлшеу қателері орташа квадраттық қатынасы σ=5г болатын қалыпты заңға бағынады. Төрт тәуелсіз тәжірибеде 3r абсолютті мәнде үш салмақ өлшеудегі қатенің болмайтынының ықтималдығын табыңыз.

3.15. Х кездейсоқ шама қалыпты жағдайда M(X)=12,6 болып бөлінеді. Кездейсоқ шаманың (11,4;13,8) интервалына түсу ықтималдығы 0,6826. σ стандартты ауытқуын табыңыз.

3.16. X кездейсоқ шама M(X)=12 және D(X)=36 кезінде қалыпты түрде таралады, 0,9973 ықтималдығы бар Х кездейсоқ шамасының сынақ нәтижесінде түсетін аралығын табыңыз.

3.17. Автоматты машинада жасалған бөлшек, егер оның бақыланатын параметрінің номиналды мәннен Х ауытқуы модуль 2 өлшем бірлігінен асып кетсе, ақаулы болып саналады. X кездейсоқ шама M(X)=0 және σ(X)=0,7 болғанда қалыпты түрде таралады деп болжанады. Машина ақаулы бөлшектердің қанша пайызын шығарады?

3.18. Бөлшектің X параметрі номиналды мәнге тең 2 математикалық күтумен және 0,014 стандартты ауытқумен қалыпты түрде таратылады. Х-тің номиналды мәннен ауытқуы номиналды мәннен 1%-дан аспау ықтималдығын табыңыз.

Жауаптар

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" ені="14" биіктігі="110 src=">

b) x≤-3 үшін 0,

F(x)= солға">

3.10. a)f(x)= ,

б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

Анықтама 1

Кездейсоқ шама $X$ дискретті (үзіліссіз) деп аталады, егер оның мәндерінің жиыны шексіз немесе шекті, бірақ есептелетін болса.

Басқаша айтқанда, шама дискретті деп аталады, егер оның мәндерін нөмірлеуге болады.

Кездейсоқ шаманы үлестіру заңы арқылы сипаттауға болады.

$X$ дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңын кесте түрінде көрсетуге болады, оның бірінші жолы кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерін өсу ретімен көрсетеді, ал екінші жолда осылардың сәйкес ықтималдықтары көрсетіледі. құндылықтар:

1-сурет.

мұндағы $р1+ р2+ ... + рn = 1$.

Бұл кесте дискретті кездейсоқ шаманың таралуына жақын.

Кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің жиыны шексіз болса, $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ қатары жинақталады және оның қосындысы $1$-ға тең болады.

$X$ дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңын графикалық түрде көрсетуге болады, ол үшін координаталар жүйесінде үзік сызық (тікбұрышты) тұрғызылады, ол $(xi;pi), i=1,2 координаталары бар нүктелерді тізбектей қосады. ... n$. Біз алған желі деп аталады тарату полигоны.

2-сурет.

$X$ дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңын аналитикалық түрде де көрсетуге болады (формула арқылы):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Дискретті ықтималдықтарға амалдар

Ықтималдықтар теориясының көптеген есептерін шешу кезінде дискретті кездейсоқ шаманы тұрақтыға көбейту, екі кездейсоқ шаманы қосу, көбейту, оларды дәрежеге ауыстыру операцияларын орындау қажет. Мұндай жағдайларда кездейсоқ дискретті шамалар үшін келесі ережелерді сақтау қажет:

Анықтама 3

Көбейту$X$ дискретті кездейсоқ шамасының $K$ тұрақтысы дискретті кездейсоқ шама $Y=KX,$ теңдіктерімен анықталады: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ сол жақ(x_i\оң)= p_i,\ \ i=\үстіңгі сызық(1,\ n).$

Анықтама 4

$x$ және $y$ екі кездейсоқ шама шақырылады тәуелсіз, егер олардың біреуінің таралу заңы алынған екінші шама қандай мүмкін болатын мәндерге байланысты болмаса.

Анықтама 5

Сомаекі тәуелсіз дискретті кездейсоқ шама $X$ және $Y$ кездейсоқ шама $Z=X+Y деп аталады,$ теңдіктермен анықталады: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\оң)= P\left(x_i\оң)P\сол(y_j\оң)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\сол (x_i\оң)=p_i$, $P\left(y_j\оң)=p"_j$.

Анықтама 6

Көбейтуекі тәуелсіз дискретті кездейсоқ шама $X$ және $Y$ кездейсоқ шама $Z=XY деп аталады,$ теңдіктермен анықталады: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Кейбір $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ өнімдері бір-біріне тең болуы мүмкін екенін ескерейік. Бұл жағдайда туындыны қосу ықтималдығы сәйкес ықтималдықтардың қосындысына тең болады.

Мысалы, $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $онда $x_2y_3$ (немесе сол $x_5y_7$) ықтималдығы $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 тең болады. .$

Жоғарыда айтылғандар сомаға да қатысты. $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ болса, $x_1+\ y_2$ (немесе сол $x_4+\ y_6$) ықтималдығы $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6 тең болады. $

$X$ және $Y$ кездейсоқ шамалары тарату заңдарымен анықталады:

3-сурет.

Мұндағы $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Сонда $X+Y$ қосындысының үлестіру заңы түрге ие болады.

4-сурет.

Ал $XY$ өнімінің таралу заңы пішінге ие болады

5-сурет.

Бөлу функциясы

Кездейсоқ шаманың толық сипаттамасы таралу функциясы арқылы да беріледі.

Геометриялық тұрғыдан үлестіру функциясы $X$ кездейсоқ шамасының $x$ нүктесінің сол жағында жатқан нүкте арқылы сандар түзуінде көрсетілген мәнді қабылдау ықтималдығы ретінде түсіндіріледі.