Дискретті кездейсоқ шаманың таралуын ескере отырып, табыңыз. Дискретті кездейсоқ шама және оның сандық сипаттамалары
1-тарау. Дискретті кездейсоқ шама
§ 1. Кездейсоқ шама туралы түсініктер.
Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы.
Анықтама : Кездейсоқ – тестілеу нәтижесінде тек бір мәнді қабылдайтын шама мүмкін жиынтығыолардың мағынасы алдын ала белгісіз және кездейсоқ себептерге байланысты.
Екі түрі бар кездейсоқ айнымалылар: дискретті және үздіксіз.
Анықтама : X кездейсоқ шама шақырылады дискретті (үзіліссіз) егер оның мәндерінің жиыны ақырлы немесе шексіз болса, бірақ есептелетін болса.
Басқаша айтқанда, дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерін қайта нөмірлеуге болады.
Кездейсоқ шаманы оның таралу заңы арқылы сипаттауға болады.
Анықтама : Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері мен олардың ықтималдықтары арасындағы сәйкестікті атайды.
Х дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңын кесте түрінде көрсетуге болады, оның бірінші жолында кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндері өсу ретімен, ал екінші жолда осылардың сәйкес ықтималдықтары көрсетілген. құндылықтар, яғни.
мұндағы р1+ р2+…+ рn=1
Мұндай кесте дискретті кездейсоқ шаманың таралу қатары деп аталады.
Егер кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің жиыны шексіз болса, онда p1+ p2+…+ pn+… қатары жинақталады және оның қосындысы 1-ге тең болады.
Х дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңын графикалық түрде бейнелеуге болады, ол үшін координаталары (xi; pi), i=1,2,…n нүктелерін тізбектей қосатын тікбұрышты координаталар жүйесінде сынық сызық тұрғызылады. Алынған сызық деп аталады тарату полигоны (Cурет 1).
Органикалық химия" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">органикалық химия сәйкесінше 0,7 және 0,8. Х кездейсоқ шамасының таралу заңын құрастырыңыз - студент тапсыратын емтихандар саны.
Шешім. Емтихан нәтижесінде қарастырылатын кездейсоқ шама Х келесі мәндердің бірін қабылдай алады: x1=0, x2=1, x3=2.
Осы мәндердің ықтималдығын табайық, оқиғаларды белгілейік.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" ені="259" биіктігі="66 src=">
 |
Сонымен, Х кездейсоқ шамасының таралу заңы кестемен берілген:
Бақылау: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Тарату функциясы
Кездейсоқ шаманың толық сипаттамасы да берілген бөлу функциясы.
Анықтамасы: Х дискретті кездейсоқ шамасының таралу функциясы F(x) функциясы деп аталады, ол әрбір x мәні үшін X кездейсоқ шамасының x-тен кіші мәнді қабылдау ықтималдығын анықтайды:
F(x)=P(X<х)
Геометриялық түрде таралу функциясы X кездейсоқ шамасының сан түзуінде х нүктесінің сол жағында жатқан нүктемен көрсетілген мәнді қабылдау ықтималдығы ретінде түсіндіріледі.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) – (-∞;+∞) бойынша кемімейтін функция;
3) F(x) - сол жақта x= xi (i=1,2,...n) нүктелерінде үздіксіз және қалған барлық нүктелерде үздіксіз;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Егер Х дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңы кесте түрінде берілсе:
онда F(x) таралу функциясы мына формуламен анықталады:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
x≤ x1 үшін 0,
р1 кезінде x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 х2 кезінде< х≤ х3
x>xn үшін 1.
Оның графигі 2-суретте көрсетілген:
§ 3. Дискретті кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары.
Маңызды сандық сипаттамалардың бірі – математикалық күту.
Анықтама: Математикалық күту M(X) дискретті кездейсоқ шама X - оның барлық мәндерінің және олардың сәйкес ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы:
M(X) = ∑ xiри= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Математикалық күту кездейсоқ шаманың орташа мәнінің сипаттамасы ретінде қызмет етеді.
Математикалық күтудің қасиеттері:
1)M(C)=C, мұндағы С – тұрақты шама;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), мұндағы X, Y тәуелсіз кездейсоқ шамалар;
5)M(X±C)=M(X)±C, мұндағы С - тұрақты шама;
Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің оның орташа мәнінің айналасында дисперсия дәрежесін сипаттау үшін дисперсия қолданылады.
Анықтама: Дисперсия D ( X ) кездейсоқ шама X – кездейсоқ шаманың оның математикалық күтуінен квадраттық ауытқуының математикалық күтуі:
Дисперсиялық қасиеттері:
1)D(C)=0, мұндағы С – тұрақты шама;
2)D(X)>0, мұндағы Х – кездейсоқ шама;
3)D(C X)=C2 D(X), мұндағы С – тұрақты шама;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), мұндағы X, Y тәуелсіз кездейсоқ шамалар;
Дисперсияны есептеу үшін жиі формуланы пайдалану ыңғайлы:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
мұндағы M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
D(X) дисперсиясы квадрат кездейсоқ шама өлшеміне ие, бұл әрқашан қолайлы бола бермейді. Сондықтан √D(X) мәні кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің дисперсиясының көрсеткіші ретінде де қолданылады.
Анықтамасы: Стандартты ауытқу σ(X) X кездейсоқ шама дисперсияның квадрат түбірі деп аталады:
№2 тапсырма.Х дискретті кездейсоқ шаманы бөлу заңымен белгілейді:
P2, үлестіру функциясы F(x) табыңыз және оның графигін, сонымен қатар M(X), D(X), σ(X) сызыңыз.
Шешімі: Х кездейсоқ шамасының мүмкін мәндерінің ықтималдық қосындысы 1-ге тең болғандықтан, онда
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
F(x)=P(X) таралу функциясын табайық Геометриялық тұрғыдан бұл теңдікті келесідей түсіндіруге болады: F(x) – кездейсоқ шаманың сан осінде х нүктесінің сол жағында жатқан нүкте арқылы берілген мәнді қабылдау ықтималдығы. Егер x≤-1 болса, онда F(x)=0, өйткені (-∞;x) бойынша бұл кездейсоқ шаманың жалғыз мәні жоқ; Егер -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Егер 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) екі мән бар x1=-1 және x2=0; Егер 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Егер 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Егер x>3 болса, онда F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, өйткені төрт мән x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 (-∞;x) және x5=3 интервалына түседі. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> x≤-1 кезінде 0, -1 кезінде 0,1<х≤0, 0 кезінде 0,2<х≤1, F(x)= 1 кезінде 0,5<х≤2, 2 кезінде 0,7<х≤3, 1 кезінде x>3 F(x) функциясын графикалық түрде көрсетейік (3-сурет): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" ені="158 биіктігі=29" биіктігі="29">≈1,2845. §
4. Биномдық таралу заңы дискретті кездейсоқ шама, Пуассон заңы. Анықтамасы: Бином
дискретті кездейсоқ шама X таралу заңы деп аталады - n тәуелсіз қайталанатын сынақтардағы А оқиғасының пайда болу саны, олардың әрқайсысында А оқиғасы р ықтималдығымен болуы мүмкін немесе q = 1-p ықтималдығымен болмайды. Сонда P(X=m) - n сынақта А оқиғасының дәл m рет пайда болу ықтималдығы Бернулли формуласы арқылы есептеледі: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Екілік заң бойынша бөлінген Х кездейсоқ шамасының математикалық күтуі, дисперсиясы және стандартты ауытқуы сәйкесінше мына формулалар арқылы табылады: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> А оқиғасының ықтималдығы - әрбір сынақта "бесті шығару" бірдей және 1/6 тең , яғни P(A)=p=1/6, онда P(A)=1-p=q=5/6, мұндағы - «А» баллын ала алмау. Х кездейсоқ шама келесі мәндерді қабылдай алады: 0;1;2;3. Бернулли формуласы арқылы X-тің мүмкін мәндерінің әрқайсысының ықтималдығын табамыз: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Бұл. Х кездейсоқ шамасының таралу заңы келесідей болады: Бақылау: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Х кездейсоқ шамасының сандық сипаттамаларын табайық: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, №4 тапсырма.Автоматты машина бөлшектерге мөр басады. Өндірілген бөліктің ақаулы болу ықтималдығы 0,002. Таңдалған 1000 бөліктің арасында болу ықтималдығын табыңыз: а) 5 ақаулы; б) кем дегенде біреуі ақаулы. Шешімі:
n=1000 саны үлкен, ақаулы бөліктің пайда болу ықтималдығы p=0,002 аз, ал қарастырылып отырған оқиғалар (бөлік ақаулы болып шығады) тәуелсіз, сондықтан Пуассон формуласы орындалады: Рn(m)= e-
λ
λм λ=np=1000 0,002=2 табайық. а) 5 ақаулы бөліктің болу ықтималдығын табыңыз (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 б) Кем дегенде бір ақаулы бөліктің болу ықтималдығын табыңыз. А оқиғасы - «таңдалған бөліктердің кем дегенде біреуі ақаулы» оқиғаға қарама-қайшы - «барлық таңдалған бөліктер ақаулы емес.» Сондықтан, P(A) = 1-P(). Демек, қажетті ықтималдық мынаған тең: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Өзіндік жұмысқа арналған тапсырмалар.
1.1
1.2.
Дисперсті кездейсоқ шама X үлестіру заңымен анықталады: p4, үлестіру функциясы F(X) табыңыз және оның графигін, сонымен қатар M(X), D(X), σ(X) сызыңыз. 1.3.
Қорапта 9 маркер бар, оның 2-і енді жазылмайды. Кездейсоқ 3 маркер алыңыз. Кездейсоқ Х айнымалысы - алынғандар арасындағы жазу маркерлерінің саны. Кездейсоқ шаманың таралу заңын құрастырыңыз. 1.4.
Кітапхана сөресінде кездейсоқ ретпен орналастырылған 6 оқулық бар, оның 4-і тігілген. Кітапханашы кездейсоқ 4 оқулықты алады. Кездейсоқ Х айнымалысы - алынғандар арасындағы байланыстырылған оқулықтар саны. Кездейсоқ шаманың таралу заңын құрастырыңыз. 1.5.
Билетте екі тапсырма бар. Ықтималдық дұрыс шешімбірінші есеп 0,9, екіншісі 0,7. Кездейсоқ шама Х – билеттегі дұрыс шешілген есептер саны. Таралу заңын құрыңыз, осы кездейсоқ шаманың математикалық күтуін және дисперсиясын есептеңіз, сонымен қатар F(x) таралу функциясын табыңыз және оның графигін құрыңыз. 1.6.
Үш атқыш нысанаға атуда. Бір атқанда нысанаға тию ықтималдығы бірінші атқанда 0,5, екіншісінде 0,8, үшіншіде 0,7. Кездейсоқ X айнымалысы - атқыштар бір уақытта бір оқ атса, нысанаға тиген соққылар саны. M(X),D(X) таралу заңын табыңыз. 1.7.
Баскетболшы допты себетке лақтырады, әр соққының соғу ықтималдығы 0,8. Әрбір соққы үшін ол 10 ұпай алады, ал жіберіп алған жағдайда оған ұпай берілмейді. Кездейсоқ Х шамасының таралу заңын құрастырыңыз – баскетболшының 3 соққыда алған ұпай саны. M(X),D(X), сондай-ақ оның 10 ұпайдан жоғары алу ықтималдығын табыңыз. 1.8.
Карточкаларға әріптер жазылған, барлығы 5 дауысты және 3 дауыссыз дыбыс. Кездейсоқ 3 карта таңдалады және алынған карта әр жолы қайтарылады. Кездейсоқ X шама - алынғандар арасындағы дауысты дыбыстардың саны. Бөлу заңын құрып, M(X),D(X),σ(X) табыңыз. 1.9.
Орташа алғанда, келісім-шарттардың 60%-ы бойынша сақтандыру компаниясы сақтандыру жағдайының басталуына байланысты сақтандыру сомасын төлейді. Кездейсоқ таңдалған төрт шарттың ішінде сақтандыру сомасы төленген келісім-шарттар саны - кездейсоқ шама X үшін бөлу заңын құрастырыңыз. Осы шаманың сандық сипаттамаларын табыңыз. 1.10.
Радиостанция екі жақты байланыс орнатылғанша белгілі бір аралықпен шақыру белгілерін (төрттен аспайтын) жібереді. Шақыру белгісіне жауап алу ықтималдығы 0,3. Кездейсоқ Х айнымалысы - жіберілген шақыру белгілерінің саны. Бөлу заңын құрып, F(x) табыңыз. 1.11.
3 кілт бар, олардың біреуі ғана құлыпқа сәйкес келеді. Х-кездейсоқ шамасының таралу заңын құрастырыңыз, егер сыналған кілт келесі әрекеттерге қатыспаса, құлыпты ашу әрекеттерінің саны. M(X),D(X) табыңыз. 1.12.
Сенімділік үшін үш құрылғының дәйекті тәуелсіз сынақтары жүргізіледі. Әрбір келесі құрылғы алдыңғысы сенімді болып шыққан жағдайда ғана сыналады. Әрбір құрылғы үшін сынақтан өту ықтималдығы 0,9 құрайды. Тексерілетін құрылғылардың кездейсоқ шамасының Х-санының таралу заңын құрастырыңыз. 1.13
.X дискретті кездейсоқ шамасының үш мүмкін мәні бар: x1=1, x2, x3 және x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Электрондық құрылғы блогында 100 бірдей элемент бар. Т уақыт ішінде әрбір элементтің істен шығу ықтималдығы 0,002. Элементтер дербес жұмыс істейді. Т уақытында екі элементтен артық істен шығу ықтималдығын табыңыз. 1.15.
Оқулық 50 000 дана таралыммен жарық көрді. Оқулықтың қате тігілу ықтималдығы 0,0002. Айналым құрамында болу ықтималдығын табыңыз: а) төрт ақаулы кітап; б) ақауы бар екі кітаптан кем. 1
.16.
Әр минут сайын АТС-ке келіп түсетін қоңыраулар саны Пуассон заңы бойынша λ=1,5 параметрімен бөлінеді. Бір минуттан кейін келесілердің келу ықтималдығын табыңыз: а) екі шақыру; б) кем дегенде бір қоңырау. 1.17.
Z=3X+Y болса, M(Z),D(Z) табыңыз. 1.18.
Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың таралу заңдары берілген: Z=X+2Y болса, M(Z),D(Z) табыңыз. Жауаптары:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; x≤-2 кезінде 0, -2 кезінде 0,3<х≤0, F(x)= 0 кезінде 0,5<х≤2, 2 кезінде 0,9<х≤5, 1 кезінде x>5 -1 кезінде 0,3<х≤0, 0 кезінде 0,4<х≤1, F(x)= 1 кезінде 0,6<х≤2, 2 кезінде 0,7<х≤3, 1 кезінде x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> x≤0 кезінде 0, 0 кезінде 0,03<х≤1, F(x)= 1-де 0,37<х≤2, x>2 үшін 1 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
а)0,0189; б) 0,00049 1.16.
а)0,0702; б) 0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. 2-тарау. Үздіксіз кездейсоқ шама
Анықтамасы: Үздіксіз
Олар сан сызығының шекті немесе шексіз аралығын толығымен толтыратын шаманы барлық мүмкін мәндері деп атайды. Үздіксіз кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің саны шексіз екені анық. Үздіксіз кездейсоқ шаманы тарату функциясы арқылы анықтауға болады. Анықтамасы:Ф бөлу функциясы
үздіксіз X кездейсоқ шама F(x) функциясы деп аталады, ол әрбір мән үшін xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">анықтайды. Р Бөлу функциясын кейде жинақтаушы таралу функциясы деп те атайды. Бөлу функциясының қасиеттері:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Үздіксіз кездейсоқ шама үшін таралу функциясы кез келген нүктеде үздіксіз және барлық жерде дифференциалданатын болады, мүмкін жеке нүктелерден басқа. 3) Х кездейсоқ шамасының (a;b), [a;b], [a;b] аралықтарының біріне түсу ықтималдығы F(x) функциясының мәндерінің айырмасына тең. a және b нүктелерінде, яғни. R(a)<Х 4) Үздіксіз X кездейсоқ шамасының бір бөлек мән қабылдау ықтималдығы 0-ге тең. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Үздіксіз кездейсоқ шаманы үлестіру функциясы арқылы көрсету жалғыз жол емес. Ықтималдылықтың таралу тығыздығы (таралу тығыздығы) ұғымын енгізейік. Анықтама
:
Ықтималдылықтың таралу тығыздығы
f
(
x
)
Үздіксіз X кездейсоқ шамасының таралу функциясының туындысы, яғни: Ықтималдық тығыздық функциясын кейде дифференциалды таралу функциясы немесе дифференциалды таралу заңы деп те атайды. f(x) ықтималдық тығыздығының таралу графигі деп аталады ықтималдықтың таралу қисығы
.
Ықтималдық тығыздығының таралу қасиеттері:
1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK13"> мекенжайында https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/) 2-4))=8с; б) F(x)= ∫ f(x)dx екені белгілі Сондықтан, х егер x≤2, онда F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 егер x>6 болса, онда F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. Осылайша, x≤2 кезінде 0, F(x)= (x-2)2/16 кезінде 2<х≤6, x>6 үшін 1. F(x) функциясының графигі 3-суретте көрсетілген https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> x≤0 кезінде 0, F(x)= (3 арктан x)/π 0 кезінде<х≤√3, x>√3 үшін 1. f(x) дифференциалдық үлестіру функциясын табыңыз. Шешімі:
f(x)= F’(x) болғандықтан, онда DIV_ADBLOCK14"> · Математикалық күту M (X)
Үздіксіз X кездейсоқ шама теңдікпен анықталады: M(X)= ∫ x f(x)dx, егер бұл интеграл абсолютті жинақталса. · Дисперсия
D
(
X
)
Үздіксіз кездейсоқ шама Х теңдігімен анықталады: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, немесе D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · Стандартты ауытқу σ(X)
үздіксіз кездейсоқ шама теңдікпен анықталады: Бұрын дисперсті кездейсоқ шама үшін қарастырылған математикалық күту мен дисперсияның барлық қасиеттері үздіксіз шамалар үшін де жарамды. №3 тапсырма.Кездейсоқ шама X берілген дифференциалдық функция f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Тәуелсіз шешуге арналған мәселелер.
2.1.
Үздіксіз кездейсоқ шама X үлестіру функциясы арқылы анықталады: x≤0 кезінде 0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 үшін 0, F(x)= - π/6 кезінде cos 3x<х≤ π/3, x> π/3 үшін 1. f(x) дифференциалды таралу функциясын табыңыз, сонымен қатар Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
x≤2 кезінде 0, f(x)= c x 2 кезінде<х≤4, x>4 үшін 0. 2.4.
Үздіксіз кездейсоқ шама Х таралу тығыздығымен анықталады: x≤0 кезінде 0, f(x)= 0 кезінде c √x<х≤1, x>1 үшін 0. Табу: а) в саны; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" ені="36" биіктігі="39"> x кезінде, 0 кезінде x. Табыңдар: а) F(x) және оның графигін салыңдар; b) M(X),D(X), σ(X); в) төрт тәуелсіз сынақта Х мәні (1;4) интервалына жататын мәннен тура 2 есе көп қабылдау ықтималдығы. 2.6.
Үздіксіз X кездейсоқ шамасының ықтималдық таралу тығыздығы берілген: f(x)= 2(x-2) х кезінде, 0 кезінде x. Мынаны табыңыз: а) F(x) және оның графигін тұрғызыңыз; b) M(X),D(X), σ (X); в) үш тәуелсіз сынақта X мәні сегментіне жататын мәннен дәл 2 есе көп қабылдау ықтималдығы. 2.7.
f(x) функциясы былай берілген: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
f(x) функциясы былай берілген: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Табыңыз: а) функция X кездейсоқ шамасының ықтималдық тығыздығы болатын c тұрақтысының мәнін; б) үлестіру функциясы F(x). 2.9.
(3;7) интервалында шоғырланған Х кездейсоқ шама F(x)= таралу функциясы арқылы анықталады. Оның ықтималдығын табыңыз X кездейсоқ шама келесі мәнді қабылдайды: а) 5-тен кем, б) 7-ден кем емес. 2.10.
Кездейсоқ шама X, интервалға шоғырланған (-1;4), F(x)= таралу функциясымен берілген. Оның ықтималдығын табыңыз кездейсоқ шама X мәнін қабылдайды: а) 2-ден кем, б) 4-тен кем емес. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Табу: а) в саны; b) M(X); в) ықтималдығы P(X> M(X)). 2.12.
Кездейсоқ шама дифференциалды таралу функциясымен анықталады: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Табыңыз: a) M(X); б) ықтималдық P(X≤M(X)) 2.13.
Rem үлестірімі ықтималдық тығыздығымен берілген: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0 үшін. f(x) шын мәнінде ықтималдық тығыздық функциясы екенін дәлелдеңіз. 2.14.
Үздіксіз X кездейсоқ шамасының ықтималдық таралу тығыздығы берілген: DIV_ADBLOCK17"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(Cурет 5) 2.16.
Х кездейсоқ шама заңға сәйкес бөлінеді тікбұрышты үшбұрыш"(0;4) аралықта (5-сурет). Бүкіл сандар түзуіндегі f(x) ықтималдық тығыздығының аналитикалық өрнегін табыңыз. Жауаптар
x≤0 кезінде 0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 үшін 0, π/6 кезінде F(x)= 3sin 3x<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. x≤a үшін 0, f(x)= a үшін<х x≥b үшін 0. f(x) функциясының графигі суретте көрсетілген. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. №1 тапсырма.Кездейсоқ Х шамасы кесіндіде біркелкі таралған. Табу: а) ықтималдықтың таралу тығыздығы f(x) және оның графигін салу; б) F(x) үлестіру функциясын және оның графигін салу; c) M(X),D(X), σ(X). Шешімі:
Жоғарыда қарастырылған формулаларды пайдалана отырып, a=3, b=7, біз табамыз: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" ені="22" биіктігі="39"> 3≤х≤7, x>7 үшін 0 Оның графигін тұрғызайық (3-сурет): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 кезінде x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">4-сурет D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" ені="14" биіктігі="49 src="> 0 кезінде x<0, f(x)= λе-λх x≥0 үшін. Көрсеткіштік заң бойынша бөлінген Х кездейсоқ шамасының таралу функциясы мына формуламен берілген: DIV_ADBLOCK19"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" ені="161" биіктігі="119 src="> 6-сурет Көрсеткіштік үлестірімнің математикалық күтуі, дисперсиясы және стандартты ауытқуы сәйкесінше мынаған тең: M(X)= , D(X)=, σ (Х)= Осылайша, математикалық күту мен көрсеткіштік үлестірімнің стандартты ауытқуы бір-біріне тең. Х-тің (a;b) интервалына түсу ықтималдығы мына формуламен есептеледі: П(а<Х №2 тапсырма.Құрылғының ақаусыз жұмыс істеу уақыты орташа есеппен 100 сағатты құрайды. Құрылғының ақаусыз жұмыс уақыты экспоненциалды таралу заңы бар деп есептей отырып, мынаны табыңыз. а) ықтималдықтың таралу тығыздығы; б) бөлу функциясы; c) құрылғының ақаусыз жұмыс уақытының 120 сағаттан асу ықтималдығы. Шешімі:
Шарт бойынша математикалық үлестірім M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 кезінде x<0, a) x≥0 үшін f(x)= 0,01e -0,01x. b) x кезінде F(x)= 0<0, 1-e -0,01x x≥0 кезінде. в) Бөлу функциясы арқылы қажетті ықтималдықты табамыз: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3. §
3. Қалыпты таралу заңы Анықтамасы:
Үздіксіз кездейсоқ шама X бар қалыпты таралу заңы (Гаусс заңы),
егер оның таралу тығыздығы келесідей болса: мұндағы m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Қалыпты таралу қисығы деп аталады қалыпты немесе Гаусс қисығы
(Cурет 7) Қалыпты заң бойынша бөлінген Х кездейсоқ шамасының таралу функциясы мына формула бойынша Лаплас функциясы Ф (х) арқылы өрнектеледі: Лаплас функциясы қайда орналасқан. Пікір:
Ф(х) функциясы тақ (Ф(-х)=-Ф(х)), сонымен қатар x>5 үшін Ф(х) ≈1/2 деп алуға болады. F(x) таралу функциясының графигі суретте көрсетілген. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" ені="218" биіктігі="33"> Ауытқудың абсолютті мәні оң δ санынан кіші болу ықтималдығы мына формуламен есептеледі: Атап айтқанда, m=0 үшін келесі теңдік орындалады: «Үш сигма ережесі»
Егер Х кездейсоқ шамасының m және σ параметрлері бар қалыпты таралу заңы болса, онда оның мәні (a-3σ; a+3σ) интервалында жататыны анық дерлік, өйткені https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" ені="157" биіктігі="57 src=">a) б) формуланы қолданайық: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" ені="369" биіктігі="38 src="> Ф(х) функциясының мәндер кестесін пайдаланып, Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413 табамыз. Сонымен, қалаған ықтималдық: P(28 Өзіндік жұмысқа арналған тапсырмалар
3.1.
Х кездейсоқ шама (-3;5) интервалында біркелкі таралған. Табу: б) үлестіру функциясы F(x); в) сандық сипаттамалар; d) ықтималдығы P(4<х<6). 3.2.
Кездейсоқ Х шамасы кесіндіде біркелкі таралған. Табу: а) таралу тығыздығы f(x); б) үлестіру функциясы F(x); в) сандық сипаттамалар; г) ықтималдық P(3≤х≤6). 3.3.
Автомагистральда автоматты бағдаршам орнатылған, оның жасыл шамы көліктер үшін 2 минут, сары 3 секунд және қызыл 30 секунд жанып тұрады, т.б. Автомобиль тас жол бойымен кездейсоқ уақытта жүреді. Көліктің бағдаршамнан тоқтаусыз өту ықтималдығын табыңыз. 3.4.
Метро пойыздары тұрақты түрде 2 минуттық аралықпен жүреді. Жолаушы перронға кездейсоқ уақытта кіреді. Жолаушы пойызды 50 секундтан артық күту ықтималдығы қандай? Кездейсоқ Х шамасының математикалық күтуін табыңыз - пойыздың күту уақыты. 3.5.
Тарату функциясы арқылы берілген көрсеткіштік үлестірімнің дисперсиясын және стандартты ауытқуын табыңыз: x кезінде F(x)= 0<0, x≥0 үшін 1-8x. 3.6.
Үздіксіз кездейсоқ шама Х ықтималдықтың таралу тығыздығымен анықталады: x кезінде f(x)= 0<0, x≥0 кезінде 0,7 e-0,7x. а) Қарастырылып отырған кездейсоқ шаманың таралу заңын атаңыз. б) F(X) таралу функциясын және Х кездейсоқ шамасының сандық сипаттамаларын табыңыз. 3.7.
Кездейсоқ шама Х ықтималдық үлестірім тығыздығымен анықталған экспоненциалды заңға сәйкес бөлінеді: x кезінде f(x)= 0<0, x≥0 кезінде 0,4 e-0,4 x. Сынақ нәтижесінде Х (2,5;5) интервалынан мән алу ықтималдығын табыңыз. 3.8.
Үздіксіз кездейсоқ шама X үлестіру функциясымен анықталған экспоненциалды заңға сәйкес таратылады: x кезінде F(x)= 0<0, x≥0 кезінде 1-0,6x Сынақ нәтижесінде X сегментінен мән алу ықтималдығын табыңыз. 3.9.
Қалыпты таралған кездейсоқ шаманың күтілетін мәні және стандартты ауытқуы сәйкесінше 8 және 2 болады: а) таралу тығыздығы f(x); б) сынақ нәтижесінде Х (10;14) интервалынан мән алу ықтималдығы. 3.10.
Кездейсоқ шама Х қалыпты түрде 3,5 математикалық күтумен және 0,04 дисперсиясымен бөлінеді. Табу: а) таралу тығыздығы f(x); б) сынау нәтижесінде Х сегментінен мән алу ықтималдығы. 3.11.
Х кездейсоқ шама қалыпты жағдайда M(X)=0 және D(X)=1 болып бөлінеді. Оқиғалардың қайсысы: |X|≤0,6 немесе |X|≥0,6 ықтимал? 3.12.
X кездейсоқ шама M(X)=0 және D(X)=1 арқылы қалыпты түрде таралады (-0,5;-0,1) немесе (1;2) бір сынақ кезінде мәнді қабылдау ықтималдығы жоғары? 3.13.
Акцияның ағымдағы бағасын M(X)=10 ден болатын қалыпты үлестіру заңы арқылы модельдеуге болады. бірлік және σ (X)=0,3 ден. бірлік Табу: а) акцияның ағымдағы бағасының 9,8 ден бастап болу ықтималдығы. бірлік 10,4 күнге дейін бірлік; б) «үш сигма ережесін» пайдаланып, ағымдағы акция бағасы орналасатын шекараларды табыңыз. 3.14.
Зат жүйелі қателерсіз өлшенеді. Кездейсоқ өлшеу қателері орташа квадраттық қатынасы σ=5г болатын қалыпты заңға бағынады. Төрт тәуелсіз тәжірибеде 3r абсолютті мәнде үш салмақ өлшеудегі қатенің болмайтынының ықтималдығын табыңыз. 3.15.
Х кездейсоқ шама қалыпты жағдайда M(X)=12,6 болып бөлінеді. Кездейсоқ шаманың (11,4;13,8) интервалына түсу ықтималдығы 0,6826. σ стандартты ауытқуын табыңыз. 3.16.
X кездейсоқ шама M(X)=12 және D(X)=36 кезінде қалыпты түрде таралады, 0,9973 ықтималдығы бар Х кездейсоқ шамасының сынақ нәтижесінде түсетін аралығын табыңыз. 3.17.
Автоматты машинада жасалған бөлшек, егер оның бақыланатын параметрінің номиналды мәннен Х ауытқуы модуль 2 өлшем бірлігінен асып кетсе, ақаулы болып саналады. X кездейсоқ шама M(X)=0 және σ(X)=0,7 болғанда қалыпты түрде таралады деп болжанады. Машина ақаулы бөлшектердің қанша пайызын шығарады? 3.18.
Бөлшектің X параметрі номиналды мәнге тең 2 математикалық күтумен және 0,014 стандартты ауытқумен қалыпты түрде таратылады. Х-тің номиналды мәннен ауытқуы номиналды мәннен 1%-дан аспау ықтималдығын табыңыз. Жауаптар
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" ені="14" биіктігі="110 src="> b) x≤-3 үшін 0, F(x)= солға"> 3.10.
a)f(x)= , б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Кездейсоқ айнымалыКездейсоқ себептерге байланысты әрбір сынақтың нәтижесінде бұрын белгісіз бір мән алатын айнымалы шама деп аталады. Кездейсоқ шамалар бас латын әріптерімен белгіленеді: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Түріне қарай кездейсоқ шама болуы мүмкін. дискреттіЖәне үздіксіз. Дискретті кездейсоқ шама- бұл кездейсоқ шама, оның мәндері есептелетін, яғни ақырлы немесе есептелетін шамадан аспауы мүмкін. Есептеу деп біз кездейсоқ шаманың мәндерін нөмірлеуге болатындығын айтамыз. 1-мысал
. Мұнда дискретті кездейсоқ шамалардың мысалдары берілген: а) $n$ ату арқылы нысанаға тиген соққылар саны, мұнда мүмкін мәндер $0,\ 1,\ \dots ,\ n$. б) монетаны лақтыру кезінде төмендеген эмблемалар саны, мұнда мүмкін мәндер $0,\ 1,\\нүктелер,\n$. c) бортқа келген кемелер саны ( есептелетін жиынқұндылықтар). d) АТС-ке келіп түсетін қоңыраулар саны (мәндердің есептелетін жиыны). $X$ дискретті кездейсоқ шама $x_1,\dots,\ x_n$ мәндерін $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ ықтималдықтарымен қабылдай алады. Бұл мәндер мен олардың ықтималдықтарының арасындағы сәйкестік деп аталады дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы. Әдетте, бұл сәйкестік кесте арқылы көрсетіледі, оның бірінші жолында $x_1,\dots ,\ x_n$ мәндері көрсетіледі, ал екінші жолда $p_1,\dots ,\ p_n$ сәйкес келетін ықтималдықтар бар. бұл құндылықтар. $\begin(массив)(|c|c|) 2-мысал
. Кездейсоқ шама $X$ шамасын лақтырған кезде алынған ұпайлар саны болсын. Мұндай кездейсоқ шама $X$ келесі мәндерді қабылдай алады: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Барлық осы мәндердің ықтималдығы $1/6$ тең. Сонда $X$ кездейсоқ шамасының ықтималдық таралу заңы: $\begin(массив)(|c|c|) Түсініктеме. $X$ дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңында $1,\ 2,\ \нүктелер ,\ 6$ оқиғалары оқиғалардың толық тобын құрайтындықтан, онда ықтималдықтардың қосындысы біреуге тең болуы керек, яғни $ \sum(p_i)=1$. Кездейсоқ шаманы күтуоның «орталық» мағынасын белгілейді. Дискретті кездейсоқ шама үшін математикалық күту $x_1,\dots ,\ x_n$ мәндерінің және осы мәндерге сәйкес келетін $p_1,\dots,\ p_n$ ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы ретінде есептеледі, яғни : $M\сол(X\оң)=\сома ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Ағылшын тіліндегі әдебиеттерде $E\left(X\right)$ басқа белгісі қолданылады. Математикалық күтудің қасиеттері$M\сол(X\оң)$: 3-мысал
. $2$ мысалынан $X$ кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табайық. $$M\сол(X\оң)=\қосынды^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\(6))+2\cdot ((1)\(6) үстінде )+3\cdot ((1)\(6) үстінде)+4\cdot ((1)\(6) үстінде)+5\cdot ((1)\(6) үстінде)+6\cdot ((1) )\артық (6))=3,5.$$ $M\left(X\right)$ $X$ кездейсоқ шамасының ең кіші ($1$) және ең үлкен ($6$) мәндерінің арасында жатқанын байқаймыз. 4-мысал
. $X$ кездейсоқ шамасының математикалық күтуі $M\left(X\right)=2$ тең екені белгілі. $3X+5$ кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табыңыз. Жоғарыдағы қасиеттерді пайдалана отырып, $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ аламыз. cdot 2 +5=11$. 5-мысал
. $X$ кездейсоқ шамасының математикалық күтуі $M\left(X\right)=4$ тең екені белгілі. $2X-9$ кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табыңыз. Жоғарыдағы қасиеттерді пайдалана отырып, $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ аламыз. cdot 4 -9=-1$. Математикалық күтулері бірдей кездейсоқ шамалардың мүмкін мәндері олардың орташа мәндерінің айналасында әртүрлі дисперсті болуы мүмкін. Мысалы, екі студенттік топта ықтималдықтар теориясы бойынша емтиханның орташа баллы 4 болып шықты, бірақ бір топта барлығы жақсы оқиды, ал екінші топта тек С және үздік студенттер болды. Сондықтан кездейсоқ шаманың математикалық күтуінің айналасында кездейсоқ шаманың мәндерінің таралуын көрсететін сандық сипаттамасының қажеттілігі туындайды. Бұл қасиет дисперсия болып табылады. Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы$X$ мынаған тең: $$D\сол(X\оң)=\қосынды^n_(i=1)(p_i(\сол(x_i-M\сол(X\оң)\оң))^2).\ $$ Ағылшын әдебиетінде $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ белгісі қолданылады. Көбінесе $D\left(X\right)$ дисперсиясы $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) формуласы арқылы есептеледі. солға(X \оңға)\оңға))^2$. Дисперсиялық қасиеттер$D\сол(X\оң)$: 6-мысал
. $2$ мысалынан $X$ кездейсоқ шамасының дисперсиясын есептейік. $$D\сол(X\оң)=\қосынды^n_(i=1)(p_i(\сол(x_i-M\сол(X\оң)\оң))^2)=((1)\үстінде (6))\cdot (\сол(1-3,5\оң))^2+((1)\(6) үстінде)\cdot (\сол(2-3,5\оң))^2+ \нүкте +( (1)\(6))\cdot (\сол(6-3,5\оң))^2=((35)\(12))\шамамен 2,92.$$ 7-мысал
. $X$ кездейсоқ шамасының дисперсиясы $D\left(X\right)=2$ тең екені белгілі. $4X+1$ кездейсоқ шамасының дисперсиясын табыңыз. Жоғарыдағы қасиеттерді пайдалана отырып, $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ сол(X\оң)=16\cdot 2=32$. 8-мысал
. $X$ кездейсоқ шамасының дисперсиясы $D\left(X\right)=3$ тең екені белгілі. $3-2X$ кездейсоқ шамасының дисперсиясын табыңыз. Жоғарыдағы қасиеттерді пайдалана отырып, $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ сол(X\оң)=4\cdot 3=12$. Дискретті кездейсоқ шаманы үлестірім қатары түрінде көрсету әдісі жалғыз емес, ең бастысы, ол әмбебап емес, өйткені үзіліссіз кездейсоқ шаманы үлестіру қатары арқылы көрсету мүмкін емес. Кездейсоқ шаманы бейнелеудің тағы бір жолы бар – тарату функциясы. Тарату функциясы$X$ кездейсоқ шама $F\left(x\right)$ функциясы деп аталады, ол $X$ кездейсоқ шамасының $x$ қандай да бір тұрақты мәннен кіші мәнді қабылдау ықтималдығын анықтайды, яғни $F\ сол(x\оң )=P\сол(X< x\right)$ Бөлу функциясының қасиеттері: 9-мысал
. $2$ мысалынан $X$ дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңы үшін $F\left(x\right)$ тарату функциясын табайық. $\begin(массив)(|c|c|) Егер $x\le 1$ болса, онда, анық, $F\left(x\right)=0$ (соның ішінде $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$). Егер $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$. Егер $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$. Егер $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$. Егер $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$. Егер $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$. $x > 6$ болса, $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\оң) +P\сол(X=4\оң)+P\сол(X=5\оң)+P\сол(X=6\оң)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$. Сонымен $F(x)=\left\(\бастау(матрица) «Кездейсоқ айнымалылар» тақырыбына есептер шығару мысалдары.
Тапсырма 1
. Лотереяға 100 билет шығарылды. 50 АҚШ доллары көлеміндегі бір ұтыс ойнатылды. және әрқайсысы 10 доллардан он ұтыс. X шамасының таралу заңын табыңыз – мүмкін ұтыс құны. Шешім. X үшін мүмкін мәндер: x 1
= 0; x 2
= 10 және x 3
= 50. 89 «бос» билет болғандықтан, б 1
= 0,89, $10 ұту ықтималдығы. (10 билет) – б 2
= 0,10 және 50 АҚШ доллары ұтып алу үшін -б 3
= 0,01. Осылайша: 0,89
0,10
0,01
Басқару оңай: . Тапсырма 2.
Сатып алушының тауар жарнамасын алдын ала оқып шығу ықтималдығы 0,6 (p = 0,6). Жарнаманың сапасын іріктеп бақылауды алдын ала бірінші болып жарнаманы зерттеген сатып алушылар алдында сауалнама жүргізу арқылы жүзеге асырады. Сауалнамаға алынған сатып алушылардың санына бөлу сериясын құрастырыңыз. Шешім. Есептің шарты бойынша p = 0,6. Қайдан: q=1 -p = 0,4. Осы мәндерді ауыстырсақ, біз мынаны аламыз:және тарату қатарын құрыңыз: p i 0,24
Тапсырма 3.
Компьютер бір-бірінен тәуелсіз жұмыс істейтін үш элементтен тұрады: жүйелік блок, монитор және пернетақта. Кернеудің бір реттік күрт артуы кезінде әрбір элементтің істен шығу ықтималдығы 0,1 құрайды. Бернулли үлестіріміне сүйене отырып, желідегі қуаттың асқынуы кезінде істен шыққан элементтер санының таралу заңын құрастырыңыз. Шешім. қарастырайық Бернулли таралуы(немесе биномдық): бұл ықтималдық n сынақтарда А оқиғасы дәл пайда боладык бір рет: q n б n IN Тапсырмаға оралайық. X үшін мүмкін мәндер (сәтсіздіктер саны): x 0 =0 – элементтердің ешқайсысы сәтсіз аяқталды; x 1 =1 – бір элементтің істен шығуы; x 2 =2 – екі элементтің істен шығуы; x 3 =3 – барлық элементтердің істен шығуы. Өйткені шарт бойынша p = 0,1, онда q = 1 – p = 0,9. Бернулли формуласын қолданып, аламыз , ,
, .
Бақылау: . Демек, қажетті бөлу заңы: 0,729
0,243
0,027
0,001
Мәселе 4. 5000 айналым шығарылды. Бір картридждің ақаулы болу ықтималдығы Шешім. Қолданылатын Пуассонның таралуы: Бұл бөлу ықтималдығын анықтау үшін пайдаланылады, өте үлкен Әрқайсысында А оқиғасының ықтималдығы өте аз болатын сынақтар (массалық сынақтар) саны, А оқиғасы k рет болады: Мұнда n = 5000, p = 0,0002, k = 3. , содан кейін қажетті ықтималдықты табамыз: Мәселе 5. Бірінші соққыға дейін атыс кезінде соққы ықтималдығы р
= 0,6 ату кезінде үшінші атыс кезінде соққының болу ықтималдығын табу керек. Шешім. Геометриялық үлестіруді қолданайық: тәуелсіз сынақтар жүргізілсін, олардың әрқайсысында А оқиғасының пайда болу ықтималдығы p (және пайда болмау q = 1 – p) болады. Сынақ А оқиғасы орын алғаннан кейін аяқталады. Мұндай жағдайларда k-ші сынақта А оқиғасының болу ықтималдығы мына формуламен анықталады. Мұнда p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Демек, . Мәселе 6. Кездейсоқ Х шамасының таралу заңы берілсін: Математикалық күтуді табыңыз. Шешім. . Математикалық күтудің ықтималдық мәні кездейсоқ шаманың орташа мәні екенін ескеріңіз. Мәселе 7. Кездейсоқ Х шамасының дисперсиясын келесі таралу заңымен табыңыз: Шешім. Мұнда
.
Х-тің квадраттық мәні үшін үлестіру заңы 2
:
X 2
Қажетті дисперсия: . Дисперсия кездейсоқ шаманың оның математикалық күтуінен ауытқу (дисперсиялық) өлшемін сипаттайды. Мәселе 8. Кездейсоқ шама таралу арқылы берілсін: 10 м Оның сандық сипаттамаларын табыңыз. Шешуі: м, м 2
,
М 2
, м. Кездейсоқ шама X туралы мынаны айтуға болады: оның математикалық күтуі 6,4 м, дисперсиясы 13,04 м. 2
, немесе – оның математикалық болжамы m ауытқуымен 6,4 м. Екінші тұжырым айқынырақ. Тапсырма 9.
Кездейсоқ айнымалы X бөлу функциясы арқылы берілген: Сынақ нәтижесінде X мәні интервалдағы мәнді қабылдау ықтималдығын табыңыз Шешім. Х-тің берілген аралықтан мән алу ықтималдығы осы интервалдағы интегралдық функцияның өсімшесіне тең, яғни. . Біздің жағдайда және, демек Тапсырма 10.
Дискретті кездейсоқ шама X бөлу заңымен берілген: Бөлу функциясын табыңыз F(x ) және оны сызыңыз. Шешім. Бөлу функциясы болғандықтан, бойынша; бойынша; бойынша; бойынша; Сәйкес диаграмма: 11-есеп.Үздіксіз кездейсоқ шама X дифференциалды таралу функциясымен берілген: Соққы ықтималдығын табыңызаралық үшін X Шешім. Бұл экспоненциалды таралу заңының ерекше жағдайы екенін ескеріңіз. Формуланы қолданайық: Тапсырма 12.
Таралу заңымен анықталған дискретті кездейсоқ шама Х-ның сандық сипаттамаларын табыңыз: –5
X2: X 2 .
,
Қайда Бұл функцияның мәндері кесте арқылы табылады. Біздің жағдайда: . Кестеден табамыз: , сондықтан: Дискретті кездейсоқАйнымалылар – бір-бірінен алшақ мәндерді ғана қабылдайтын және алдын ала тізімдеуге болатын кездейсоқ айнымалылар. Дискретті кездейсоқ шаманы күту 1-мысал Бұл тапсырма үшін жүргізілген есептеулерді кесте түрінде ыңғайлы түрде ұсынуға болады: Pn(к) Дискретті кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімінің көпбұрышы (көпбұрышы). Xсуретте көрсетілген: Күріш. Ықтималдық үлестірім көпбұрышы d.s.v. X=к. d.s.v ықтималдық үлестірімінің сандық сипаттамаларын табайық. X. Тарату режимі 2 (мұнда П 8(2) = 0,2932 максимум). Анықтама бойынша математикалық күту мынаған тең: Мысал 2 Шешім.Егер болса, онда (үшінші қасиет). Шешімі: Шешімі: Шешімі: Немесе . Соңғы теңдеуді шешіп, біз екі түбір аламыз және Тақырыбы: Ықтималдылықты анықтау Шешімі: Ал қолайлы нәтижелердің жалпы саны бестен үш ақаулы бөлікті шығаруға болатын жолдар санына тең, яғни. Шешімі: Тақырыбы: Дискретті кездейсоқ шамалардың ықтималдық үлестірім заңдылықтары Тақырыбы: Ықтималдылықты анықтау Шешімі: Тақырыбы: Дискретті кездейсоқ шамалардың ықтималдық үлестірім заңдылықтары Шешімі: Тақырыбы: Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары Шешімі: Тақырып: Жалпы ықтималдық. Бейс формулалары Шешімі: Тақырыбы: Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары Шешімі: Тақырыбы: Дискретті кездейсоқ шамалардың ықтималдық үлестірім заңдылықтары Шешімі: Тақырыбы: Ықтималдылықты анықтау Тақырыбы: Ықтималдылықты анықтау Шешімі: Тақырып: Жалпы ықтималдық. Бейс формулалары Шешімі: Тақырыбы: Дискретті кездейсоқ шамалардың ықтималдық үлестірім заңдылықтары Содан кейін ықтималдық Шешімі: Тақырып: Жалпы ықтималдық. Бейс формулалары Шешімі: Тақырыбы: Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары Шешімі: Тақырыбы: Ықтималдылықты анықтау Шешімі: Тақырыбы: Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары Шешімі: Тақырыбы: Дискретті кездейсоқ шамалардың ықтималдық үлестірім заңдылықтары Шешімі: Тақырыбы: Ықтималдылықты анықтау Шешімі: Тақырып: Жалпы ықтималдық. Бейс формулалары Шешімі: Тақырыбы: Дискретті кездейсоқ шамалардың ықтималдық үлестірім заңдылықтары N 10 ТАПСЫРМА қате туралы хабарлау Шешімі: N 11 Тапсырма қате туралы хабарлау Шешімі: N 12 ТАПСЫРМА қате туралы хабарлау Шешімі: Содан кейін Тақырыбы: Дискретті кездейсоқ шамалардың ықтималдық үлестірім заңдылықтары Шешімі: Тақырып: Жалпы ықтималдық. Бейс формулалары Шешімі: Тақырыбы: Дискретті кездейсоқ шамалардың ықтималдық үлестірім заңдылықтары Тақырыбы: Ықтималдылықты анықтау
1.2.
p4=0,1; x≤-1 кезінде 0,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a үшін 0,
,
Қалыпты қисық x=m түзуіне қатысты симметриялы, x=a кезінде максимумы бар, -ге тең.
,
1. Дискретті кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірім заңы.
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \нүктелер & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \нүктелер & p_n \\
\hline
\end(массив)$
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end(массив)$2. Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі.
3. Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы.
4. Дискретті кездейсоқ шаманың таралу функциясы.
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(массив)$
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,\ 1< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2,\ 3< x\le 4,\\
2/3, \ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ at\ 4< x\le 5,\\
1, \ үшін\ x > 6.
\соңы(матрица)\оңға.$
, немесе:
. Бүкіл партияда дәл 3 ақаулы картридждің болу ықтималдығы қандай?
, Қайда.
.
.
.
.
үшін 
, Бұл
.
.
– Лаплас функциясы.
Бөлу заңы
Кездейсоқ шаманың таралу заңы – кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері мен олардың сәйкес ықтималдықтары арасындағы байланысты орнататын қатынас.
Дискретті кездейсоқ шаманың таралу қатары оның мүмкін мәндерінің және сәйкес ықтималдықтарының тізімі болып табылады.
Дискретті кездейсоқ шаманың таралу функциясы мына функция болып табылады:
,
х аргументінің әрбір мәні үшін X кездейсоқ шамасының осы x мәнінен кіші мәнді қабылдау ықтималдығын анықтау.
,
мұндағы дискретті кездейсоқ шаманың мәні; - кездейсоқ шаманың Х мәндерін қабылдау ықтималдығы.
Егер кездейсоқ шама мүмкін мәндердің есептелетін жиынын алса, онда: 
.
n тәуелсіз сынақта оқиғаның пайда болу санын математикалық күту:
,
Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы және стандартты ауытқуы
Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы: 
немесе 
.
n тәуелсіз сынақта оқиғаның пайда болу санының ауытқуы 
,
мұндағы p – оқиғаның орын алу ықтималдығы.
Дискретті кездейсоқ шаманың стандартты ауытқуы: 
.
Дискретті кездейсоқ шама (DRV) X үшін ықтималдықтардың таралу заңын құрастырыңыз – сүйек жұбының n = 8 лақтырылуы кезінде кем дегенде бір «алтылықтың» k рет пайда болуының саны. Бөлу көпбұрышын тұрғызу. Таратудың сандық сипаттамаларын табыңыз (тарату режимі, математикалық күту M(X), дисперсия D(X), стандартты ауытқу s(X)). Шешімі:Белгіні енгізейік: А оқиғасы – «жұп сүйекті лақтырған кезде алты саны кем дегенде бір рет пайда болады». А оқиғасының P(A) = p ықтималдығын табу үшін алдымен қарама-қарсы Ā оқиғасының P(Ā) = q ықтималдығын табу ыңғайлырақ – «жұп сүйек лақтырған кезде алтылық ешқашан пайда болмады».
Бір өлгені лақтырған кезде «алтылықтың» пайда болмауы ықтималдығы 5/6 болғандықтан, ықтималдықты көбейту теоремасы бойынша
P(Ā) = q = =.
Сәйкесінше,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Есептегі сынақтар Бернулли схемасына сәйкес келеді, сондықтан d.s.v. шамасы X- саны кЕкі сүйекті лақтырған кезде кем дегенде бір алтының пайда болуы ықтималдық үлестірімінің биномдық заңына бағынады: 
мұндағы = - комбинациялар саны nАвторы к.
Ықтималдылықты бөлу d.s.v. X º к (n = 8; б = ; q = )к
Тік сызық үлестірудің математикалық күтуін көрсетеді М(X).
М(X) = = 2,4444,
Қайда xk = к– d.s.v қабылдаған мән. X. Дисперсия D(X) формула арқылы үлестіруді табамыз:
D(X) = 
= 4,8097.
Стандартты ауытқу (RMS):
s( X) = = 2,1931.
Дискретті кездейсоқ шама Xбөлу заңымен беріледі
F(x) таралу функциясын тауып, графигін сал.
Егер, онда. Шынымен, X 0,3 ықтималдығы бар 1 мәнін қабылдай алады.
Егер, онда. Шынында да, егер ол теңсіздікті қанағаттандырса
, содан кейін орын алуы мүмкін оқиғаның ықтималдығына тең болады X 1 мәнін (осы оқиғаның ықтималдығы 0,3) немесе 4 мәнін (осы оқиғаның ықтималдығы 0,1) қабылдайды. Бұл екі оқиға үйлесімсіз болғандықтан, қосу теоремасы бойынша оқиғаның ықтималдығы 0,3 + 0,1 = 0,4 ықтималдықтардың қосындысына тең. Егер, онда. Шынында да, оқиға белгілі, сондықтан оның ықтималдығы біреуге тең. Сонымен, бөлу функциясын аналитикалық түрде былай жазуға болады: 
Бұл функцияның графигі:
Осы мәндерге сәйкес ықтималдықтарды табайық. Шарт бойынша құрылғылардың істен шығу ықтималдығы тең: онда құрылғылардың кепілдік мерзімі ішінде жұмыс істеу ықтималдығы тең: 
Бөлу заңы келесі түрде болады:
Xықтималдықтың таралу заңымен берілген: Сонда оның стандартты ауытқуы ... 0,80-ге тең
Х кездейсоқ шамасының стандартты ауытқуы келесідей анықталады 
, мұндағы дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясын Содан кейін , және формуласы арқылы есептеуге болады 
А(кездейсоқ тартылған доп қара) жалпы ықтималдық формуласын қолданамыз: Мұнда ақ шардың бірінші урнадан екінші урнаға ауысу ықтималдығы берілген; – қара шардың бірінші урнадан екінші урнаға ауысу ықтималдығы; – егер ақ шарды бірінші урнадан екіншісіне ауыстырған болса, тартылған шардың қара болуының шартты ықтималдығы; – егер қара доп бірінші урнадан екіншісіне ауыстырылса, тартылған шардың қара болуының шартты ықтималдығы.
Х дискретті кездейсоқ шама ықтималдықтың таралу заңымен берілген: Сонда ықтималдық 
тең...
Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясын формула арқылы есептеуге болады. Содан кейін
12 бөліктен тұратын партияда 5 ақаулы бөлік бар. Үш бөлік кездейсоқ таңдалды. Сонда таңдалған бөліктер арасында қолайлы бөліктердің болмауы ықтималдығы... тең болады.
А оқиғасын есептеу үшін (таңдалған бөліктердің арасында қолайлы бөліктер жоқ), біз мұндағы формуланы қолданамыз n м– А оқиғасының орын алуына қолайлы элементарлық нәтижелер саны. Біздің жағдайда мүмкін болатын элементар нәтижелердің жалпы саны қол жетімді 12 деректен үш мәліметтерді шығаруға болатын жолдар санына тең, яғни.
Банк барлық несиелердің 44%-ын заңды тұлғаларға, 56%-ын жеке тұлғаларға береді. Заңды тұлғаның несиені уақытында қайтармау ықтималдығы 0,2; ал жеке адам үшін бұл ықтималдық 0,1. Сонда келесі несиенің уақытында өтелу ықтималдығы...
0,856
Оқиғаның ықтималдығын есептеу үшін А(берілген несие уақытында өтеледі) жалпы ықтималдық формуласын қолданамыз: . Мұнда несиенің заңды тұлғаға берілгендігінің ықтималдығы; – несиенің жеке тұлғаға берілуі ықтималдығы; – егер несие заңды тұлғаға берілген болса, оның мерзімінде өтелуінің шартты ықтималдығы; – егер несие жеке тұлғаға берілген болса, оның мерзімінде өтелуінің шартты ықтималдығы. Содан кейін 
Х дискретті кездейсоқ шама үшін 
0,655
Матрица екі рет оралады. Сонда домаланған нүктелердің қосындысы тоғыздан кем емес болу ықтималдығы...
Оқиғаны есептеу үшін (жиынтық ұпайлардың қосындысы кемінде тоғыз болады) формуланы қолданамыз, мұндағы тесттің мүмкін болатын қарапайым нәтижелерінің жалпы саны және м– оқиғаның орын алуына қолайлы қарапайым нәтижелер саны А. Біздің жағдайда бұл мүмкін 
, , , , , , , және , яғни түріндегі нәтижелер қолайлы болатын элементар тест нәтижелері. Демек, 
Ықтималдық үлестіру функциясы келесі түрде болады: 
Сонда параметрдің мәні... тең болуы мүмкін.
0,7
0,85
0,6
Анықтамасы бойынша 
. Сондықтан, және . Бұл шарттар, мысалы, мән бойынша қанағаттандырылады
Үздіксіз кездейсоқ шама ықтималдықты бөлу функциясы арқылы анықталады: 
Сонда оның дисперсиясы ...
Бұл кездейсоқ шама интервалда біркелкі таралады. Содан кейін оның дисперсиясын формула арқылы есептеуге болады 
. Яғни 
Бірінші урнада 6 қара шар және 4 ақ шар бар. Екінші урнада 2 ақ және 8 қара шар бар. Кездейсоқ урнадан бір шар алынды, ол ақ болып шықты. Сонда бұл доптың бірінші урнадан тартылу ықтималдығы...
А(кездейсоқ тартылған шар ақ) жалпы ықтималдық формуласы бойынша: . Мұнда бірінші урнадан доптың тартылу ықтималдығы; доптың екінші урнадан тартылу ықтималдығы; – тартылған шардың ақ болуының шартты ықтималдығы, егер ол бірінші урнадан тартылса; - тартылған шардың ақ болуының шартты ықтималдығы, егер ол екінші урнадан тартылса.
Содан кейін 
.
Енді осы шардың бірінші урнадан тартылуының шартты ықтималдығын Байес формуласы арқылы есептейік: 
Дискретті кездейсоқ шама XЫқтималдық үлестіру заңымен берілген: 
Сонда оның дисперсиясы ...
7,56
3,2
3,36
6,0
Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясын формула арқылы есептеуге болады
Анықтамасы бойынша . Содан кейін
а) кезінде , ,
б) кезінде , ,
в) кезінде, ,
г) кезінде , ,
г) , кезінде.
Демек,
Радиусы 4 болатын шеңбердің ішіне нүкте кездейсоқ лақтырылған. Сонда нүктенің шеңберге сызылған шаршының сыртында болу ықтималдығы...
12 бөліктен тұратын партияда 5 ақаулы бөлік бар. Үш бөлік кездейсоқ таңдалды. Сонда таңдалған бөлшектердің арасында ақаулы бөліктердің болмауы ықтималдығы... тең болады.
Оқиғаны есептеу үшін (таңдалған бөліктер арасында ақаулы бөліктер жоқ) формуланы қолданамыз, мұнда nмүмкін болатын қарапайым тест нәтижелерінің жалпы саны және м– оқиғаның орын алуына қолайлы қарапайым нәтижелер саны. Біздің жағдайда мүмкін болатын қарапайым нәтижелердің жалпы саны қол жетімді 12-ден үш деректемені алуға болатын жолдар санына тең, яғни. Ал қолайлы нәтижелердің жалпы саны жетіден үш ақаусыз бөлікті шығаруға болатын жолдар санына тең, яғни. Демек, 
0,57
0,43
0,55
0,53
Оқиғаның ықтималдығын есептеу үшін А
Содан кейін 
Дискретті кездейсоқ шама ықтималдықтың таралу заңымен анықталады:
тең...
формуланы қолданайық 
. Содан кейін 
0,875
0,125
0,105
0,375
Алдымен оқиғаның ықтималдығын есептейік А 
.
.
Сонда оның математикалық күтуі...
формуланы қолданайық . Содан кейін .
Үздіксіз кездейсоқ шама ықтималдықтың таралу тығыздығы арқылы анықталады 
. Содан кейін математикалық күту ажәне осы кездейсоқ шаманың стандартты ауытқуы ... тең.
Қалыпты таралған кездейсоқ шаманың ықтималдық таралу тығыздығы пішінге ие 
, Қайда , . Сондықтан .
Дискретті кездейсоқ шама ықтималдықтың таралу заңымен анықталады:
Содан кейін құндылықтар аЖәне бтең болуы мүмкін...
Мүмкін мәндердің ықтималдық қосындысы 1-ге тең болғандықтан, онда . Жауап осы шартты қанағаттандырады: .
Радиусы 5 болатын кішірек шеңбер радиусы 8 болатын шеңберге орналастырылған. Сонда үлкен шеңберге кездейсоқ лақтырылған нүктенің де кіші шеңберге түсу ықтималдығы...
Қажетті оқиғаның ықтималдығын есептеу үшін формуланы қолданамыз, мұндағы кіші шеңбердің ауданы және үлкен шеңбердің ауданы. Демек, .
Бірінші урнада 3 қара шар және 7 ақ шар бар. Екінші урнада 4 ақ шар және 5 қара шар бар. Бір шар бірінші урнадан екінші урнаға ауыстырылды. Сонда екінші урнадан кездейсоқ алынған шардың ақ болу ықтималдығы...
0,47
0,55
0,35
0,50
Оқиғаның ықтималдығын есептеу үшін А(кездейсоқ тартылған доп ақ) жалпы ықтималдық формуласын қолданыңыз: . Мұнда ақ шардың бірінші урнадан екінші урнаға ауысу ықтималдығы берілген; – қара шардың бірінші урнадан екінші урнаға ауысу ықтималдығы; – егер ақ шарды бірінші урнадан екіншісіне ауыстырған болса, тартылған шардың ақ болуының шартты ықтималдығы; – қара шарды бірінші урнадан екіншісіне жылжытқанда тартылған шардың ақ болуының шартты ықтималдығы.
Содан кейін 
Дискретті кездейсоқ шама үшін:
Ықтималдық үлестіру функциясы келесі түрде болады:
Сонда параметрдің мәні... тең болуы мүмкін.
0,7
0,85
0,6
Тақырып: Жалпы ықтималдық. Бейс формулалары
Банк барлық несиелердің 70%-ын заңды тұлғаларға, 30%-ын жеке тұлғаларға береді. Заңды тұлғаның несиені уақытында қайтармауы ықтималдығы 0,15; ал жеке адам үшін бұл ықтималдық 0,05. Несие өтелмегені туралы хабарлама келіп түсті. Сонда заңды тұлғаның бұл несиені қайтармау ықтималдығы...
0,875
0,125
0,105
0,375
Алдымен оқиғаның ықтималдығын есептейік А(берілген несие уақытында өтелмейді) жалпы ықтималдық формуласы бойынша: . Мұнда несиенің заңды тұлғаға берілгендігінің ықтималдығы; – несиенің жеке тұлғаға берілуі ықтималдығы; – егер несие заңды тұлғаға берілген болса, оның мерзімінде қайтарылмауының шартты ықтималдығы; – егер несие жеке тұлғаға берілген болса, оның мерзімінде қайтарылмауының шартты ықтималдығы. Содан кейін .
Енді осы несиені заңды тұлға өтемегендігінің шартты ықтималдығын Байес формуласы арқылы есептейік: .
Тақырыбы: Ықтималдылықты анықтау
12 бөліктен тұратын партияда 5 ақаулы бөлік бар. Үш бөлік кездейсоқ таңдалды. Сонда таңдалған бөліктер арасында қолайлы бөліктердің болмауы ықтималдығы... тең болады.
Оқиғаны есептеу үшін (таңдалған бөліктер арасында қолайлы бөліктер жоқ) формуланы қолданамыз, мұнда nмүмкін болатын қарапайым тест нәтижелерінің жалпы саны және м– оқиғаның орын алуына қолайлы қарапайым нәтижелер саны. Біздің жағдайда мүмкін болатын қарапайым нәтижелердің жалпы саны қол жетімді 12-ден үш деректемені алуға болатын жолдар санына тең, яғни. Ал қолайлы нәтижелердің жалпы саны бестен үш ақаулы бөлікті шығаруға болатын жолдар санына тең, яғни. Демек,
Тақырыбы: Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары
Үздіксіз кездейсоқ шама ықтималдықтың таралу тығыздығымен анықталады: 
Сонда оның дисперсиясы ...
Үздіксіз кездейсоқ шаманың дисперсиясын формула арқылы есептеуге болады
Дискретті кездейсоқ шама ықтималдықтың таралу заңымен анықталады:
Сонда оның ықтималдықты үлестіру функциясы...
Анықтамасы бойынша . Содан кейін
а) кезінде , ,
б) кезінде , ,
в) кезінде, ,
г) кезінде , ,
г) , кезінде.
Демек, 
Үш урнада 5 ақ және 5 қара шар, жеті урнада 6 ақ және 4 қара шар бар. Кездейсоқ урнадан бір шар алынады. Сонда бұл шардың ақ болу ықтималдығы...
0,57
0,43
0,55
0,53
Оқиғаның ықтималдығын есептеу үшін А(кездейсоқ тартылған доп ақ) жалпы ықтималдық формуласын қолданыңыз: . Мұнда бірінші урналар сериясынан доптың тартылу ықтималдығы берілген; – доптың урналардың екінші сериясынан тартылу ықтималдығы; – тартылған шардың ақ болуының шартты ықтималдығы, егер ол урналардың бірінші сериясынан тартылса; – тартылған шардың ақ болуының шартты ықтималдығы, егер ол урналардың екінші сериясынан тартылса.
Содан кейін .
Дискретті кездейсоқ шама ықтималдықтың таралу заңымен анықталады:
Содан кейін ықтималдық тең...
Матрица екі рет оралады. Сонда алынған ұпайлардың қосындысы он болу ықтималдығы...
