Կոմպոզիցիայի հիմնական հատկությունը, ձեւակերպումը, ապացույցը, դիմումի օրինակները: FRACI- ի հիմնական սեփականությունը. Դիմումի ձեւակերպումը, ապացույցը, օրինակները որպես մասնաբաժնի հիմնական հատկություն

Այս հոդվածում մենք վերլուծելու ենք, թե որն է կոտորակների հիմնական հատկությունը, ձեւավորում ենք այն, մենք տալիս ենք ապացույց եւ տեսողական օրինակ: Այնուհետեւ մենք համարում ենք, թե ինչպես կարելի է կիրառել ֆրակցիայի հիմնական սեփականությունը, երբ գործողություններ կատարեք, ֆրակցիաները նվազեցնելու եւ ֆրակցիաները բերելու նոր նշանակող:

Բոլոր սովորական խմբակցությունները ունեն հիմնական գույք, որը մենք անվանում ենք խմբակցության հիմնական հատկությունը, եւ այն հնչում է հետեւյալը.

Սահմանում 1.

Եթե \u200b\u200bմեկ ֆրակցիայի համարանիշը եւ դավանանքը բազմապատկվում կամ բաժանվում են մեկ եւ նույն բնական համարի, ապա միջոցառումը կհանգեցնի սահմանված մեկ խմբի:

Պատկերացրեք բաժնի հիմնական գույքը հավասարության տեսքով: A, B եւ M բնական համարների համար հավասարությունը արդար կլինի.

A · M M մ · մ \u003d A B եւ A: M B: M \u003d A B

Հաշվի առեք մասնաբաժնի հիմնական հատկությունների ապացույցը: Հիմք ընդունելով բնական թվերի եւ բնական թվերի բաժանման հատկությունները, մենք գրում ենք հավասարությունը. (A · մ) · B \u003d (b · մ) · A եւ (բ : Մ) · ա. Այսպիսով, ֆրակցիաները · մ · մ · մետր եւ A B, ինչպես նաեւ. M B: M եւ A B- ն հավասար են ֆրակցիաների հավասարության սահմանմանը:

Մենք վերլուծելու ենք մի օրինակ, որը գրաֆիկականորեն պատկերում է կոտորակի հիմնական գույքը:

Օրինակ 1.

Ենթադրենք, որ մենք ունենք մի հրապարակ, որը բաժանված է 9 «մեծ» մասի: Յուրաքանչյուր «մեծ» հրապարակ բաժանված է 4 փոքր չափի: Հնարավոր է ասել, որ նշված հրապարակը բաժանված է 4 9-ի \u003d 36 «փոքր» հրապարակների: Մենք կարեւորում ենք 5 «մեծ» հրապարակների գույնը: Միեւնույն ժամանակ, կլինի 4 · 5 \u003d 20 «փոքր» հրապարակներ: Եկեք ցուցադրենք նկարը, որը ցույց է տալիս մեր գործողությունները.

Ներկված հատվածը 5 9 աղբյուրի թվեր է կամ 20 36, ինչը նույնն է: Այսպիսով, 5 9 եւ 20 36 ֆրակցիաները հավասար են. 5 9 \u003d 20 36 կամ 20 36 = 5 9 .

Այս հավասարությունը, ինչպես նաեւ հավասարությունը 20 \u003d 4 · 5, 36 \u003d 4 \u003d 5 եւ 36: 4 \u003d 9 հնարավոր դարձնել եզրակացնել դա 5 9 \u003d 5 · 4 9 · 4 եւ 20 36 \u003d 20 · 4 36 · 4:

Տեսությունը համախմբելու համար մենք կվերլուծենք օրինակու լուծումը:

Օրինակ 2.

Նշվում է, որ որոշ սովորական խմբակցության համարանիշը եւ անվանակարգը բազմապատկվել են 47-ով, որից հետո այս համարիչներն ու դավանանքը բաժանվել են 3-ի: Այս գործողությունների արդյունքում տրված կոտորակը:

Որոշում

Կոմպոզիցիայի հիմնական սեփականության հիման վրա մենք կարող ենք ասել, որ Numerator- ի բազմապատկումը եւ տվյալ խմբակցության 167-ի անվանումն ավարտված թիվը կհանգեցնի աղբյուրին հավասար խմբի: Մենք կարող ենք նույնը վիճարկել, արտադրելով հետագա բաժանումը 3-ով: Ի վերջո, մենք կստանանք մասնաբաժինը հավասար նշվածին:

Պատասխան: Այո, արդյունքում ստացված կոտորակը հավասար կլինի նախնականին:

Կոմպոզիցիայի հիմնական հատկությունների կիրառում

Հիմնական գույքը կիրառվում է, երբ անհրաժեշտ է մասնաբաժինը բերել նոր դավանանքի եւ ֆրակցիաների կրճատմամբ:

Կոտորումներ նոր դավանավին բերելը, տվյալ խմբի փոխարինման գործողությունն է, որը հավասար է դրան, բայց մեծ թվով եւ դավանանքով: Նոր դավանանքի համար ֆրակցիա բերելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել ֆրակցիայի համարի քանակը եւ նշանակողը անհրաժեշտ բնական համարով: Սովորական ֆրակցիաներով գործողությունները անհնար կլիներ առանց որեւէ խմբակցություն նոր նշանակողի:

Սահմանում 2.

Կոտորակների կրճատում - նոր մասնաբաժնի անցում, որը հավասար է տրվածին, բայց ավելի փոքր թվով եւ անվանումով: Կոտրիքը կարճելու համար հարկավոր է բաժանել ֆրակցիայի համարը եւ դավանանքը նույն բնական համարով, որը կկոչվի Ընդհանուր բաժանարար.

Կարող են լինել դեպքեր, երբ այդպիսի ընդհանուր բաժանարար չկա, ապա նրանք առաջարկում են, որ նախնական մասն աննկատելի է կամ նվազման ենթակա չէ: Մասնավորապես, մեծագույն ընդհանուր բաժանարարի օգնությամբ բաժնի կրճատումը կհանգեցնի անհասկանալի մտքի մի մասի:

Եթե \u200b\u200bտեքստում սխալ եք նկատում, ընտրեք այն եւ սեղմեք Ctrl + Enter

Մաս - մաթեմատիկայի մեջ մի շարք ներկայացուցչության ձեւ: Կոտորակային առանձնահատկությունը ցույց է տալիս բաժնի շահագործումը: Թվանշան FRACI- ը բաժանարար է, եւ հայտարարող - բաժանարար: Օրինակ, համարի մասնաբաժինը 5-րդ համարն է, իսկ դենոմինատորը, 7:

Ճիշտ Այն կոչվում է մի բաժին, որն ունի թվային մոդուլ, քան դեղին մոդուլը: Եթե \u200b\u200bմասնագիտությունը ճիշտ է, ապա դրա մոդուլը միշտ պակաս է, քան 1. Բոլոր մյուս խմբակցությունները սխալ.

Կոմպոզիտորը կոչվում է խառըԵթե \u200b\u200bայն ձայնագրվում է որպես ամբողջ թիվ եւ կոտորակ: Սա նույնն է, ինչ այս համարի եւ ֆրակցիաների քանակը.

FRACI- ի հիմնական սեփականությունը

Եթե \u200b\u200bֆրակցիայի համարանիշը եւ դավանիչը բազմապատկվում են նույն թվով, ապա մասնաբաժնի արժեքը չի փոխվի, այսինքն, օրինակ,

Կոտորումներ բերելով ընդհանուր նշանակողին

Երկու ֆրակցիա ընդհանուր նշանակություն ունենալու համար անհրաժեշտ է.

1. Առաջին խմբակցության համարանիշը բազմապատկվում է երկրորդի անվանումին
2. Երկրորդ մասնաբաժնի համարը բազմապատկող է անվանում
3. Երկու ֆրակցիաների ռաների հիշատակը փոխարինում է իրենց աշխատանքը

Գործողություններ ֆրակցիաներով

Լրացում: Ձեզ անհրաժեշտ է երկու ֆրակցիա ծալել

1. Երկու ֆրակցիաների ծալված նոր թվեր, եւ դավանանքը մնացել է անփոփոխ

Օրինակ:

Հանում. Մեկ ֆրակցիան մյուսից հանելու համար անհրաժեշտ է

1. Կոմպոզիտոր բերեք ընդհանուր նշանակողին
2. Երկրորդ խմբակցության համարի համարի հաշվառիչից հանեք, իսկ դավանանքը մնացել է անփոփոխ

Օրինակ:

Բազմապատկում: Մեկ բաժինը մյուսին բազմապատկելու համար, բազմապատկեք նրանց համարակալներին եւ դավանանքներին:

Մեկի բաժնետոմսերը եւ հայտնվում է տեսքով \\ Frac (a) (բ).

Սվաղային կոտորակ (ա) - Կոտորքի առանձնահատկությունից բարձր թիվը եւ ցույց տալով բաժնետոմսերի քանակը, որոնց բաժինը բաժանվել է:

Ֆրակցիաների ապոնյան (բ) - Կոմպոզիտորության առանձնահատկության ներքո եւ ցույց տալով, թե քանի ֆրակցիաներ են բաժանվել միավոր:

Թաքցնել շոուն

FRACI- ի հիմնական սեփականությունը

Եթե \u200b\u200bգովազդ \u003d մ.թ.ա., ապա երկու ֆրակցիաներ \\ Frac (a) (բ)մի քանազոր \\ FRAC (C) (D) համարվում են հավասար: Օրինակ, ֆրակցիաները հավասար կլինեն \\ Frac35:մի քանազոր \\ FRAC (9) (15)Քանի որ 3 \\ CDot 15 \u003d 15 \\ CDot 9, \\ FRAC (12) (7)մի քանազոր \\ Frac (24) (14)12 \\ CDOT 14 \u003d 7 \\ CDOT 24:

Հավասար ֆրակցիաների սահմանումից հետեւում է, որ ֆրակցիաները հավասար կլինեն \\ Frac (a) (բ)մի քանազոր \\ FRAC (AM) (BM)Քանի որ A (BM) \u003d B (AM) տեսողական օրինակ է գործողություններում բնական թվերը բազմապատկելու համադրման եւ շարժվող հատկությունների օգտագործման համար:

Այսպես \\ FRAC (A) (B) \u003d \\ FRAC (AM) (BM) - կարծես fRACI- ի հիմնական սեփականությունը.

Այլ կերպ ասած, մենք կստանանք դրա հավասար մասը, որը բազմապատկվում կամ առանձնացնում է նույն բնական թվով նախնական խմբակցության համարանիշը եւ դավանանքը:

Կոտորակների կրճատում - Սա մասնաբաժինը փոխարինելու գործընթացն է, որում նոր մասն է ձեռք բերվում բնօրինակին հավասար, բայց ավելի փոքր թվային եւ դավանանքով:

Կոմպոզիցիայի նվազեցումը կատարվում է, հիմնվելով մասնաբաժնի հիմնական սեփականության վրա:

Օրինակ, \\ FRAC (45) (60) \u003d \\ FRAC (15) (20)(Numerator- ը եւ Denominator- ը բաժանված է թիվ 3). Արդյունքում ստացված կոտորակը կարող է կրկին կրճատվել, բաժանելով 5-ը, այսինքն \\ Frac (15) (20) \u003d \\ frac 34.

Անկայուն կոտորակ - դա կոտորած է նման \\ Frac 34.որտեղ համարակալը եւ դավանանքը փոխշահավետ են համարներ: Կոտորքի կտրման հիմնական նպատակը կոտորածի անջատումն է:

Կոտորումներ բերելով ընդհանուր նշանակողին

Որպես օրինակ վերցրեք երկու ֆրակցիաներ. \\ FRAC (2) (3)մի քանազոր \\ FRAC (5) (8) 3-րդ եւ 8 տարբեր դավանագրերով: Այս ֆրակցիաները ընդհանուր նշանակություն ունենալու համար եւ առաջին հերթին փոխեք համարանիշը եւ դավանանքը \\ FRAC (2) (3)8-ին: Մենք ստանում ենք հետեւյալ արդյունքը. \\ FRAC (2 \\ CDOT 8) (3 \\ CDOT 8) \u003d \\ FRAC (16) (24), Այնուհետեւ բազմապատկեք համարանիշը եւ դավանանքը \\ FRAC (5) (8)3-ով: Մենք ստանում ենք վերջում. \\ FRAC (5 \\ CDOT 3) (8 \\ CDOT 3) \u003d \\ FRAC (15) (24), Այսպիսով, նախնական ֆրակցիաները տրվում են ընդհանուր 6-ին:

Թվաբանական գործողություններ սովորական խմբակցությունների վերաբերյալ

Սովորական խմբակցությունների ավելացում

ա) Նույն դավանանքներով, առաջին խմբակցության համարը ծալվում է երկրորդ մասնաբաժնի Nizer- ով, թողնելով նույնը: Ինչպես երեւում է օրինակով.

\\ FRAC (A) (B) + \\ FRAC (C) (B) \u003d \\ FAC (A + C) (բ);

բ) տարբեր դեղաչափերով, ֆրակցիաները առաջին հերթին հանգեցնում են ընդհանուր դավանանքի, այնուհետեւ կատարում են թվանշանների ավելացումը `համաձայն ա).

\\ Frac (7) (3) + \\ frac (1) (4) \u003d \\ frac (7 \\ cDot 4) (3) + \\ FRAC (12) (12) (12) (12) (12) (12) (12) (12) (12) (12) + \\ FRAC (3) (12) \u003d \\ FAC (31) (12).

Սովորական կոտորակների իջեցում

ա) Առաջին խմբակցության թվագրողի նույն դավանանքների հետ, երկրորդ խմբակցության համարը հանվում է, թողնելով նույնը.

\\ FRAC (A) (B) - \\ FRAC (C) (B) \u003d \\ FAC (A-C) (B);

բ) Եթե ֆրակցիաների դավանանքները տարբեր են, ապա առաջին ֆրակցիաները հանգեցնում են ընդհանուր դավանանքի, այնուհետեւ կրկնում են գործողությունները A կետում:

Սովորական խմբակցությունների բազմապատկում

Կոտորակների բազմապատկումը հնազանդվում է հետեւյալ կանոնին.

\\ FRAC (A) (B) \\ CDOT \\ FRAC (C) (D) \u003d \\ CHAC C) (B \\ CDOT D),

Այսինքն, առանձին թվանշաններն ու դիներն են:

Օրինակ:

\\ FRAC (3) (5) \\ CDOT \\ FRAC (4) (8) \u003d \\ frac (3 \\ CDOT 4) (5 \\ CDOT 8) \u003d \\ FRAC (12) (40).

Սովորական խմբակցությունների բաժին

Բաժնի ֆրակցիաները արտադրում են հետեւյալ կերպ.

\\ Frac (a) (բ) (բ) (բ) (C) (D) \u003d \\ FRAC (AD) (մ.թ.),

Դա կոտորակ է \\ Frac (a) (բ) բազմապատկված ըստ խմբակցության \\ FRAC (D) (C).

Օրինակ: \\ Frac (7) (2) (2) (1) (8) \u003d \\ frac (7) \\ CDOT \\ FRAC (8 \\ CDot 8) (2 \\ CDot 8) ( ) \u003d \\ Frac (56) (2).

Փոխադարձաբար հակառակ թվեր

Եթե \u200b\u200bAB \u003d 1, ապա B թիվը Ի պատասխան Համարի համար:

Օրինակ. 9-րդ համարի համար հակադարձում է \\ FRAC (1) (9), ինչպես 9 \\ CDOT \\ FRAC (1) (9) \u003d 15-րդ համարի համար - \\ FRAC (1) (5), ինչպես 5 \\ CDOT \\ FRAC (1) (5) \u003d 1.

Թվական ֆրակցիաներ

Տասնորդական կոտորակ Այն կոչվում է ճիշտ կոտորակ, որի անվանումն է 10, 1000, 10 \\, 000, ..., 10 ^ ն:

Օրինակ: \\ Frac (6) (10) \u003d 0.6; \\ enspace \\ frac (44) (1000) \u003d 0.044.

Նույն կերպ, այն սխալ է գրված, ժխտող 10 ^ n կամ խառը համարներով:

Օրինակ: 5 \\ FRAC (1) (10) \u003d 5.1; \\ enspace \\ frac (763) (100) \u003d 7 \\ frac (63) \u003d 7.63.

Թվական ֆրակցիայի տեսքով ներկայացված է դավանանքի ցանկացած սովորական մասն, որը 10 թիվ 10-ի բաժանարար է:

Օրինակ, 5 - 100 համարի բաժանարար, այնպես որ մասնաբաժինը \\ Frac (1) (5) \u003d \\ frac (1 \\ cDot 20) (5 \\ CDot 20) \u003d \\ FRAC (20) \u003d 0.2.

Թվական ֆրակցիաների վերաբերյալ թվաբանական գործողություններ

Տասնորդական խմբակցությունների ավելացում

Երկու տասնորդական ֆրակցիա ավելացնելու համար անհրաժեշտ է դրանք դիրքավորել այնպես, որ միմյանց նույն արտանետումները եւ ստորակետը նոսրացվի, իսկ ֆրակցիաների մասնաբաժինը, որպես սովորական թվեր:

Հանափայտի տասնորդական խմբակցություններ

Կատարվում է նման լրացում:

Բազմապատկելով տասնորդական ֆրակցիաները

Բազմապատկելով տասնորդական թվերը, բավարար է նշված համարները բազմապատկելու համար, որպեսզի ուշադրություն չդառնա ստորակետերին (որպես բնական համարներ), եւ ստորակետի արդյունքում ստացված պատասխանը, քանի որ դրանք կիսաբացից հետո են Ընդհանուր առմամբ երկու գործոններում:

Եկեք կատարենք 2.7-ի 1,7-ի բազմապատկումը 1.3-ի համար: Մենք ունենք 27 \\ CDot 13 \u003d 351: Մենք առանձնացնում ենք կիսագնդի ճիշտ երկու թվանշանները (առաջին եւ երկրորդ համարում `ստորակետից հետո մեկ թվանշան; 1 + 1 \u003d 2): Արդյունքում մենք ստանում ենք 2.7 \\ CDot 1,3 \u003d 3.51:

Եթե \u200b\u200bարդյունքում ստացված արդյունքում կան ավելի քիչ թվեր, քան անհրաժեշտ է ստորակետը առանձնացնել, ապա անհայտ կորած Զերոսը գրված է առաջ, օրինակ.

10, 100, 1000-ով բազմապատկման համար անհրաժեշտ է ստորակետը 1, 2, 3 թվանշանով աջ փոխանցել աջ (անհրաժեշտության դեպքում, մի շարք zeros- ին վերագրվում է):

Օրինակ, 1.47 \\ CDOT 10 \\, 000 \u003d 14,700:

Տասնյակ ֆրակցիաների բաժին

Տվարդյունային խմբակցության բաժանումը բնական համարին նույնպես արտադրվում է որպես բնական քանակությամբ բնական համարի բաժին: Մասնավոր ստորակետը տեղադրվում է ամբողջ մասի բաժանումից հետո:

Եթե \u200b\u200bբաժանարարի ավելի քիչ բաժանարարի մի ամբողջ մասը, պարզվում է, որ դա նույնպես զրո է, օրինակ.

Դիտարկենք տասնորդական խմբակցության բաժանումը տասնորդական: Թող անհրաժեշտ լինի բաժանել 2.576-ը 1.12-ի համար: Առաջին հերթին, Fractions 100-ի Smartly Dividimit- ը եւ Fractions 100-ը, այսինքն, մենք ստորակետը կփոխանցենք Դելիմանում եւ բաժանարարին մինչեւ շատ նշաններ, քանի որ ստորակետից հետո նրանք բաժանվում են (այս օրինակում): Այնուհետեւ անհրաժեշտ է կատարել մասնաբաժնի բաժանումը 257.6-ին `112 բնական համարին, այսինքն, առաջադրանքը կրճատվում է արդեն դիտարկված գործով.

Պատահում է, որ վերջնական տասնորդական կոտորակը միշտ չէ, որ ձեռք է բերվում մեկ համարը մյուսին բաժանելիս: Արդյունքում ձեռք է բերվում անսահման տասնորդական կոտորակ: Նման դեպքերում փոխանցումներ դեպի սովորական ֆրակցիաներ:

2.8: 0.09 \u003d \\ FRAC (28) (10) (9) (100) \u003d \\ FRAC (28 \\ CDOT 100) \u003d \\ frac (280) (9) \u003d 31 \\ frac ( 1) (9).

Այս թեման բավականաչափ կարեւոր է ֆրակցիաների հիմնական հատկությունների վրա, բոլոր հետագա մաթեմատիկան եւ հանրահաշիվը հիմնված են: Ֆրակցիաների համարվող հատկությունները, չնայած դրա կարեւորությանը, շատ պարզ:

Հասկանալ Կոտորակների հիմնական հատկությունները Դիտարկենք մի շրջան:

Շրջանի վրա կարելի է տեսնել, որ 4 մաս կամ նկարված է ութից: Մենք գրում ենք արդյունքում ստացված կոտորակը \\ (\\ frac (4) (8) \\)

Հաջորդ շրջանակում կարելի է տեսնել, որ երկու հնարավորության մի մասը ներկված է: Մենք գրում ենք կոտորակը \\ (\\ frac (1) (2) \\)

Եթե \u200b\u200bուշադիր նայեք, մենք կտեսնենք, որ առաջին դեպքում, երկրորդ դեպքում, մենք ունենք կես շրջան, ուստի արդյունքում ստացված ֆրակցիաները հավասար են \\ (\\ frac (4) (2) (2) (2) (2) ) \\), այսինքն, սա նույն թիվն է:

Ինչպես դա ապացուցել մաթեմատիկորեն: Շատ պարզ է, հիշեք բազմապատկման աղյուսակը եւ բազմապատկիչների առաջին խմբակցությամբ:

\\ (\\ Frac (4) (8) \u003d \\ frac (1 \\ cDot \\ Գույն (Red) (4)) (4)) \u003d \\) \\) (2) \\ cdot \\ Գույն (կարմիր) (\\ frac (4) (4)) \u003d \\ frac (1) \\ CDOT \\ գույն (1) \u003d \\ frac (1) \\) (2) \\)

Ինչ արեցինք: Ստորագրեց բազմապատկիչների համար \\ (\\ frac (1 \\ cdot \\ գույն (1 \\ cDOT \\ գույն (4)) (2 \\ CDOT \\ գույն (4)) \\), իսկ հետո բաժանեց կոտորակները \\ (\\ frac ( 1) (2) \\ CDOT \\ Գույն (կարմիր) (\\ FRAC (4) (4)) \\): Չորս բաժանված չորսը, սա 1 է, իսկ ցանկացած թվով բազմապատկված միավորը հենց ինքն է: Այն, ինչ մենք արեցինք այն օրինակում, որը կոչվում էր Կոտորգերի կրճատում.

Եկեք տեսնենք եւս մեկ օրինակ եւ նվազեցնել մասնաբաժինը:

\\ (\\ Frac (6) (10) \u003d \\ frac (3 \\ cDot \\ Գույն (կարմիր) (2)) (5 \u200b\u200b\\ cdot \\ գույն (2)) \u003d \\ frac (3) (5) \\ CDOT \\ Գույն (կարմիր) (\\ FRAC (2) (2)) \u003d \\ frac (3) (5) \\ CDOT \\ Գույն (1) \\) (5) \\)

Մենք կրկին նկարեցինք բազմապատկիչների համար NENERATOR եւ Denominator- ը, եւ թվանշաններ եւ դավանանքներում նույն քանակը ցույց են տվել: Այսինքն, երկուսը բաժանված են երկու միավոր, իսկ ցանկացած թվով բազմապատկված միավորը տալիս է նույն թիվը:

Կոտորքի հիմնական սեփականությունը:

Հետեւաբար FRACI- ի հիմնական գույքը.

Եթե \u200b\u200bհամարակալիչը եւ FRACI- ի անվանումն ապահովում են նույն թիվը (բացառությամբ զրոյի), ապա մասնաբաժինը չի փոխվի:

\\ (\\ Bf \\ frac (a) (B) \u003d \\ frac (a \\ cDot n) (B \\ CDOT N) \\)

Կարող եք նաեւ թռչել թվանշանը եւ դավանիչը, միաժամանակ կիսելու համարը:
Դիտարկենք.

\\ (\\ Frac (6) (8) \u003d \\ frac (6 \\ div \\ գույն (կարմիր) (2)) (8)) \u003d \\ frac (4) \\)

Եթե \u200b\u200bհամարը եւ «Դենոմոտ Դենոտերը» կիսում են թիվը (բացառությամբ զրոյի), ապա խմբակցության չափը չի փոխվի:

\\ (\\ Bf \\ frac (a) (B) \u003d \\ frac (a \\ div n) (B \\ Div n) \\)

Դրանց ֆրակցիաները թվերով են, եւ կոչվում են սովորական սովորական բաժանարարներ Սոցիալական խարդախություն.

Նվազեցված խմբակցության օրինակ. \\ (\\ Frac (2) (4), \\ frac (6) (10), \\ FRAC (15) (5), ... \\)

Կա նաեւ Անկայուն խմբակցություններ.

Անկայուն կոտորակ - Սա մի մասն է, որի մի մասը սովորական սովորական բաժանարարների համարներ եւ դիսագրիչներ չկան:

Աննկատելի ֆրակցիայի օրինակ. \\ (FRAC (1) (2), \\ frac (3) (5), \\ FRAC (7), \\ FRAC (13), ... \\)

Any անկացած համար կարող է ներկայացվել որպես բաժին, քանի որ ցանկացած թիվ բաժանված է մեկով, օրինակ

\\ (7 \u003d \\ frac (7) (1) \\)

Հարցեր թեմային.
Ինչ եք կարծում, ինչ կարող է որեւէ մեկը կրճատել, թե ոչ:
Պատասխան. Ոչ, կան կրճատված ֆրակցիաներ եւ ոչ մեկնաբանական ֆրակցիաներ:

Ստուգեք, արդյոք հավասարությունը ճշմարիտ է. \\ (FRAC (7) (11) \u003d \\ FRAC (14) (22) \\)?
Պատասխան. Ոլորեք կոտորակը \\ (\\ Frac (14) (22) \u003d \\ frac (7 \\ cDot 2) (11 \\ CDOT 2) \u003d \\ FRAC (7) \\)Այո, ճիշտ է:

Օրինակ 1:
ա) Կոտորքը գտեք կոչվող 15-ի հետ, որը հավասար է կոտորակի \\ (\\ Frac (2) (3) \\).
բ) Գտեք ֆրակցիա 8-ի հետ 8-ը հավասար է կոտորակին \\ (\\ Frac (1) (5) \\).

Որոշում.
Ա) ՄԵՆՔ ՊԵՏՔ Է 15 ԹԻՎԸ 15-ԻՆ: Այժմ 15-րդ համարի համար պետք է բազմապատկվի 3-րդ համարը: Հիշեք բազմապատկման աղյուսակը 3⋅5: Մենք պետք է օգտվենք ֆրակցիաների հիմնական հատկանիշից եւ բազմապատկեք եւ համարակալող եւ անվանում \\ (\\ Frac (2) (3) \\)5-ով:

\\ (Frac (2) (3) \u003d \\ frac (2 \\ CDot 5) (3 \\ CDOT 5) \u003d \\ FRAC (15) \\)

բ) Numerator- ում մեզ պետք է 8-րդ համարը: Այժմ թվանշաններով կան թվեր 1. Ինչ համարի համար պետք է բազմապատկվի 1-ին: Իհարկե, 1⋅8: Մենք պետք է օգտվենք ֆրակցիաների հիմնական հատկանիշից եւ բազմապատկեք եւ համարակալող եւ անվանում \\ (\\ Frac (1) (5) \\) 8-ին: Մենք կստանանք.

\\ (\\ Frac (1) (5) \u003d \\ frac (1 \\ cDot 8) (5 \\ CDOT 8) \u003d \\ FAC (80) \\)

Օրինակ 2-րդ օրինակ.
Գտեք աննկատելի կոտորակ, որը հավասար է կոտորին. Ա) \\ (\\ Frac (16) (36) \\),բ) \\ (\\ Frac (10) (25) \\).

Որոշում.
բայց) \\ (\\ Frac (16) (36) \u003d \\ frac (4 \\ cDot 4) (9 \\ CDOT 4) \u003d \\ FRAC (4) \\)

բ) \\ (\\ Frac (10) (25) \u003d \\ frac (2 \\ cDot 5) (5 \\ CDOT 5) \u003d \\ FRAC (5) \\)

Օրինակ, թիվ 3:
Գրեք համարը բաժանման տեսքով. Ա) 13 բ) 123

Որոշում.
բայց) \\ (13 \u003d \\ frac (13) (1) \\)

բ) \\ (123 \u003d \\ frac (123) (1) \\)

Դասընթացի դասընթացի հանրահաշիվը անցնում է հատուկ: Այս հոդվածում մենք մանրամասնորեն կքննարկենք ռացիոնալ արտահայտությունների հատուկ տեսակը - ռացիոնալ ֆրակցիաներԵվ նաեւ վերլուծելու ենք, թե ինչ բնութագրական նույնական է Ռացիոնալ խմբակցությունների վերափոխում տեղի ունենալ.

Անմիջապես նշեք, որ բանական ֆրակցիաները այն իմաստով, որով մենք դրանք կսահմանենք ստորեւ, որոշ դասագրքերում, հանրահաշիվը կոչվում է հանրահաշվական ֆրակցիաներ: Այսինքն, այս հոդվածում մենք կհասկանանք նույնը բանական եւ հանրահաշվական ֆրակցիաներով:

Եկեք սկսենք սահմանումից եւ օրինակներով: Հաջորդը, եկեք խոսենք նոր դավանանքի համար ռացիոնալ մասնաբաժին բերելու մասին եւ մասնաբաժնի անդամների փոփոխության մասին: Դրանից հետո մենք կվերլուծենք, թե ինչպես են տապալումները կրճատվում: Վերջապես, մենք կկենտրոնանանք ռացիոնալ խմբակցության ներկայացուցչության վրա `մի քանի ֆրակցիաների մի գումարի տեսքով: Բոլոր տեղեկությունները կտրամադրվեն օրինակներով `լուծումների մանրամասն նկարագրություններով:

Նավիգացիոն էջ:

Ռացիոնալ խմբակցությունների սահմանում եւ օրինակներ

8-րդ դասարանում սովորում են ռացիոնալ ֆրիրատորները հանրահաշվի դասերին: Մենք կօգտագործենք ռացիոնալ ֆրակցիայի սահմանումը, որը տրված է հանրահաշվայի դասագրքում, 8 դասարանների համար: Ն. Մակարչեւ եւ այլն:

Այս բնորքում նշված չէ, արդյոք ռացիոնալ մասնաբաժնի թվանշանի եւ դավանանքի բազմամյա սյուները պետք է լինեն ստանդարտ ձեւի բեւեռներ, թե ոչ: Հետեւաբար, մենք ենթադրում ենք, որ ռացիոնալ ֆրակցիաների գրառումներում կարելի է գտնել ստանդարտ տեսակների եւ ոչ ստանդարտի բազմակրություններ:

Մենք տալիս ենք մի քանիսը Ռացիոնալ խմբակցությունների օրինակներ, Այսպիսով, X / 8 եւ - ռացիոնալ ֆրակցիաներ: Եւ fraci- ն Եվ դրանք հարմար չեն ռացիոնալ ֆրակցիայի հնչյունների բնորոշման համար, քանի որ նրանցից առաջինում թվանշանի մեջ դա ոչ թե բազմամյա չէ, բայց երկրորդում եւ անվանակարգում են, որ սահմանված չէ:

Ռացիոնալ խմբակցության համարի հաշվիչի եւ դավանանքի վերափոխում

Crection անկացած խմբակցության թվանշանն ու դավանանքը ինքնաբավ մաթեմատիկական արտահայտություններն են, ռացիոնալ ֆրակցիաների դեպքում սրանք բազմամոլներ են, տվյալ դեպքում `անօգուտ եւ համարներ: Հետեւաբար, ռացիոնալ մասնաբաժնի համարիչով եւ դավանանքով, ինչպես ցանկացած արտահայտությամբ, կարող է իրականացվել նույնական փոխարկումներ: Այլ կերպ ասած, ռացիոնալ ֆրակցիոն համարի մեջ նշված արտահայտությունը կարող է փոխարինվել դրան, որը հավասար է դրան, ինչպես նաեւ դավանանք:

Ռացիոնալ մասնաբաժնի համարում եւ նշանակող, նույնական փոխարկումներ կարող են իրականացվել: Օրինակ, համարակալում կարող եք իրականացնել խմբավորում եւ նման տերմիններ բերել, եւ դավանանքի մեջ `մի քանի համարների արտադրանքը փոխարինում է այն արժեքով: Եվ քանի որ ռացիոնալ ֆրակցիայի համարանիշը եւ անվանումն են բազմակրություններ, ապա նրանց հետ դուք կարող եք նաեւ կատարել եւ բնորոշ է վերափոխման բազմակրությունները, օրինակ, բերելով ստանդարտ ձեւի կամ ներկայացուցչության:

Պարզության համար հաշվի առեք մի քանի օրինակների լուծումները:

Օրինակ.

Փոխարկեք ռացիոնալ մասնաբաժինը Որպեսզի բազմակնությունը ստանդարտ տեսակների բազմակնություն է թվանշանի, իսկ դավանանքի մեջ `բազմամոլների արտադրանքը:

Որոշում

Նոր դավանանքի համար ռացիոնալ ֆրակցիաների ստեղծումը հիմնականում օգտագործվում է ռացիոնալ ֆրակցիաները ավելացնելիս եւ հանելիս:

Կոմպոզիցիայից առաջ նշաններ փոխելը, ինչպես նաեւ իր թվային եւ դիսագրիչ

Կոմպոզիցիայի հիմնական գույքը կարող է օգտագործվել մասն նշանները խմբակցության անդամներից փոխելու համար: Իրոք, համարանիշի եւ ռացիոնալ ֆրակցիայի դավանանքի բազմապատկումը -1-ին -1-ին համարժեք է իրենց նշանների փոփոխությանը, եւ արդյունքը մի մասն է, որը նույնն է հավասար: Հաճախ անհրաժեշտ է շփվել այս վերափոխման հետ `ռացիոնալ ֆրակցիաներով աշխատելիս:

Այսպիսով, եթե միաժամանակ միաժամանակ փոխեք ֆրակցիայի թվանշանի եւ դավանանքի նշանները, դա կստացվի բաժինը հավասար է բնօրինակին: Հավասարությունը պատասխանատու է այս հայտարարության համար:

Եկեք օրինակ բերենք: Ռացիոնալ մասնաբաժինը կարող է փոխարինվել նույնականորեն հավասար մասնաբաժինին, ըստ տեսակների եւ տեսակների նշանակողի փոփոխված նշանների:

Կոտորանքով կարող է իրականացվել եւս մեկ նույնական փոխարկ, որի դեպքում նշանը փոխվում է կամ անվանումով կամ դոմենատորում: Եկեք բարձրաձայնեն համապատասխան կանոնը: Եթե \u200b\u200bFraction Sign- ը փոխարինեք համարի քանակի կամ դավանանքի քանակի հետ միասին, այն կդառնա բաժին, որը նույնականորեն հավասար է աղբյուրին: Արձանագրված հայտարարությունը համապատասխանում է հավասարությանը եւ.

Այս հավասարությունը ապացուցելը դժվար չէ: Ապացույցը հիմնված է թվերի բազմապատկման հատկությունների վրա: Մենք ապացուցում ենք դրանցից առաջինը. Նմանատիպ վերափոխումների օգնությամբ ապացուցված է հավասարությունը:

Օրինակ, կոտորակը կարող է փոխարինվել արտահայտությամբ կամ.

Այս պարբերության ավարտին մենք տալիս ենք եւս երկու օգտակար հավասարություն եւ. Այսինքն, եթե նշանը փոխում եք միայն թվաբանով կամ միայն դեղաչափողի կողմից, կոտորակը կփոխի իր նշանը: Օրինակ, մի քանազոր .

Համարվել է վերափոխումներ, որոնք թույլ են տալիս փոխել նշանը բաժնի անդամների մեջ, հաճախ կիրառվում են կոտորակային ռացիոնալ արտահայտություններ վերափոխելու ժամանակ:

Նվազեցնելով ռացիոնալ ֆրակցիաները

Ռացիոնալ ֆրակցիաների անունով ռացիոնալ ֆրակցիաների հետեւյալ վերափոխման հիման վրա նաեւ կոտորակների հիմնական սեփականությունն է: Այս վերափոխումը համապատասխանում է հավասարությանը, որտեղ A, B եւ C- ն որոշ բազմակնություններ են, եւ B եւ C - Nonzero:

Տվյալ հավասարությունից պարզ է դառնում, որ ռացիոնալ խմբակցության կրճատումը ներառում է ընդհանուր գործոնի տնօրինումը իր համարում եւ դավանատում:

Օրինակ.

Նվազեցրեք ռացիոնալ խմբակցությունը:

Որոշում

Ընդհանուր բազմապատկիչ 2-ը տեսանելի է, մենք կկատարենք դրա վրա կրճատումը (ձայնագրման ժամանակ, ընդհանուր գործոններ, որոնք կրճատվում են): Ունենալ , Քանի որ x 2 \u003d x · x եւ y 7 \u003d y 3 · y 4 (անհրաժեշտության դեպքում տես), պարզ է, որ X- ը Y 3-ի նմանատիպ խմբակցության համարի ընդհանուր բազմապատկիչ է: Մենք կնվազեցնենք այս գործոնները. , Այս նվազեցումը կրճատեց:

Վերեւում մենք հետեւողականորեն կրճատել ենք ռացիոնալ ֆրակցիան: Եվ հնարավոր եղավ նվազեցնել մեկ քայլի նվազումը, անմիջապես նվազեցնելով մասնաբաժինը 2 · · y 3-ով: Այս դեպքում լուծումը նման կլինի. .

Պատասխան:

.

Ռացիոնալ ֆրակցիաների կրճատմամբ հիմնական խնդիրն այն է, որ համարակալողի եւ դավանանքի ընդհանուր բազմապատկիչը միշտ չէ, որ տեսանելի չէ: Ավելին, միշտ չէ, որ գոյություն ունի: Ընդհանուր գործոն գտնելու կամ համոզվելու համար, որ անհրաժեշտ չէ ռացիոնալ մասնաբաժնի համարի համար `բազմապատկիչների վրա քայքայվելու համար: Եթե \u200b\u200bչկա ընդհանուր գործոն, ապա նախնական ռացիոնալ ֆորտը անհրաժեշտության կարիք չունի, հակառակ դեպքում կա կրճատում:

Ռացիոնալ խմբակցությունների կրճատման գործընթացում կարող են առաջանալ տարբեր նրբություններ: Օրինակների եւ հոդվածում բաժանված մանրամասների հիմնական նրբությունները եւ մանրամասները `հանրահաշվական ֆրակցիաները կրճատելով:

Լրացնելով բանական ֆրակցիաների կրճատման մասին զրույցը, մենք նշում ենք, որ այս վերափոխումը նույնական է, եւ նրա վարքի հիմնական բարդությունն է `թվանշանի եւ դոմինատորի մեջ քայքայվելը:

Կոտորափոխությունների քանակի տեսքով ռացիոնալ խմբակցության ներկայացուցչություն

Բավականին հատուկ, բայց որոշ դեպքերում շատ օգտակար է, պարզվում է, որ ռացիոնալ մասնաբաժինը, որը բաղկացած է իր ներկայացուցչությունից, որպես մի քանի ֆրակցիաների եւ բաժնի ընդհանուր գումար:

Ռացիոնալ մասնաբաժինը, որի համարում կա մի բազմամյա, որը մի քանի համախմբում է, միշտ կարելի է գրվել որպես նույն դեղաչափերով ֆրակցիաների քանակը, որի համարանիշները տեղին են: Օրինակ, , Նման ներկայացումը բացատրվում է նույնական նշանակողների հետ լրիվ եւ հանրահաշվական ֆրակցիաների ենթահողերի կանոններով:

Ընդհանուր առմամբ, ցանկացած ռացիոնալ կոտորակ կարող է ներկայացվել որպես տարբերակ տարբեր եղանակներով: Օրինակ, A / B խմբակցությունը կարող է ներկայացվել որպես երկու ֆրակցիաների գումար `կամայական ֆրակցիաներ C / D եւ կոտորակ, Հավասար տարբերություն Fractions A / B եւ C / D. Այս հայտարարությունն արդար է, քանի որ կա հավասարություն , Օրինակ, ռացիոնալ մասնաբաժինը կարող է ներկայացվել որպես ֆրակցիաների գումար տարբեր ձեւերով. Պատկերացրեք նախնական մասնագիտությունը ամբողջ արտահայտության եւ մասնագիտության չափի տեսքով: Հաշվիչը նշանակողին բաժանելուց հետո մենք կստանանք հավասարություն , N 3 + 4-ի համար ցանկացած ամբողջական N- ի արժեքը ամբողջ թվով է: Եվ ֆրակցիոն արժեքը այն ժամանակվա ամբողջական է, եւ միայն այն դեպքում, եթե դրա դավանանքը 1, -1, 3 կամ -3 է: Այս արժեքները համապատասխանում են համապատասխանաբար N \u003d 3, N \u003d 1, N \u003d 5 եւ N \u003d -1:

Պատասխան:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Մատենագիտություն:

• Հանրահաշիվ. Ուսումնասիրություններ: 8 CL- ի համար: Հանրակրթություն: Հաստատություններ / [yu. Ն. Մակարչեւ, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Իեշկով, Ս. Բ. Սուվորով]; Ed. Ս. Ա. Թելիկովսկի. - 16-րդ հր. - M.: Լուսավորություն, 2008 թ. - 271 էջ. : Il. - ISBN 978-5-09-019243-9:
• Մորդկովիչ Ա. Գ. Հանրահաշիվ: 7-րդ դասարան: 2 TSP- ում 1. Դասավանդում հանրակրթական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա. Մորդկովիչ: - 13-րդ խմբ., Գործիր: - Մնեմոզինա, 2009. - 160 էջ. Il. ISBN 978-5-346-01198-9:
• Մորդկովիչ Ա. Գ. Հանրահաշիվ: 8-րդ դասարան: 2 TSP- ում 1. Դասավանդում հանրակրթական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա. Մորդկովիչ: - 11-րդ խմբ., CHED. - Մնեմոզինա, 2009. - 215 էջ. Il. ISBN 978-5-346-01155-2:
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Մաթեմատիկա (օգուտ դեպի դիմորդների համար տեխնիկական դպրոցներում). Ուսումնասիրություններ: օգուտ. - մ.; Ավելի բարձր: ՇԿ., 1984. -351 էջ., Իլ.