Գործառույթների գրաֆիկա: Arksinus, arkkosinus - հատկություններ, գրաֆիկներ, բանաձեւերի աղյուսակ Arcsin X 2

Հակադարձ տրիգոնոմետրիկ գործառույթների հետ կապված առաջադրանքները հաճախ առաջարկվում են դպրոցական ավարտական \u200b\u200bքննություններում եւ որոշ բուհերում ընդունելության քննություններում: Այս թեմայի մանրամասն ուսումնասիրությունը կարելի է հասնել միայն ընտրովի դասերի կամ ընտրովի դասընթացների ընթացքում: Առաջարկվող ընթացքը նախագծված է հնարավորինս լիարժեք `յուրաքանչյուր ուսանողի կարողությունը զարգացնելու, իր մաթեմատիկական վերապատրաստումը մեծացնելու համար:

Դասընթացը նախատեսված է 10 ժամվա ընթացքում.

1. Գործառույթներ ARCSIN X, ARCCOS X, Arctg X, ARCCTG X (4 ժամ):

2. Գործողություններ հակադարձ տրիգոնոմետրիկ գործառույթների վերաբերյալ (4 ժամ):

3. Նորաձեւության տրիգոնոմետրիկ գործառնություններ «Եռանկյունաչափական գործառույթների վրա» (2 ժամ):

Դաս 1 (2 ժամ) Առարկա, գործառույթներ y \u003d arcsin x, y \u003d arccos x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctg x:

Նպատակը. Այս խնդրի ամբողջական լուսաբանումը:

1. Գործառույթ y \u003d arcsin x:

ա) «Y \u003d SIN X գործառույթի համար», կա հակադարձ (միանշանակ) գործառույթ, որ Արքսինուսը կոչվում եւ նշվում է հետեւյալ կերպ. Y \u003d Arcsin X. Հակադարձ գործառույթի գրաֆիկը սիմետրիկ է `հիմնական գործառույթի գծապատկերով` կապված BiSector I - III համակարգված անկյունների հետ:

Գործառույթի հատկությունները y \u003d arcsin x:

1) սահմանումը տարածքը `հատված [-1; մեկը];

2) փոփոխության տարածքը. Հատված;

3) գործառույթ y \u003d arcsin x տարօրինակ է. ARCSIN (-X) \u003d - arcsin x;

4) գործառույթը y \u003d arcsin x Monotonically աճող;

5) Գրաֆիկը հատում է առանցքը, օ Oh, կոորդինատների սկզբում:

Օրինակ 1. Գտեք A \u003d Arcsin: Այս օրինակը կարող է ձեւակերպվել մանրամասն. Նման փաստարկ գտնել, որի ներքեւից ստում հավասար է սինուսին:

Որոշում Կան անթիվ փաստարկներ, որոնց սինուսը հավասար է, օրինակ. Եվ այլն Բայց մեզ հետաքրքրում է միայն այն փաստարկը, որը գտնվում է հատվածում: Այս փաստարկը կլինի: Այսպիսով,.

Օրինակ 2. Գտեք .Որոշում Նույն կերպ վիճելով, ինչպես 1-ը, մենք ստանում ենք .

բ) բանավոր վարժություններ: Գտեք, ARCSIN 1, ARCSIN (-1), ARCSIN, ARCSIN (), ARCSIN, ARCSIN (), ARCSIN, ARCSIN (), ARCSIN 0. Նմուշի պատասխանը: որովհետեւ , Արտահայտման իմաստը նշանակում է. ARCSIN 1.5; ?

գ) բարձրացման կարգի աճը. ARCSIN, ARCSIN (-0.3), ARCSIN 0.9.

II. Գործառույթներ y \u003d arccos x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctg x (նման):

Դաս 2 (2 ժ) Թեմա. Հակադարձ տրիգոնոմետրիկ գործառույթներ, դրանց գծապատկերներ:

Նպատակը. Այս դասում անհրաժեշտ է մշակել արժեքների որոշման հմտություններ եռանկյունաչափ գործառույթներ, հակադարձ տրիգոնոմետրիկ գործառույթների գծապատկերների կառուցման մեջ, օգտագործելով D (Y), E (Y) եւ անհրաժեշտ վերափոխումները:

Այս դասում կատարել վարժություններ, ներառյալ սահմանման տարածքի հիմքը, տիպի գործառույթների արժեքների արժեքները. Y \u003d arcsin, y \u003d arccos, y \u003d arctg (tg x), Y \u003d arccos.

Պետք է կառուցվեն գործառույթի գծապատկերներ. Ա) y \u003d arcsin 2x; բ) y \u003d 2 arcsin 2x; գ) y \u003d arcsin;

դ) y \u003d arcsin; ե) y \u003d arcsin; ե) y \u003d arcsin; է) y \u003d | ARCSIN | ,

Օրինակ.Մենք կառուցում ենք գրաֆիկ y \u003d arccos

Տնային աշխատանքներում կարող են ներառվել հետեւյալ վարժությունները. Գործառույթների գծապատկերներ. Y \u003d arccos, y \u003d 2 arcctg x, y \u003d arccos | X | ,

Հակադարձ գործառույթի գծապատկերներ

3-րդ դասը (2 ժ.) Առարկա,

Գործողություններ հակադարձ տրիգոնոմետրիկ գործառույթների վերաբերյալ:

Նպատակը. Մաթեմատիկական գիտելիքների ընդլայնում (սա կարեւոր է դիմորդների համար մասնագիտությամբ մաթեմատիկական պատրաստման բարձրացման պահանջներով) `ներկայացնելով հիմնական հարաբերությունները հակադարձ տրիգոնոմետրիկ գործառույթների:

Նյութի համար:

Հակադարձ տրիգոնոմետրիկ գործառույթների վերաբերյալ որոշ պարզ տրիգոնոմետրիկ գործողություններ. sIN (ARCSIN X) \u003d X, I xi? մեկը; COS (ASCOS X) \u003d X, I xi? մեկը; Tg (arctg x) \u003d x, x i r; CTG: (Arcctg x) \u003d x, x i r.

Վարժություններ:

ա) tg (1.5 + arctg 5) \u003d - CTG (Arctg 5) \u003d .

cTG (arctg x) \u003d; TG (arcctg x) \u003d.

բ) COS (+ ARCSIN 0.6) \u003d - COS (ARCSIN 0.6): Թող ARCSIN 0,6 \u003d A, SIN A \u003d 0,6;

cOS (ARCSIN X) \u003d; SIN (ARCCOS X) \u003d.

Նշում. Վերցրեք «+» ստորագրությունը նախքան արմատը, քանի որ A \u003d Arcsin X- ը բավարարում է:

գ) մեղք (1,5 + arcsin): Պատասխանը.

դ) CTG (+ arctg 3): Պատասխանը.

ե) TG (- ARCCTG 4): Պատասխան.

ե) COS (0,5 + ARCCOS): Պատասխան:

Հաշվարկել.

ա) մեղք (2 arctg 5):

Թող arctg 5 \u003d a, ապա մեղք 2 A \u003d կամ մեղք (2 arctg 5) \u003d ;

բ) COS (+ 2 ARCSIN 0.8): Պատասխանը `0.28:

գ) arctg + arctg.

Թող A \u003d Arctg, B \u003d Arctg,

Ապա TG (A + B) \u003d .

դ) SIN (ARCSIN + ARCSIN):

ե) դա ապացուցել բոլոր x I- ի համար [-1; 1] True Arcsin X + ARCCOS X \u003d.

Ապացույցներ.

arcsin x \u003d - arccos x

sIN (ARCSIN X) \u003d SIN (- ARCCOS X)

x \u003d cos (arccos x)

Ինքնուրույն լուծումների համար.sIN (ARCCOS), COS (ARCSIN), COS (ARCSIN ()), SIN (ARCTG (3)), TG (ARCCOS), CTG (ARCCOS):

Տնային լուծման համար. 1) SIN (ARCSIN 0.6 + ArCTG 0); 2) arcsin + arcsin; 3) CTG (- ARCCOS 0.6); 4) COS (2 ARCCTG 5); 5) ՄԻՆ (1,5 - ARCSIN 0.8); 6) arctg 0.5 - Arctg 3:

Դաս 4-րդ (2h.) Առարկա. Գործողություններ հակադարձ տրիգոնոմետրիկ գործառույթների վերաբերյալ:

Նպատակը. Այս դասում պետք է ցույց տալ ավելի բարդ արտահայտություններ փոխարկելու գործակիցների օգտագործումը:

Նյութի համար:

Բանավոր.

ա) մեղք (ARCCOS 0.6), COS (ARCSIN 0.8);

բ) TG (ARCSTG 5), CTG (Arctg 5);

գ) SIN (ARCTG -3), COS (ARCSTG ());

դ) TG (ARCCOS), CTG (ARCCOS ()):

Գրելը.

1) COS (ARCSIN + ARCSIN + ARCSIN):

2) COS (Arctg 5-arccos 0.8) \u003d COS (ARCTG 5) COS (ARCCOS 0.8) + SIN (ARCTG 5) SIN (ARCCOS 0.8) \u003d

3) TG (- ARCSIN 0,6) \u003d - TG (ARCSIN 0.6) \u003d

4)

Անկախ աշխատանքը կօգնի բացահայտել նյութը տիրապետելու մակարդակը

1) TG (Arctg 2 - Arctg) 2) COS (- Arctg2) 3) arcsin + arccos	1) COS (ARCSIN + ARCSIN) 2) մեղք (1.5 - Arctg 3) 3) arcctg3 - Arctg 2

Տնային աշխատանքների համար կարող եք առաջարկել.

1) CTG (Arctg + Arctg + Arctg); 2) մեղքի 2 (ArCTG 2 - ARCCTG ()); 3) մեղք (2 arctg + tg (arcsin)); 4) ՄԻՆ (2 ԱՐԿՏԳ); 5) tg ((arcsin))

Դաս 5 (2 ժ) Առարկա. Հակադարձ տրիգոնոմետրիկ գործառնություններ եռանկյունաչափական գործառույթների վերաբերյալ:

Նպատակը. Եռանկյունաչափական գործառույթների վերաբերյալ հակառակ եռանկյունաձեւ գործողությունների վերաբերյալ ուսանողների ներկայացում ձեւավորել, ուշադրության կենտրոնում է ուսումնասիրվող տեսության իմաստը:

Այս թեման ուսումնասիրելիս ենթադրվում է, որ սահմանափակում է անգիրի տեսական նյութի ծավալը:

Դասի նյութ.

Նոր նյութի ուսումնասիրությունը կարող է սկսվել Y \u003d Arcsin (SIN X) գործառույթի գործառույթից եւ կառուցել դրա ժամանակացույցը:

3. Յուրաքանչյուր X I R- ն համապատասխանում է Y I- ին, I.E- ին:<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Գործառույթը տարօրինակ է. SIN (-X) \u003d - SIN X; Arcsin (Sin (-x)) \u003d - arcsin (SIN X):

6. Ժամանակացույց Y \u003d Arcsin (Sin X) - ում.

ա) 0.<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

բ)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sIN Y \u003d SIN (- X) \u003d sinx, 0<= - x <= .

Այսպիսով,

Buing Y \u003d Arcsin (Sin X) On, կշարունակի սիմետրիկորեն համեմատաբար կոորդինատների մեկնարկի հետ [-; 0] Հաշվի առնելով այս գործառույթի ճշգրտությունը: Օգտագործելով հաճախականությունը, մենք կշարունակենք ամբողջ թվային առանցքը:

Այնուհետեւ գրեք որոշ գործակիցներ. aRCSIN (SIN A) \u003d A Եթե<= a <= ; arccos (cos Ա ) \u003d Եթե 0<= a <= ; arctg (tg a) \u003d A Եթե< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Եւ կատարել հետեւյալ վարժությունները. Ա) Արկոս (մեղք 2): Արդյունք, 2 -; բ) ARCSIN (COS 0,6): Արդյունքը, - 0.1; գ) ARCTG (TG 2): Պատասխանը `2 -;

դ) ARCCTG (TG 0.6): Պատասխանը `0.9; ե) arccos (COS (- 2)): Պատասխան, 2 -; ե) ARCSIN (SIN (- 0.6)): Պատասխան. - 0.6; ժ) arctg (tg 2) \u003d arctg (tg (2 -)): Պատասխան, 2 -; ը) arcctg (tg 0.6): Պատասխան. - 0.6; - arctg x; ե) arccos + arccos

Գործառույթների գրաֆիկա

Գործառնական սինուս

- շատ Ռ.Բոլոր վավեր համարները:

Գործառույթի շատ արժեքներ - հատված [-1; 1], ես. Sinus գործառույթ - սահմանափակ.

Ֆունկցիան տարօրինակ է. Մեղք (-x) \u003d - Sin x բոլորի համար x ∈ Ռ..

Պարբերական գործառույթ

Մեղք (x + 2π · k) \u003d SIN X, որտեղ k ∈ Զ. բոլորի համար x ∈ Ռ..

sIN X \u003d 0 x \u003d π · k, k ∈ Զ..

sIN X\u003e 0 (Դրական) բոլոր x ∈ (2π · k, π + 2π), k ∈ Զ..

sIN X.< 0 (Բացասական) բոլոր x ∈- ի համար (π + 2π · k, 2π + 2π), k ∈ Զ..

Կոսինի գործառույթ

Գործառույթի սահմանման տարածք- շատ Ռ.Բոլոր վավեր համարները:

Գործառույթի շատ արժեքներ - հատված [-1; 1], ես. Կոսինի գործառույթ - սահմանափակ.

Գործառույթ նույնիսկ. COS (-x) \u003d cos x բոլորի համար x ∈ Ռ..

Պարբերական գործառույթ 2-րդ ամենափոքր դրական ժամանակահատվածով.

cOS (x + 2 · Կ.) \u003d Cos x, որտեղ Կ. ∈ Զ. բոլորի համար x ∈ Ռ..

cos x \u003d 0համար
cOS x\u003e 0 բոլորի համար
cOS X.< 0 բոլորի համար
Գործառույթը մեծանում է -1-ից 1-ը ընդմիջումներով.
Գործառույթը նվազում է -1-ից 1-ը ընդմիջումներով.
Գործառույթի ամենամեծ արժեքը SIN X \u003d 1 Միավորներով.
Գործառույթի ամենափոքր արժեքը SIN X \u003d -1 Միավորներով.

Շոշափելի առանձնահատկություն

Գործառույթի շատ արժեքներ - Բոլոր թվային ուղիղ, այսինքն. Tangent - գործառույթ Անսահմանափակ.

Ֆունկցիան տարօրինակ է. Tg (-x) \u003d - tg x
Գործառույթի գրաֆիկը սիմետրիկ է `կապված OY առանցքի հետ:

Պարբերական գործառույթ Ամենափոքր դրական ժամանակաշրջանը π, i.e. TG (x + π Կ.) \u003d Tg x, Կ. ∈ Զ. Բոլոր x- ի համար սահմանման տարածքից:

Cotanence առանձնահատկություն

Գործառույթի շատ արժեքներ - Բոլոր թվային ուղիղ, այսինքն. KOTANGENT - գործառույթ Անսահմանափակ.

Ֆունկցիան տարօրինակ է. CTG (-x) \u003d - CTG X բոլոր x- ի համար սահմանման տարածքից:
Գործառույթի գրաֆիկը սիմետրիկ է `կապված OY առանցքի հետ:

Պարբերական գործառույթ Ամենափոքր դրական ժամանակաշրջանը π, i.e. CTG (x + π Կ.) \u003d CTG X, Կ. ∈ Զ. Բոլոր x- ի համար սահմանման տարածքից:

Arksinus առանձնահատկություն

Գործառույթի սահմանման տարածք- հատված [-1; մեկը]

Գործառույթի շատ արժեքներ - Կտրել -π / 2 arcsin x π / 2, I.e. Arksinus - գործառույթ սահմանափակ.

Ֆունկցիան տարօրինակ է. Arcsin (-x) \u003d - arcsin x բոլորի համար x ∈ Ռ..
Գործառույթի գրաֆիկը սիմետրիկ է կոորդինատների սկզբում:

Ամբողջության ամբողջ տարածքում:

Arkkosinus գործառույթ

Գործառույթի սահմանման տարածք- հատված [-1; մեկը]

Գործառույթի շատ արժեքներ - Կտրեք 0 arccos x π, I.e. Arkkosinus - գործառույթ սահմանափակ.

Գործառույթը մեծանում է Ամբողջության ամբողջ տարածքում:

Գործառույթ Arctgernes

Գործառույթի սահմանման տարածք- շատ Ռ.Բոլոր վավեր համարները:

Գործառույթի շատ արժեքներ - Կտրեք 0 π, i.e. Arctanhance - գործառույթ սահմանափակ.

Ֆունկցիան տարօրինակ է. Arctg (-x) \u003d - Arctg x Բոլոր x ∈ Ռ..
Գործառույթի գրաֆիկը սիմետրիկ է կոորդինատների սկզբում:

Գործառույթը մեծանում է Ամբողջության ամբողջ տարածքում:

Գործառույթ arkkothangence

Գործառույթի սահմանման տարածք- շատ Ռ.Բոլոր վավեր համարները:

Գործառույթի շատ արժեքներ - Կտրեք 0 π, i.e. Arkotangent - գործառույթ սահմանափակ.

Գործառույթը ոչ նույնիսկ ոչ տարօրինակ է:
Գործառույթի գծապատկերը ասիմետրիկ կամ համեմատելի է կոորդինատների մեկնարկի կամ OY առանցքի համեմատ:

Գործառույթը իջնում \u200b\u200bէ Ամբողջության ամբողջ տարածքում:

Սահմանում եւ նոտացիա

Arksinus (y \u003d arcsin X.) - Սա գործառույթ է, հակադարձեք Sinus- ին (x \u003d Մեղքի Ե. -1 ≤ x ≤ 1 եւ շատ արժեքներ .π / 2 ≤ y ≤ π π / 2.
sIN (ARCSIN X) \u003d x ;
arcsin (sin x) \u003d x .

Arksinus- ը երբեմն նշվում է.
.

Arksinus- ի գործառույթների գծապատկեր

Ժամանակացույցի գործառույթ Y \u003d arcsin X.

Arksinus ժամանակացույցը ստացվում է Sinus Graph- ից, եթե փոխեք Abscissa- ն եւ կարգադրեք առանցքի տեղերը: Բազմագիտակցությունը վերացնելու համար արժեքների շրջանակը սահմանափակում է ընդմիջումը, որի վրա գործում է Monotonna: Նման սահմանումը կոչվում է Arksinus- ի հիմնական արժեքը:

Արկկոսինուս, Արկոս:

Սահմանում եւ նոտացիա

Arkkosinus (y \u003d aRCCOS X.) գործառույթ է, որը հակադարձում է կոսինին (x \u003d cos y.): Այն ունի բնորոշման ոլորտ -1 ≤ x ≤ 1 եւ շատ արժեքներ 0 ≤ Y ≤ π.
cOS (arccos x) \u003d x ;
arccos (cos x) \u003d x .

Arkkosinus- ը երբեմն նշում է.
.

Arkkosinus- ի գործառույթի գծապատկեր

Ժամանակացույցի գործառույթ Y \u003d aRCCOS X.

Arkkosinus- ի գրաֆիկը ձեռք է բերվում կոսինի գծապատկերից, եթե փոխեք Abscissa- ն եւ կարգադրեք առանցքի տեղերը: Բազմագիտակցությունը վերացնելու համար արժեքների շրջանակը սահմանափակում է ընդմիջումը, որի վրա գործում է Monotonna: Նման սահմանումը կոչվում է Arkkosinus- ի հիմնական արժեքը:

Հավասարություն

Arksinus գործառույթը տարօրինակ է.
aRCSIN (- X) \u003d arcsin (-sin arcsin x) \u003d aRCSIN (SIN (-ARMSIN X)) \u003d - ARCSIN X.

Արկովինուսի գործառույթը նույնիսկ տարօրինակ չէ.
arccos (- x) \u003d aRCCOS (-COS ARCCOS X) \u003d aRCCOS (COS (π-arccos x)) \u003d π - arccos x ≠ ± arccos x

Հատկություններ - ծայրահեղություններ, աճող, զինաթափում

Արքզինուսի եւ Արկկոզինուսի գործառույթները շարունակական են իրենց բնորոշման դաշտում (տես շարունակության ապացույց): Աղյուսակում ներկայացված են Arksinus- ի եւ Arkkosinus- ի հիմնական հատկությունները:

	y \u003d. arcsin X.	y \u003d. aRCCOS X.
Սահմանում եւ շարունակականության ոլորտ	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Արժեքների շրջան
Աճող, իջնող	Միապաղաղ աճում է	Միապաղաղորեն նվազում է
Առավելագույն
Մինիմա
Զերոս, Ե \u003d 0	x \u003d. 0	x \u003d. 1
Խաչմերուկի կետը `կարգադրող առանցքի հետ, x \u003d 0	y \u003d. 0	y \u003d π / 2

Arksinuses- ի եւ Arkkosinusov- ի աղյուսակ

Այս աղյուսակը ցույց է տալիս ArcSinuses- ի եւ Arcsinuses- ի արժեքները, աստիճանի եւ ռադիաների մեջ, փաստարկի որոշ արժեքներով:

X.	arcsin X.		aRCCOS X.
	Գրքույկ:	Ուրախ	Գրքույկ:	Ուրախ
- 1	- 90 °	-	180 °	π
-	- 60 °	-	150 °
-	- 45 °	-	135 °
-	- 30 °	-	120 °
0	0°	0	90 °
	30 °		60 °
	45 °		45 °
	60 °		30 °
1	90 °		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Բանաձեւեր

Տես նաեւ: Հակադարձ տրիգոնոմետրիկ գործառույթների բանաձեւերի արդյունքը

Գումարի եւ տարբերության բանաձեւերը

ժամը կամ

Ի.

Ի.

ժամը կամ

Ի.

Ի.

համար

համար

համար

համար

Արտահայտություններ լոգարիթմի, բարդ համարների միջոցով

Տես նաեւ: Բանաձեւերի եզրակացություն

Արտահայտությունները հիպերբոլիկ գործառույթների միջոցով

Ածանցյալներ

;
.
Տեսեք Arksinus- ի եւ Arkkosinus ածանցյալների ածանցյալները \u003e\u003e\u003e

Ավելի բարձր պատվերների ածանցյալներ:
,
որտեղ է բազմամյա աստիճանը: Այն որոշվում է բանաձեւերով.
;
;
.

Տեսեք Արքքսինուսի եւ Արկկոսինուսի ամենաբարձր կարգի ածանցյալները \u003e\u003e\u003e

Ինտեգրալներ

Կատարեք փոխարինող X \u003d Մեղքի տ., Մենք ինտեգրվում ենք մասերում, հաշվի առնելով, որ / 2 ≤ T ≤ π / 2, cOS T ≥ 0:
.

Արտահայտեք Arkkosinus- ը Arksinus- ի միջոցով.
.

Տարրալուծումը մի թվով

| X |< 1 Տեղի է ունենում հետեւյալ տարրալուծումը.
;
.

Հակադարձ գործառույթներ

Վերադառնալ Արքզինուս եւ Արկկոսինուս, համապատասխանաբար, սինուս եւ կոսիններ են:

Հետեւյալ բանաձեւերը վավեր են սահմանման ամբողջ դաշտում.
sIN (ARCSIN X) \u003d x
cOS (arccos x) \u003d x .

Հետեւյալ բանաձեւերը ուժի մեջ են միայն ARCSINUS եւ Arcsinus արժեքների հավաքածուի վրա.
arcsin (sin x) \u003d x համար
arccos (cos x) \u003d x at.

Հղումներ.
I.N. Բրոնշտեյն, Կ. Semendyaev, «LAN», 2009 թ. Նմուշների եւ ուսանողների ինժեներների եւ ուսանողների մաթեմատիկայի վերաբերյալ տեղեկագիր:

Տես նաեւ: