Primjeri dijagrama Eulerovih krugova. Eulerovi krugovi pomoći će riješiti problem.

Odjeljci: informatike

1. Uvod

U kolegiju Računarstvo i ICT u osnovnoj i srednjoj školi obrađuju se važne teme kao što su "Temelji logike" i "Traženje informacija na Internetu". Prilikom rješavanja određene vrste zadataka zgodno je koristiti Eulerove kružnice (Euler-Venn dijagrami).

Matematička referenca. Euler-Venn dijagrami se prvenstveno koriste u teoriji skupova kao shematski prikaz svih mogućih sjecišta nekoliko skupova. Općenito, oni predstavljaju sve 2 n kombinacije n svojstava. Na primjer, za n = 3, Euler-Venn dijagram se obično prikazuje kao tri kružnice sa središtima na vrhovima jednakostraničnog trokuta i istim polumjerom, približno jednakim duljini stranice trokuta.

2. Predstavljanje logičkih spojeva u upitima za pretraživanje

Prilikom proučavanja teme "Traženje informacija na Internetu" razmatraju se primjeri upita za pretraživanje koji koriste logičke spojnice, slične po značenju sindikatima "i", "ili" ruskog jezika. Značenje logičkih veziva postaje jasnije ako ih ilustrirate pomoću grafičkog dijagrama – Eulerovih krugova (Euler-Venn dijagrami).

Logičan paket	Primjer zahtjeva	Obrazloženje	Eulerovi krugovi
& - "I"	Pariz & Sveučilište	Odabrat će se sve stranice na kojima se spominju obje riječi: Pariz i Sveučilište	Sl. 1
| - "ILI"	Pariz | Sveučilište	Sve stranice na kojima se spominju riječi Pariz i/ili Sveučilište bit će odabrane.	sl. 2

3. Povezanost logičkih operacija s teorijom skupova

Uz pomoć Euler-Venn dijagrama može se vizualizirati veza između logičkih operacija i teorije skupova. Za demonstraciju možete koristiti slajdove Prilog 1.

Logičke operacije određene su vlastitim tablicama istinitosti. V Prilog 2 grafičke ilustracije logičkih operacija detaljno su obrađene zajedno s njihovim tablicama istinitosti. Objasnimo princip konstruiranja dijagrama u općem slučaju. Na dijagramu, područje kruga s imenom A odražava istinitost tvrdnje A (u teoriji skupova, krug A je oznaka svih elemenata uključenih u ovaj skup). U skladu s tim, područje izvan kruga prikazuje vrijednost "false" odgovarajuće izjave. Da biste razumjeli koje će područje dijagrama prikazati logičku operaciju, morate zasjeniti samo ona područja u kojima su vrijednosti logičke operacije na skupovima A i B jednake "true".

Na primjer, implikacijska vrijednost je "točna" u tri slučaja (00, 01 i 11). Sjenčanje uzastopno: 1) područje izvan dva kruga koji se sijeku, što odgovara vrijednostima A = 0, B = 0; 2) područje koje se odnosi samo na krug B (polumjesec), što odgovara vrijednostima A = 0, B = 1; 3) površina koja se odnosi na kružnicu A i kružnicu B (presjek) - odgovara vrijednostima A = 1, B = 1. Unija ova tri područja bit će grafički prikaz logičke operacije implikacije.

4. Korištenje Eulerovih krugova u dokazivanju logičkih jednakosti (zakona)

Da biste dokazali logičke jednakosti, možete primijeniti metodu Euler-Venn dijagrama. Dokažimo sljedeću jednakost ¬ (AvB) = ¬A & ¬B (de Morganov zakon).

Za vizualni prikaz lijeve strane jednakosti, izvršavamo uzastopno: zasjenimo oba kruga (primjenimo disjunkciju) sivom bojom, a zatim za prikaz inverzije zasjenimo područje izvan krugova crnom bojom:

Slika 3 Slika 4

Za vizualni prikaz desne strane jednakosti izvršit ćemo sekvencijalno: sivom bojom zasjeniti područje za prikaz inverzije (¬A) i, slično, područje ¬B sivom bojom; zatim, da biste prikazali konjunkciju, trebate uzeti sjecište ovih sivih područja (rezultat preklapanja prikazan je crnom bojom):

Slika 5 Slika 6 Slika 7

Vidimo da su površine za prikaz lijevog i desnog dijela jednake. Q.E.D.

5. Zadaci u formatu GIA i USE na temu: "Traženje informacija na Internetu"

Problem broj 18 iz demo verzije GIA 2013.

U tablici su navedeni zahtjevi prema poslužitelju pretraživanja. Za svaki zahtjev je naznačena njegova šifra - odgovarajuće slovo od A do G. Šifre zahtjeva stavite s lijeva na desno redom umanjujući broj stranica koje će tražilica pronaći za svaki zahtjev.

Kod	Upit
A	(Fly & Money) | Samovar
B	Fly & Money & Bazaar & Samovar
V	Letjeti | Novac | Samovar
G	Fly & Money & Samovar

Za svaki zahtjev napravimo Euler-Vennov dijagram:

Zahtjev A

Zahtjev B

Zahtjev B

Zahtjev D

Odgovor: WAGB.

Problem B12 iz demo verzije Jedinstvenog državnog ispita-2013.

Tablica prikazuje zahtjeve i broj stranica koje se na njima nalaze za određeni segment interneta.

Upit	Pronađene stranice (u tisućama)
Fregata | Razarač	3400
Fregata i razarač	900
Fregata	2100

Koliko će stranica (u tisućama) biti pronađeno po zahtjevu Razarač?

Pretpostavlja se da su se svi upiti izvršavali gotovo istovremeno, tako da se skup stranica koje sadrže sve riječi za pretraživanje nije mijenjao tijekom izvršavanja upita.

F - broj stranica (u tisućama) na zahtjev Fregata;

E - broj stranica (u tisućama) na zahtjev Razarač;

X je broj stranica (u tisućama) za zahtjev koji se spominje Fregata i ne spomenuti Razarač;

Y - broj stranica (u tisućama) za zahtjev koji se spominje Razarač i ne spomenuti Fregata.

Napravimo Euler-Venn dijagrame za svaki zahtjev:

Upit	Euler-Vennov dijagram	Broj stranica
Fregata | Razarač	Slika 12	3400
Fregata i razarač	Slika 13	900
Fregata	Slika 14	2100
Razarač	Slika 15	?

Prema dijagramima imamo:

1. X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. Stoga nalazimo Y = 3400-2100 = 1300.
2. E = 900 + Y = 900 + 1300 = 2200.

Odgovor: 2200.

6. Rješenje logičkih smislenih problema metodom Euler-Venn dijagrama

U razredu je 36 ljudi. Učenici ovog razreda pohađaju matematički, fizikalni i kemijski krug, a matematički krug pohađa 18 osoba, tjelesni - 14 osoba, kemijski - 10. Osim toga, poznato je da 2 osobe pohađaju sva tri kruga, 8 osoba - i matematički i fizikalni, 5 i matematički i kemijski, 3 - i fizikalni i kemijski.

Koliko učenika u razredu ne pohađa nijedan klub?

Za rješavanje ovog problema vrlo je zgodno i intuitivno korištenje Eulerovih krugova.

Najveći krug je mnoštvo svih učenika u razredu. Unutar kruga postoje tri skupa koji se sijeku: članovi matematičkog ( M), fizički ( F), kemijski ( x) krugovi.

Neka MFH- puno djece od kojih svako pohađa sva tri kruga. MF¬H- puno momaka, od kojih svaki pohađa krugove matematike i fizike i ne pohađa kemijski. ¬M¬FH- puno djece, od kojih svako pohađa kemijski, a ne ide u krug iz fizike i matematike.

Slično, uvodimo skupove: ¬MFH, M¬FH, M¬F¬H, ¬MF¬H, ¬M¬F¬H.

Poznato je da sva tri kruga pohađaju 2 osobe, dakle, u regiji MFH napiši broj 2. Pošto 8 ljudi pohađa i matematički i fizički krug, a među njima su već 2 osobe koje pohađaju sva tri kruga, zatim u regiji MF¬H uvest ćemo 6 osoba (8-2). Slično ćemo odrediti broj učenika u preostalim skupovima:

Zbrojimo broj ljudi u svim regijama: 7 + 6 + 3 + 2 + 4 + 1 + 5 = 28. Slijedom toga, 28 ljudi iz razreda pohađa kružoke.

To znači da 36-28 = 8 učenika ne pohađa kružoke.

Nakon zimskog odmora razrednica je pitala tko je od djece otišao u kazalište, kino ili cirkus. Ispostavilo se da od 36 učenika u razredu dvoje nije bilo u kinu. ni u kazalištu ni u cirkusu. Kino je posjetilo 25 ljudi, kazalište - 11, cirkus - 17 osoba; i u kinu i u kazalištu - 6; i u kinu i u cirkusu - 10; i u kazalištu i u cirkusu - 4.

Koliko je ljudi išlo u kino, kazalište i cirkus?

Neka je x broj djece koja su bila u kinu, kazalištu i cirkusu.

Zatim možete napraviti sljedeći dijagram i prebrojati broj djece u svakom području:

Kino i kazalište posjetilo je 6 osoba, što znači da samo kino i kazalište (6) ljudi. Slično, samo u kinu i cirkusu (10) ljudi. Samo u kazalištu i cirkusu (4) ljudi. Kino je posjetilo 25 ljudi, što znači da ih je samo 25 bilo u kinu - (10-x) - (6-x) - x = (9 + x). Slično, samo je u kazalištu bilo (1 + x) ljudi. Samo u cirkusu je bilo (3 + x) ljudi. Nisam bio u kazalištu, kinu i cirkusu - 2 osobe. To znači da je 36-2 = 34 osobe. posjetio događaje. S druge strane, možemo zbrojiti broj ljudi koji su bili u kazalištu, kinu i cirkusu: (9 + x) + (1 + x) + (3 + x) + (10-x) + (6-x) + (4-x) + x = 34 Iz toga proizlazi da je samo jedna osoba prisustvovala sva tri događaja.

Tako Eulerovi krugovi (Euler-Venn dijagrami) nalaze praktičnu primjenu u rješavanju zadataka u formatu ispita i GIA te u rješavanju smislenih logičkih problema.

Književnost

1. V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitin. Logika u informatici. M .: Informatika i obrazovanje, 2006.155 str.
2. L.L. Bosova. Aritmetičke i logičke osnove računala. Moskva: Informatika i obrazovanje, 2000.207 str.
3. L.L. Bosova, A. Yu. Bosova. Udžbenik. Informatika i IKT za 8. razred: BINOM. Laboratorij znanja, 2012.220 str.
4. L.L. Bosova, A. Yu. Bosova. Udžbenik. Informatika i IKT za 9. razred: BINOM. Laboratorij znanja, 2012.244 str.
5. FIPI web stranica: http://www.fipi.ru/

Ako mislite da ne znate ništa o takvom konceptu kao što su Eulerovi krugovi, onda ste duboko u zabludi. Još iz osnovne škole poznate su shematske slike ili krugovi koji vam omogućuju vizualno razumijevanje odnosa između pojmova i elemenata sustava.

Metodu, koju je izumio Leonard Euler, znanstvenik je koristio za rješavanje složenih matematičkih problema. On je prikazao skupove u krugovima i napravio ovu shemu temeljem takvog koncepta kao simboličkog. Metoda je osmišljena tako da što više pojednostavi rasuđivanje usmjereno na rješavanje određenog problema, zbog čega se tehnika aktivno koristi kako u osnovnoj školi tako i u akademskom okruženju. Zanimljivo je da je sličan pristup ranije koristio njemački filozof Leibniz, a kasnije su ga pokupili i primijenili u raznim modifikacijama poznati umovi na području matematike. Na primjer, pravokutni dijagrami češkog Bolzana, Schroedera, Venna, poznatih po stvaranju popularnog dijagrama na temelju ove jednostavne, ali iznenađujuće učinkovite metode.

Krugovi su osnova takozvanih "vizualnih internetskih mema", koji se temelje na sličnosti značajki pojedinih skupova. Smiješno je, vizualno i što je najvažnije razumljivo.

Krugovi misli

Krugovi vam omogućuju da vizualno opišete uvjete problema i odmah donesete ispravnu odluku ili identificirate smjer kretanja u smjeru ispravnog odgovora. U pravilu se Eulerovi krugovi koriste za rješavanje logičkih i matematičkih problema vezanih uz skupove, njihove unije ili djelomične preklapanja. Predmeti koji imaju svojstva svakog od skupova prikazanih kružnicom padaju u sjecište kružnica. Objekti koji nisu uključeni u skup su izvan ovog ili onog kruga. Ako su pojmovi apsolutno ekvivalentni, oni se označavaju jednim krugom, koji je unija dvaju skupova koji imaju jednaka svojstva i volumen.

Logika odnosa

Koristeći Eulerove krugove, možete riješiti niz svakodnevnih problema, pa čak i odlučiti o izboru budućeg zanimanja, samo morate analizirati svoje mogućnosti i želje i odabrati njihovo maksimalno sjecište.

Sada postaje jasno da Eulerovi krugovi uopće nisu apstraktni matematički i filozofski koncept iz kategorije teorijskog znanja, oni imaju vrlo primijenjeno i praktično značenje, omogućujući vam da se bavite ne samo najjednostavnijim matematičkim problemima, već i rješavate važne životne dileme na jasan i svima razumljiv način.

28. svibnja 2015

Leonard Euler (1707.-1783.) - poznati švicarski i ruski matematičar, član Petrogradske akademije znanosti, veći dio života proveo je u Rusiji. Najpoznatiji u matematičkoj analizi, statistici, informatici i logici je Eulerov krug (Euler-Venn dijagram), koji se koristi za označavanje opsega pojmova i skupova elemenata.

John Venn (1834-1923) - engleski filozof i logičar, koautor Euler-Venn dijagrama.

Kompatibilni i nekompatibilni koncepti

Pojam u logici znači oblik mišljenja koji odražava bitne značajke klase homogenih predmeta. Označavaju se jednom ili grupom riječi: "karta svijeta", "dominantni kvinta-sedmint akord", "ponedjeljak" itd.

U slučaju kada elementi volumena jednog pojma u potpunosti ili djelomično pripadaju volumenu drugog, govorimo o kompatibilnim pojmovima. Ako jedan element volumena određenog pojma ne pripada volumenu drugog, onda imamo mjesto s nespojivim pojmovima.

Zauzvrat, svaki od tipova pojmova ima svoj skup mogućih odnosa. Za kompatibilne koncepte, to su:

• istovjetnost (ekvivalentnost) volumena;
• sjecište (preklapanje) volumena;
• subordinacija (subordinacija).

Za nekompatibilno:

• subordinacija (koordinacija);
• suprotnost (suprotnost);
• proturječnost (kontradiktorna).

Shematski se odnosi između pojmova u logici obično označavaju Euler-Vennovim krugovima.

Relacije ekvivalencije

U ovom slučaju pojmovi znače isti predmet. Sukladno tome, volumeni ovih koncepata potpuno se podudaraju. Na primjer:

A - Sigmund Freud;

B - utemeljitelj psihoanalize.

Kvadrat;

B - jednakostranični pravokutnik;

S - konformni romb.

Za označavanje se koriste potpuno podudarni Eulerovi krugovi.

Raskrižje (djelomično podudaranje)

Učitelj;

B je ljubitelj glazbe.

Kao što se vidi iz ovog primjera, opseg pojmova se preklapa: određena skupina nastavnika može se pokazati ljubiteljima glazbe, i obrnuto, među ljubiteljima glazbe mogu biti i predstavnici učiteljske profesije. Sličan stav bit će i u slučaju kada, na primjer, "stanovnik grada" djeluje kao koncept A, a "vozač" kao B.

subordinacija (subordinacija)

Oni su shematski označeni kao Eulerovi krugovi različitih mjerila. Odnos između pojmova u ovom slučaju karakterizira činjenica da je podređeni pojam (manji po volumenu) u potpunosti uključen u podređeni (veći po volumenu). Pritom, podređeni pojam ne iscrpljuje u potpunosti podređeni.

Na primjer:

Stablo;

B - bor.

Koncept B bit će podređen konceptu A. Budući da se bor odnosi na stabla, koncept A u ovom primjeru postaje podređen, "apsorbirajući" opseg koncepta B.

Subordinacija (koordinacija)

Odnos karakterizira dva ili više pojmova koji se međusobno isključuju, ali u isto vrijeme pripadaju određenom zajedničkom obiteljskom krugu. Na primjer:

A - klarinet;

B - gitara;

S - violina;

D je glazbeni instrument.

Pojmovi A, B, C se međusobno ne preklapaju, ali svi pripadaju kategoriji glazbenih instrumenata (pojam D).

Suprotnost (suprotnost)

Suprotni odnosi između pojmova podrazumijevaju pripisivanje tih pojmova istom rodu. U ovom slučaju, jedan od koncepata ima određena svojstva (obilježja), dok ih drugi poriče, zamjenjujući ih suprotnim u prirodi. Dakle, imamo posla s antonimima. Na primjer:

A - patuljak;

B je div.

Uz suprotan odnos između pojmova, Eulerov krug je podijeljen na tri segmenta, od kojih prvi odgovara pojmu A, drugi konceptu B, a treći svim ostalim mogućim pojmovima.

Kontroverza (kontradiktorna)

U ovom slučaju, oba koncepta su vrste istog roda. Kao i u prethodnom primjeru, jedan od pojmova ukazuje na određene kvalitete (znakove), dok ih drugi negira. Međutim, za razliku od suprotne relacije, drugi, suprotni koncept ne zamjenjuje zanijekana svojstva drugim, alternativnim. Na primjer:

A je težak zadatak;

B je lak zadatak (ne-A).

Izražavajući opseg pojmova ove vrste, Eulerov krug je podijeljen na dva dijela - treća, posredna karika u ovom slučaju ne postoji. Dakle, pojmovi su također antonimi. U ovom slučaju, jedan od njih (A) postaje pozitivan (potvrđuje bilo koji znak), a drugi (B ili ne-A) - negativan (negira odgovarajući znak): "bijeli papir" - "nije bijeli papir", "ruski povijest" - "strana povijest" itd.

Dakle, omjer volumena pojmova u međusobnom odnosu ključna je karakteristika koja definira Eulerove krugove.

Odnosi između skupova

Također biste trebali razlikovati pojmove elemenata i skupova, čiji je volumen prikazan Eulerovim krugovima. Pojam skupa je posuđen iz matematičke znanosti i ima dovoljan široko značenje... Primjeri u logici i matematici ga prikazuju kao svojevrsnu zbirku objekata. Sami objekti su elementi ovog skupa. “Mnogi su mnogi, zamislivi kao jedan” (Georg Cantor, utemeljitelj teorije skupova).

Označavanje garnitura se provodi velikim slovima: A, B, C, D ... itd., elementi skupova su malim slovima: a, b, c, d ... i dr. Primjeri skupa mogu biti učenici u istoj učionici, knjige na a određena polica (ili, na primjer, sve knjige u određenoj knjižnici), stranice u dnevniku, bobice na šumskom proplanku itd.

Zauzvrat, ako određeni skup ne sadrži nijedan element, tada se naziva praznim i označava znakom Ø. Na primjer, skup točaka presjeka paralelnih pravaca, skup rješenja jednadžbe x 2 = -5.

Rješavanje problema

Za rješavanje velikog broja problema aktivno se koriste Eulerovi krugovi. Primjeri u logici jasno pokazuju vezu između logičkih operacija i teorije skupova. U ovom se slučaju koriste tablice istinitosti pojmova. Na primjer, krug označen imenom A predstavlja područje istine. Dakle, područje izvan kruga predstavljat će laž. Da biste odredili područje dijagrama za logičku operaciju, trebali biste zasjeniti područja koja definiraju Eulerov krug u kojem će njegove vrijednosti za elemente A i B biti istinite.

Korištenje Eulerovih krugova našlo je široku praktičnu primjenu u raznim industrijama. Na primjer, u situaciji s profesionalnim izborom. Ako je subjekt zabrinut za izbor budućeg zanimanja, može se voditi sljedećim kriterijima:

W - što volim raditi?

D - što da radim?

P - kako mogu dobro zaraditi?

Prikažimo to u obliku dijagrama: Eulerovi krugovi (primjeri u logici - odnos presjeka):

Rezultat će biti one profesije koje će biti na sjecištu sva tri kruga.

Euler-Venn krugovi zauzimaju posebno mjesto u matematici (teoriji skupova) kada se računaju kombinacije i svojstva. Eulerovi krugovi skupa elemenata zatvoreni su u pravokutnik koji predstavlja univerzalni skup (U). Umjesto krugova mogu se koristiti i drugi zatvoreni oblici, no bit se ne mijenja. Slike se međusobno sijeku prema uvjetima zadatka (u najopćenitijem slučaju). Također, ove brojke treba u skladu s tim označiti. Točke smještene unutar različitih segmenata dijagrama mogu djelovati kao elementi skupova koji se razmatraju. Na temelju toga moguće je zasjeniti određena područja, čime se označavaju novonastali skupovi.

S ovim skupovima dopušteno je ispuniti osnovnu matematičke operacije: zbrajanje (zbroj skupova elemenata), oduzimanje (razlika), množenje (produkt). Osim toga, zahvaljujući Euler-Venn dijagramima, moguće je izvesti operacije usporedbe skupova prema broju elemenata koji su u njima uključeni, ne računajući ih.

Nemojte ga izgubiti. Pretplatite se i primite vezu na članak na svoju e-poštu.

Eulerovi krugovi predstavljaju posebnu geometrijsku shemu potrebnu za pronalaženje i jasnije prikazivanje logičkih veza između pojmova i pojava, kao i za prikaz odnosa između određenog skupa i njegovog dijela. Zahvaljujući svojoj jasnoći, uvelike pojednostavljuju svako razmišljanje i pomažu vam da brže pronađete odgovore na pitanja.

Autor krugova je poznati matematičar Leonard Euler, koji je smatrao da su nužni za olakšavanje ljudskog razmišljanja. Od svog početka, metoda je stekla široku popularnost i priznanje.

Leonard Euler je ruski, njemački i švicarski matematičar i mehaničar. Dao je ogroman doprinos razvoju matematike, mehanike, astronomije i fizike, kao i niza primijenjenih znanosti. Napisao je preko 850 znanstvenih radova iz teorije brojeva, glazbene teorije, nebeske mehanike, optike, balistike i drugih područja. Među tim djelima nalazi se nekoliko desetaka temeljnih monografija. Euler je polovicu svog života proveo u Rusiji i imao je veliki utjecaj na formiranje ruske znanosti. Mnoga njegova djela napisana su na ruskom jeziku.

Kasnije su mnogi poznati znanstvenici u svojim radovima koristili Eulerove krugove, na primjer, češki matematičar Bernard Bolzano, njemački matematičar Ernest Schroeder, engleski filozof i logičar John Venn i drugi. Danas metodologija služi kao osnova za mnoge vježbe za razvoj mišljenja, uključujući vježbe iz našeg besplatnog online programa "".

Čemu služe Eulerovi krugovi?

Eulerovi krugovi su od praktične važnosti, jer se mogu koristiti za rješavanje mnogih praktičnih problema o sjecištu ili uniji skupova u logici, matematici, menadžmentu, informatici, statistici itd. Oni su također korisni u životu, jer radeći s njima možete dobiti odgovore na mnoga važna pitanja, pronaći puno logičnih odnosa.

Postoji nekoliko grupa Eulerovih krugova:

• ekvivalentni krugovi (slika 1 na dijagramu);
• kružnice koje se sijeku (slika 2 na dijagramu);
• podređeni krugovi (slika 3 na dijagramu);
• podređeni krugovi (slika 4 na dijagramu);
• sukobljeni krugovi (slika 5 na dijagramu);
• suprotne kružnice (slika 6 na dijagramu).

Pogledajte dijagram:

Ali u vježbama za razvoj mišljenja najčešće se nalaze dvije vrste krugova:

• Krugovi koji opisuju asocijacije pojmova i pokazuju ugniježđenje jednog u drugi. Pogledajte primjer:

• Krugovi koji opisuju sjecište različitih skupova koji imaju neke zajedničke značajke... Pogledajte primjer:

Rezultat korištenja Eulerovih krugova vrlo je jednostavno pratiti u ovom primjeru: kada razmišljate o tome koju profesiju odabrati, možete se ili dugo raspravljati pokušavajući razumjeti koji je prikladniji, ili možete nacrtati sličan dijagram, odgovoriti na pitanja i izvući logičan zaključak.

Metoda je vrlo jednostavna za primjenu. Također se može nazvati univerzalnim - pogodno za ljude svih dobi: od djece predškolske dobi(u vrtićima se djeca uče u krugovima, počevši od 4-5 godina starosti) do učenika (problemi s kružićima su npr. u USE testovima iz informatike) i znanstvenika (krugovi se široko koriste u akademskom okruženju).

Tipičan primjer Eulerovih krugova

Kako biste bolje razumjeli kako Eulerovi krugovi "funkcionišu", preporučamo da se upoznate s tipičnim primjerom. Obratite pažnju na sljedeću sliku:

Na slici je najveći set označen zelenom bojom, što predstavlja sve opcije za igračke. Jedan od njih su konstruktori (plavi oval). Konstruktori su zaseban set za sebe, ali su ujedno i dio općeg skupa igračaka.

U set igračaka spadaju i igračke sa satnim mehanizmom (ljubičasti oval), ali nemaju veze sa setom konstruktora. Ali auto sa satom (žuti oval), čak i ako je samostalna pojava, smatra se jednom od podskupina igračaka sa satom.

Slična shema se koristi za konstruiranje i rješavanje mnogih zadataka (uključujući zadatke za razvoj kognitivnih sposobnosti) koji uključuju Eulerove krugove. Pogledajmo jedan takav problem (usput rečeno, upravo je taj problem bio uključen u demo test Jedinstvenog državnog ispita iz informatike i ICT 2011.).

Primjer rješavanja problema pomoću Eulerovih krugova

Uvjeti problema su sljedeći: sljedeća tablica pokazuje koliko je stranica pronađeno na internetu za određene upite:

Pitanje problema: koliko stranica (u tisućama) će tražilica dati za upit "Krstarica i bojni brod"? Treba imati na umu da se svi upiti izvršavaju otprilike u isto vrijeme, tako da je skup stranica s traženim riječima ostao nepromijenjen od izvršavanja upita.

Problem se rješava na sljedeći način: korištenjem Eulerovih krugova prikazani su uvjeti problema, a brojevi "1", "2" i "3" označavaju rezultirajuće segmente:

Uzimajući u obzir uvjete problema, sastavljamo jednadžbe:

1. Krstarica / bojni brod: 1 + 2 + 3 = 7.000;
2. Krstarica: 1 + 2 = 4 800;
3. Bojni brod: 2 + 3 = 4500.

Da biste odredili broj upita "Krstarica i bojni brod" (segment je označen brojem "2" na slici), zamijenite jednadžbu 2 u jednadžbu 1 i dobijete:

4.800 + 3 = 7.000, što znači da je 3 = 2.200 (budući da je 7.000-4.800 = 2.200).

2 + 2.200 = 4.500, što znači da je 2 = 2.300 (jer je 4.500-2.200 = 2.300).

Odgovor: upit "Krstarica i bojni brod" naći će 2300 stranica.

Ovaj primjer jasno pokazuje da pomoću Eulerovih krugova možete brzo i jednostavno riješiti složene probleme.

Sažetak

Eulerovi krugovi su vrlo korisna tehnika za rješavanje problema i uspostavljanje logičkih veza, a ujedno i zabavan i zanimljiv način provođenja vremena i vježbanja mozga. Dakle, ako želite kombinirati posao s užitkom i raditi glavom, predlažemo da pohađate naš tečaj "", koji uključuje niz zadataka, uključujući Eulerove krugove, čija je učinkovitost znanstveno potkrijepljena i potvrđena dugogodišnjom praksom.

Ako mislite da ne znate ništa o Eulerovim krugovima, varate se. Zapravo, vjerojatno ste ih više puta naišli, samo niste znali kako se to zove. Gdje točno? Eulerovi obrasci kruga činili su osnovu mnogih popularnih internetskih memova (slike koje su kružile mrežom na određenu temu).

Otkrijmo zajedno koji su to krugovi, zašto se tako zovu i zašto su tako prikladni za rješavanje mnogih problema.

Podrijetlo pojma

Je geometrijska shema koja pomaže pronaći i/ili učiniti logičnim vezama između pojava i pojmova očiglednijima. Također pomaže u oslikavanju odnosa između bilo kojeg skupa i njegovog dijela.

Još nije baš jasno, zar ne? Pogledajte ovu sliku:

Slika prikazuje mnoge - sve moguće igračke. Neke od igračaka su građevinski setovi - istaknuti su u zasebnom ovalu. Ovo je dio velikog skupa "igračaka" i istovremeno zasebnog seta (uostalom, konstruktor može biti i "Lego" i primitivni konstruktori od cigli za djecu). Neki dio velikog broja "igračaka" mogu biti igračke na navijanje. Nisu konstruktori pa im crtamo poseban oval. Žuti ovalni "automobil na navijanje" odnosi se i na set "igračaka" i dio je manjeg seta "igračaka na navijanje". Stoga je prikazan unutar oba ovala odjednom.

Pa, postalo je jasnije? Zato su Eulerovi krugovi metoda koja jasno pokazuje: bolje je jednom vidjeti nego sto puta čuti. Njegova je zasluga što jasnoća pojednostavljuje rasuđivanje i pomaže bržem i lakšem dobivanju odgovora.

Autor metode je znanstvenik Leonard Euler (1707-1783). Govorio je o shemama koje su nazvane po njemu: "krugovi su prikladni kako bi olakšali naše razmišljanje." Euler se smatra njemačkim, švicarskim, pa čak i ruskim matematičarem, mehaničarom i fizičarem. Činjenica je da je dugi niz godina radio na Petrogradskoj akademiji znanosti i dao značajan doprinos razvoju ruske znanosti.

Prije njega, njemački matematičar i filozof Gottfried Leibniz vodio se sličnim principom u konstruiranju svojih zaključaka.

Eulerova metoda dobila je zasluženo priznanje i popularnost. I nakon njega, mnogi su ga znanstvenici koristili u svom radu, a i modificirali ga na svoj način. Na primjer, češki matematičar Bernard Bolzano koristio se istom metodom, ali s pravokutnim krugovima.

Doprinos je dao i njemački matematičar Ernest Schroeder. Ali glavna zasluga pripada Englezu Johnu Vennu. Bio je stručnjak za logiku i objavio je knjigu "Simbolička logika" u kojoj je detaljno opisao svoju verziju metode (koristio je uglavnom slike presjeka skupova).

Zahvaljujući Vennovom doprinosu, metoda se čak naziva Vennovi dijagrami ili čak Euler-Venn dijagrami.

Zašto su Eulerovi krugovi potrebni?

Eulerovi krugovi imaju primijenjenu svrhu, odnosno uz njihovu pomoć u praksi rješavaju probleme sjedinjenja ili presjeka skupova u matematici, logici, upravljanju i drugo.

Ako govorimo o vrstama Eulerovih krugova, onda ih možemo podijeliti na one koji opisuju kombinaciju nekih pojmova (na primjer, omjer roda i vrste) - ispitali smo ih na primjeru na početku članka.

A također i na onima koji iz nekog razloga opisuju presjek skupova. Tim se principom vodio John Venn u svojim shemama. I on je taj koji je temelj mnogih popularnih memova na internetu. Evo jednog primjera takvih Eulerovih krugova:

Smiješno, zar ne? I što je najvažnije, sve odmah postaje jasno. Možete potrošiti puno riječi objašnjavajući svoje stajalište, ili možete jednostavno nacrtati jednostavan dijagram koji će odmah sve staviti na svoje mjesto.

Usput, ako ne možete odlučiti koju profesiju odabrati, pokušajte nacrtati dijagram u obliku Eulerovih krugova. Možda će vam ovakav crtež pomoći da napravite pravi izbor:

One opcije koje će biti na raskrižju sva tri kruga, a postoji i profesija koja će vas ne samo moći hraniti, već će vam i ugoditi.

Rješavanje zadataka korištenjem Eulerovih krugova

Pogledajmo nekoliko primjera problema koji se mogu riješiti korištenjem Eulerovih krugova.

Ovdje na ovoj stranici - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Elena Sergeevna Sazhenina nudi zanimljive i jednostavne probleme koji zahtijevaju Eulerovu metodu. Koristeći se logikom i matematikom, analizirajmo jedan od njih.

Problem s omiljenim crtićima

Učenici šestih razreda ispunjavali su upitnik s pitanjima o svojim omiljenim crtićima. Ispostavilo se da se većini sviđaju Snjeguljica i sedam patuljaka, Spužva Bob Kockalone i Vuk i tele. U razredu je 38 učenika. 21 učenik poput Snjeguljice i sedam patuljaka. A njih troje voli i “Vuka i tele”, šestero – “Spužvu Bobu kvadratu”, a jedno dijete podjednako voli sva tri crtića. Vuk i tele ima 13 obožavatelja, od kojih je petoro na svom profilu imenovalo dva crtića. Moramo odrediti koliko učenika šestih razreda voli Spužva Boba SquarePantsa.

Riješenje:

Kako, prema uvjetima zadatka, imamo tri skupa, nacrtamo tri kružnice. A budući da se, prema odgovorima momaka, ispostavi da se skupovi međusobno sijeku, crtež će izgledati ovako:

Sjećamo se da je prema uvjetima problema među ljubiteljima crtića "Vuk i tele" pet momaka odabralo dva crtića odjednom:

Ispostavilo se da:

21 - 3 - 6 - 1 = 11 - dečki su odabrali samo Snjeguljicu i sedam patuljaka.

13 - 3 - 1 - 2 = 7 - dečki gledaju samo Vuka i tele.

Ostaje samo shvatiti koliko učenika šestih razreda više voli crtić "Spužva Bob kvadratni" u odnosu na druge dvije opcije. Od ukupnog broja učenika oduzimamo sve one koji vole druga dva crtića ili su odabrali nekoliko opcija:

38 - (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 - ljudi gledaju samo SpongeBob SquarePants.

Sada možemo sa sigurnošću zbrojiti sve dobivene brojeve i saznati da:

crtani film "Spužva Bob Kockalone" odabralo je 8 + 2 + 1 + 6 = 17 ljudi. Ovo je odgovor na pitanje postavljeno u problemu.

I razmotrimo zadatak, koji je 2011. godine uzet na USE demonstracijskom testu iz informatike i ICT-a (izvor - http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Uvjeti problema:

U jeziku upita tražilice, simbol "|" koristi se za označavanje logičke operacije "ILI", a simbol "&" za logičku operaciju "AND".

Tablica prikazuje zahtjeve i broj stranica koje se na njima nalaze za određeni segment interneta.

Upit	Pronađene stranice (u tisućama)
Krstarica | Bojni brod	7000
Krstarica	4800
Bojni brod	4500

Koliko će stranica (u tisućama) biti pronađeno po zahtjevu Krstarica i bojni brod?

Pretpostavlja se da se sva pitanja izvršavaju gotovo istovremeno, tako da se skup stranica koje sadrže sve tražene riječi nije promijenio tijekom izvršavanja upita.

Riješenje:

Uz pomoć Eulerovih krugova predstavljamo uvjete problema. U ovom slučaju koristimo brojeve 1, 2 i 3 za označavanje rezultirajućih područja.

Na temelju uvjeta zadatka sastavljamo jednadžbe:

1. Krstarica | Bojni brod: 1 + 2 + 3 = 7000
2. Krstarica: 1 + 2 = 4800
3. Bojni brod: 2 + 3 = 4500

Pronaći Krstarica i bojni brod(označeno na crtežu kao područje 2), zamijenite jednadžbu (2) u jednadžbu (1) i saznajte da:

4800 + 3 = 7000, odakle dobivamo 3 = 2200.

Sada možemo ovaj rezultat zamijeniti u jednadžbu (3) i saznati da:

2 + 2200 = 4500, odakle je 2 = 2300.

Odgovor: 2300 - broj stranica pronađenih na zahtjev Krstarica i bojni brod.

Kao što vidite, Eulerovi krugovi pomažu u brzom i jednostavnom rješavanju čak i prilično složenih ili jednostavno zbunjujućih problema na prvi pogled.

Zaključak

Vjerujem da smo vas uspjeli uvjeriti da Eulerovi krugovi nisu samo zabavna i zanimljiva stvar, već i vrlo korisna metoda rješavanja problema. I ne samo apstraktni zadaci u školskim satima, već i sasvim svakodnevni problemi. Odabir budućeg zanimanja, na primjer.

Vjerojatno će vas također zanimati da se u modernoj popularnoj kulturi Eulerovi krugovi odražavaju ne samo u obliku mema, već iu popularnim TV serijama. Kao što su "Teorija velikog praska" i "4isla".

Koristite ovu korisnu i vizualnu metodu za rješavanje problema. I svakako o tome obavijestite svoje prijatelje i kolege iz razreda. Za to se ispod članka nalaze posebni gumbi.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.