Salvestage näide ebavõrdsuse kujul. Lineaarne ebavõrdsus

See tähendab, et esmalt salvestada ebavõrdsesse kaasatud muutuja, seejärel kasutab lisaseadme märk ∈ märkida, millist numbrilist lõhe kuulub selle muutuja väärtustesse. Sel juhul väljend x. ∈ [2; 8] Näitab, et muutuja x Ebavõrdsus 2 ≤ x.≤ 8, võtab kõik väärtused intervallis 2 kuni 8 kaasava. Nende väärtustega on ebavõrdsus õige.

Pange tähele, et vastus salvestatakse ruuduklambritega, kuna ebavõrdsuse piirid 2 ≤ x.≤ 8, nimelt numbrid 2 ja 8 kuuluvad paljude selle ebavõrdsuse lahendusi.

Paljude ebavõrdsuse lahendusi 2 ≤ x.≤ 8 saab kujutada ka koordinaatide abil:

Siin on numbrilise vahe 2 ja 8 piirid vastavad ebavõrdsuse piiridele 2 ≤ x. x. 2 ≤ x.≤ 8 .

Mõnes piirivaldkonnas, mis ei kuulu numbriline vahekõne avama .

Neid nimetatakse neile põhjusel, et numbriline lõhe jääb avatuks, kuna selle piirid ei kuulu sellele numbrilisele lõhele. Kutsutakse tühja ringi koordinaatide otsematemaatika puhastamispunkt . See tähendab, et kõrvaldada punkt, et välistada see numbrilise intervalli või mitmesuguste ebavõrdsuse lahendusi.

Ja juhul, kui piirid kuuluvad numbrilisele lõhele, kutsutakse neid suletud (või suletud), kuna sellised piirid on suletud (suletud) numbriline lõhe. Koordinaadi kreemja ring näitab ka piiride suletud suletud.

On sortide numbriliste intervallidega. Mõtle igale neist.

Numbrimärk

Numbrimärk x ≥ A.kus a. x - Ebavõrdsuse lahendus.

Las olla a.\u003d 3. Siis ebavõrdsus x ≥ A. Vaade x.≥ 3. Selle ebavõrdsuse otsused on kõik numbrid, mis on rohkem kui 3, sealhulgas number 3.

Näita ebavõrdsuse poolt antud numbrilist raidust x.≥ 3, koordinaatide otseselt. Selleks märgime selle punkti koordinaadiga 3 ja ülejäänud tema piirkonna paremale Me rõhutame lööki. See on just õige pool, kuna ebavõrdsuse lahendused x.≥ 3 on numbrid, rohkem kui 3. ja rohkem kui koordinaatide otsene

x.≥ 3 ja lööki valitud ala vastab väärtuste kogumile x. mis on ebavõrdsuse lahendused x.≥ 3 .

Punkt 3, mis on numbrilise tala piir, on kujutatud värvitud kruusi kujul, sest ebavõrdsuse piiri x.≥ 3 kuulub komplekt oma lahendusi.

Ebavõrdsuse poolt antud numbrilise raiuse kirjas x ≥ a

[ a.; +∞)

See võib näha, et ühelt poolt piiri raamitud ruuduklamber ja teises ringis. See on tingitud asjaolust, et üks piiri tala piiri kuulub tema juurde ja teine \u200b\u200bei ole, sest piiride lõpmatus ise ei ole ja see tähendab, et teiselt poolt ei ole number, mis sulgeb see numbriline raiskamine.

Arvestades, et numbrilise tala üks piiri on suletud, seda lõhet nimetatakse sageli suletud numbrimärk.

Me kirjutame vastuse ebavõrdsusele x.≥ 3 numbrilise tala määramisega. Meil on muutuja a. võrdne 3-ga.

x. ∈ [ 3 ; +∞)

Sellisel juhul öeldakse, et muutuja x. ebavõrdsus x.≥ 3 võtab kõik väärtused 3-st pluss lõpmatusest.

Teisisõnu, kõik numbrid 3-st pluss lõpmatusest on ebavõrdsuse lahendused x.≥ 3. Piir 3 kuulub paljudele lahendustele, sest ebavõrdsus x.≥ 3 on ranged.

Suletud numbrimärk nimetatakse ka numbriliseks vaheks, mis on määratletud ebavõrdsuses. x ≤ a.Lahenduste ebavõrdsus x ≤ A. asealhulgas number a.

Näiteks, kui a. x.≤ 2. Koordinaadi otsest piiri 2 kujutatakse ringiga ja kogu asuva ala vasakuletõstetakse esile löögiga. Seekord tähistab vasakpoolne osa, sest ebavõrdsuse lahendused x.≤ 2 on numbrid väiksemad kui 2. ja vähem numbreid koordinaatide otsest vasakule

x.≤ 2 ja lööki valitud ala vastab väärtuste kogumile x. mis on ebavõrdsuse lahendused x.≤ 2 .

Punkt 2, mis on arvulise tala piir, on kujutatud värvitud kruusi kujul, sest ebavõrdsuse piiri x.≤ 2 kuulub komplekt oma lahendusi.

Me kirjutame vastuse ebavõrdsusele x.≤ 2 numbrilise tala määramise kasutamine:

x. ∈ (−∞ ; 2 ]

x.≤ 2. Border 2 kuulub lahenduste seadmine, kuna ebavõrdsus x.≤ 2 on ranged.

Välistes numbrimärk

Avatud numbrimärk Vaadake määratletud ebavõrdsuse numbrilist lõhet x\u003e A. kus a. - selle ebavõrdsuse piiri, \\ t x. - ebavõrdsuse otsus.

Avatud numbriline tala on suures osas sarnane suletud numbrilisele talale. Erinevus on see, et piir a. ei kuulu lõhet, nagu ebavõrdsuse piir x\u003e A. ei kuulu selle lahenduste komplekti.

Las olla a.\u003d 3. Seejärel vaatab ebavõrdsus x.\u003e 3. Otsused selle ebavõrdsuse kõik numbrid, mis on rohkem kui 3, välja arvatud number 3

Ebavõrdsuse poolt antud avatud numbrilise tala koordineerimiseks x.\u003e 3 kujutatakse tühja kruusi kujul. Kogu paremal asuv ala, mis on esile tõstetud löögid:

Siinkohal 3 vastab punkt 3 ebavõrdsuse piirile x\u003e3 ja lööki valitud ala vastab väärtuste kogumile x. mis on ebavõrdsuse lahendused x\u003e 3. Punkt 3, mis on avatud numbrilise tala piir, on kujutatud tühja kruusi kujul, sest ebavõrdsuse piiri x\u003e 3 ei kuulu oma lahenduste komplekti.

x\u003e a, märgitud järgmiselt:

(a.; +∞)

Ümmargused sulgudes näitavad, et avatud numbrilise tala piirid ei kuulu teda.

Me kirjutame vastuse ebavõrdsusele x. \u003e 3 Avatud numbrilise tala määramisega:

x. ∈ (3 ; +∞)

Sellisel juhul öeldakse, et kõik numbrid 3-st pluss lõpmatusest on ebavõrdsuse lahendused x. \u003e 3. Piir 3 ei kuulu lahenduste kogumile, kuna ebavõrdsus x. \u003e 3 on range.

Avatud numbrimärk nimetatakse ka numbriliseks intervallile, mis on ebavõrdsus x.< a kus a. - selle ebavõrdsuse piiri, \\ t x. - ebavõrdsuse lahendamine . Lahenduste ebavõrdsus x.< a on kõik numbrid, mis on vähem avälja arvatud number a.

Näiteks, kui a.\u003d 2, ebavõrdsus vaadeldakse x.< 2. Koordinaadi otsepiiri 2 kujutatakse tühja ringiga ja kogu vasakul asuv ala, mis on esile tõstetud löögid:

Siin vastab punkt 2 ebavõrdsuse piirile x.< 2 ja löögi valitud ala vastab väärtuste kogumile x. mis on ebavõrdsuse lahendused x.< 2. Punkt 2, mis on avatud numbrilise tala piir, on kujutatud tühja kruusi kujul, sest ebavõrdsuse piiri x.< 2 ei kuulu oma lahenduste komplekti.

Tähele avatud numbriline ray antud ebavõrdsuse x.< a , märgitud järgmiselt:

(−∞ ; a.)

Me kirjutame vastuse ebavõrdsusele x.< 2 avatud numbrilise tala määramisega:

x. ∈ (−∞ ; 2)

Sellisel juhul öeldakse, et kõik miinus lõpmatuse numbreid 2 on lahenduste ebavõrdsus x.< 2. Piir 2 ei kuulu lahenduste kogumile, kuna ebavõrdsus x.< 2 on range.

Osa

Lõigatud a ≤ x ≤ b kus a. ja b. x. - ebavõrdsuse otsus.

Las olla a. = 2 , b. \u003d 8. Siis ebavõrdsus a ≤ x ≤ b võtab vormi 2 ≤ x.≤ 8. Lahenduste ebavõrdsus 2 ≤ x.≤ 8 on kõik numbrid, mis on suuremad kui 2 ja vähem kui 8. Samal ajal kuuluvad ebavõrdsuse 2 ja 8 piirid oma lahenduste kogumile, kuna ebavõrdsus 2 ≤ x.≤ 8 on ranged.

Näita kahekordse ebavõrdsusega segmenti 2 ≤ x.≤ 8 koordinaadi otseselt. Selleks me tähele, et punktid koordinaadid 2 ja 8 ning piirkonna pindala asub nende vahel, levitada lööki:

≤ x.≤ 8 ja löögi valitud ala vastab väärtuste kogumile x. x.≤ 8. Punktid 2 ja 8, mis on segmendi piirid, on kujutatud värvitud ringide kujul, kuna ebavõrdsuse piirid 2 ≤ x.≤ 8 kuulub komplekt oma lahendusi.

Ebavõrdsuse antud segmendi kirjas a ≤ x ≤ b märgitud järgmiselt:

[ a; B. ]

Mõlemal poolel ruuduklambrid näitavad, et segmendi piirid omanikuks tema. Kirjutame vastuse ebavõrdsusele 2 ≤ x.

x. ∈ [ 2 ; 8 ]

Sellisel juhul on öeldud, et kõik numbrid 2 kuni 8 kaasava on ebavõrdsuse lahendused 2 ≤ x.≤ 8 .

Intervall

Intervall Helista numbriline vahe, mis on seatud kahekordse ebavõrdsusega a.< x < b kus a. ja b. - selle ebavõrdsuse piirid, \\ t x. - ebavõrdsuse otsus.

Las olla a \u003d 2., b \u003d 8. . Siis ebavõrdsus a.< x < b Tüüp 2< x.< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Ma kujutan intervalli koordinaatide otseselt:

Siin on punktid 2 ja 8 vastavad ebavõrdsuse piiridele 2< x.< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x. < x.< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x.< 8 не принадлежат множеству его решений.

Vastuväites määratletud ajavahemikus a.< x < b, märgitud järgmiselt:

(a; B.)

Mõlema poole ümmargused sulgud näitavad, et intervalli piirid ei kuulu tema. Me kirjutame vastuse ebavõrdsusele 2< x.< 8 с помощью этого обозначения:

x. ∈ (2 ; 8)

See väljend väidab, et kõik numbrid 2 kuni 8, välja arvatud numbrid 2 ja 8, on ebavõrdsuse lahendused 2< x.< 8 .

Semi-intervalli

Pooljälg Vaadake määratletud ebavõrdsuse numbrilist lõhet a ≤ X.< b kus a. ja b. - selle ebavõrdsuse piirid, \\ t x. - ebavõrdsuse otsus.

Poolinimervalli viitab ka ebavõrdsusele seatud numbrilisele vahesele a.< x ≤ b .

Tema poole intervalli piirid kuuluvad talle. Seega nimi selle numbrilise lõhe.

Olukorras pooleldi intervalliga a ≤ X.< b Ta (poolintervall) kuulub vasakule piirile.

Ja olukorras pooleldi intervalliga a.< x ≤ b Ta omab õige piiri.

Las olla a.= 2 , b.\u003d 8. Siis ebavõrdsus a ≤ X.< b võtab vormi 2 ≤ x. < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Pildi poole intervall 2 ≤ x. < 8 на координатной прямой:

x. < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x. mis on ebavõrdsuse lahendused 2 ≤ x. < 8 .

Punkt 2, mis on vasakpoolne piir Half-intervall, kujutatud värvitud kruusi kujul, nagu vasakpoolne ebavõrdsuse piirmäär 2 ≤ x. < 8 kuuluboma lahenduste komplekt.

Ja punkt 8, mis on Õige piir Poole intervall, mis on kujutatud tühja kruusi kujul, kuna ebavõrdsuse õige piirmäär 2 ≤ x. < 8 mitte kuulub Oma lahenduste komplekt.

a ≤ X.< b, märgitud järgmiselt:

[ a; B.)

See võib näha, et ühelt poolt piiri raamitud ruuduklamber ja teises ringis. See on tingitud asjaolust, et pool-intervalli piiri kuulub talle ja teine \u200b\u200bei ole. Kirjutame vastuse ebavõrdsusele 2 ≤ x. < 8 с помощью этого обозначения:

x. ∈ [ 2 ; 8)

Sellisel juhul öeldakse, et kõik numbrid 2 kuni 8, sealhulgas number 2, kuid välja arvatud number 8, on ebavõrdsuse lahendused 2 ≤ x. < 8 .

Sarnaselt saab koordinaatide otseselt kujutada ebavõrdkorras määratletud poolintervalliga a.< x ≤ b . Las olla a.= 2 , b.\u003d 8. Siis ebavõrdsus a.< x ≤ b Tüüp 2< x.≤ 8. Selle kahekordse ebavõrdsuse otsused on kõik numbrid, mis on suuremad kui 2 ja vähem kui 8, välja arvatud number 2, kuid number 8.

Ma näen pool intervalli 2.< x.≤ 8 Koordinaadi otseselt:

Siin on punktid 2 ja 8 vastavad ebavõrdsuse piiridele 2< x.≤ 8 ja löögi valitud ala vastab väärtuste kogumile x. Mis on ebavõrdsuse otsused 2< x.≤ 8 .

Punkt 2, mis on vasakpoolne piir Half-intervall, mis on kujutatud tühja kruusi kujul, nagu vasakpoolne ebavõrdsuse piirmäär 2< x.≤ 8 ei kuuluoma lahenduste komplekt.

Ja punkt 8, mis on Õige piir Half-intervall, mis on kujutatud värvitud kruusi kujul, kuna ebavõrdsuse õige piirmäär 2< x.≤ 8 kuuluboma lahenduste komplekt.

Poola-intervalli kirjas määratletud ebavõrdsuse kirjas a.< x ≤ b, tähistab niimoodi: ( a; B. ]. Me kirjutame vastuse ebavõrdsusele 2< x.≤ 8 Selle nimetusega:

x. ∈ (2 ; 8 ]

Sellisel juhul öeldakse, et kõik numbrid 2 kuni 8, välja arvatud number 2, kuid sealhulgas number 8, on ebavõrdsuse lahendused 2< x.≤ 8 .

Pildi numbriliste intervallide koordinaatide otseselt

Numbrilist lõhet saab määrata ebavõrdsuse või nimetuse abil (ümmargused või ruuduklambrid). Mõlemal juhul peate suutma kujutada seda numbrilist lõhet koordinaatide otseselt. Mõtle mitmeid näiteid.

Näide 1.. Ebavõrdsuse antud numbriline lõhe x.> 5

Pea meeles, et vormi ebavõrdsus x.> a. Seadke avatud numbrimärk. Sel juhul muutuja a. võrdne 5. ebavõrdsusega x.\u003e 5 range, seega piiri 5 kujutatakse tühja ringi. Oleme huvitatud kõikidest väärtustest. x Mis on rohkem kui 5, nii et kogu piirkonna paremal on esile tõstetud lööki:

Näide 2.. Kujutage numbrilist vahe (5; + ∞) koordinaatide otseselt

See on sama numbriline lõhe, mida me eelmises näites kujutasime. Aga seekord ei ole see määratletud ebavõrdsuse abistamisega, vaid numbrilise lõhe määramisega.

Piiri 5 on raamitud ümmarguse klambriga, mis tähendab, et see ei kuulu lõhele. Seega jääb ringi tühjaks.

+ ∞ sümbol näitab, et oleme huvitatud kõigist numbritest, mis on rohkem rohkem. Seega rõhutatakse kogu piiri piiri paremale 5-ga löögiga:

Näide 3.. Koordinaadi otseselt numbriintervalli (-5; 1).

Mõlema poole ümmargused sulgud on intervallid. Intervalli piirid ei kuulu teda, seetõttu kujutatakse -5 ja 1 piirid koordinaatjoonel tühjade ringide kujul. Kogu nende vaheline valdkond on esile tõstetud löögid:

Näide 4.. Numbriline lõhe määratud ebavõrdsus -5< x.< 1

See on sama numbriline lõhe, mida me eelmises näites kujutasime. Kuid seekord ei ole see defineeritud lõhe nimetuse järgi, vaid kahekordse ebavõrdsuse abiga.

Niirkonna ebavõrdsus a.< x < b Intervall on seatud. Sel juhul muutuja a. võrdne -5 ja muutuja b. võrdne ühega. Ebavõrdsus -5< x.< 1 Ranged, seetõttu kujutavad piirid -5 ja 1 tühja kruusi kujul. Oleme huvitatud kõikidest väärtustest. x Mis on rohkem -5, kuid vähem kui üks, seetõttu kogu ala punktide -5 ja 1 vahel esile lööki:

Näide 5.. Kujutamine koordinaatide otsestest numbrilistest intervallidest [-1; 2] I.

Seekord näidatakse koordinaatide otseselt kahe lüngad.

Square Brackets on määratud mõlemale poolele. Segmendi piirid kuuluvad talle segmentide piirid [-1; 2] Ja kujutatakse koordinaatjoone kujul värvitud ringid. Kogu valdkond nende vahel tuleb esile tõstetud lööki.

Et näha intervallid [-1; 2] Ja esimene saab kujutada ülemises piirkonnas ja teine \u200b\u200bpõhjaosas. Nii et tehke:

Näide 6.. Kujutamine koordinaatide otsestest numbrilistest intervallidest [-1; 2) ja (2; 5]

Square Bracket ühel küljel ja ümmargune koos teiste on intervallid. Tema poole intervalli piirid kuuluvad temale ja teine \u200b\u200bei ole.

Pooleldi intervalli puhul [-1; 2) Vasak piir kuulub teda ja paremale. Nii et vasakpoolne piiri kujutatakse värvitud kruusi kujul. Õige piiri kujutatakse tühja kruusina.

Ja poolintervalli puhul (2; 5], siis on see ainult õige piiri ja vasakpoolne see ei ole. Nii et vasakpoolne piir on kujutatud värvitud kruusi kujul. Õige piir on kujutatud tühja kruusina.

Kujutavad intervalli [-1; 2) koordinaadi ülemises piirkonnas ja lõhe (2; 5] - allosas:

Ebavõrdsuse lahenduste näited

Ebavõrdsus, mis identsete muutustega saab meeldetuletada aX\u003e B. (või meeles kirves.< b ) helistame lineaarne ebavõrdsus ühe muutujaga.

Lineaarse ebavõrdsusega aX\u003e B. , x. - See on muutuja, mille väärtused peate leidma, aga - selle muutuja koefitsient, b. - ebavõrdsuse piiri, mis sõltuvalt ebavõrdsuse märgist võib kuuluda selle lahenduste kogumile või ei kuulu sellele.

Näiteks ebavõrdsus 2 x.\u003e 4 on tüübi ebavõrdsus aX\u003e B. . Selles muutuja roll a. Mängib Number 2, Rollide muutuja b. (Ebavõrdsuse piirid) mängib numbrit 4.

Ebavõrdsus 2. x.\u003e 4 saab teha veelgi lihtsamaks. Kui me jagame mõlemad osad 2-aastased, saame ebavõrdsuse x.> 2

Sai ebavõrdsust x.\u003e 2 on ka tüübi ebavõrdsus aX\u003e B. See tähendab, et lineaarne ebavõrdsus ühe muutujaga. Selles ebavõrdsuses, muutuja roll a. Mängib seadet. Varem ütlesime, et koefitsient 1 ei ole kirjutatud. Muutuse roll b. Mängib Number 2.

Sellest teabest eemaldame, proovige lahendada mitmeid lihtsaid ebavõrdsust. Lahenduse ajal täidame elementaarseid identseid muutusi, et saada vormi ebavõrdsus aX\u003e B.

Näide 1.. Ebavõrdsuse lahendamine x.− 7 < 0

Lisage mõlemale ebavõrdsusele number 7

x.− 7 + 7 < 0 + 7

Vasakpoolses osa jääb x. Ja parem pool muutub võrdseks 7-ga

x.< 7

Elementaarsete transformatsioonide poolt juhime me ebavõrdsust x.− 7 < 0 к равносильному неравенству x.< 7 . Решениями неравенства x.< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Kui ebavõrdsust antakse meelde x.< a (või x\u003e A. ), seda võib pidada juba lahendatud. Meie ebavõrdsus x.− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x.< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Me kirjutame vastuse numbrilise lõhe abil. Sellisel juhul on vastus avatud numbrimärk (mäletate, et numbriline ray antakse ebavõrdsusele x.< a ja tähistab seda, kuidas (-∞; a.)

x. ∈ (−∞ ; 7)

Koordinaadi otsest piiri 7 kujutatakse tühja kruusi kujul ja kogu piiri vasakul asuv ala tõstetakse esile löögid:

Kontrollimiseks võtke iga number intervalli (-∞; 7) ja asendage see ebavõrdsusele x.< 7 вместо переменной x. . Võtke näiteks number 2

2 < 7

See osutus õige numbrilise ebavõrdsuse, see tähendab, et lahendus on õige. Võtke mõni muu number, näiteks number 4

4 < 7

See osutus tõelise numbrilise ebavõrdsuse. Seega on otsus õige.

Ja kuna ebavõrdsus x.< 7 равносильно исходному неравенству x -7 < 0 , то решения неравенства x.< 7 будут совпадать с решениями неравенства x -7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x -7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Näide 2.. Lahenda ebavõrdsus -4. x. < −16

Me jagasime mõlemad ebavõrdsuse osad -4. Ärge unustage, et iga ebavõrdsuse mõlema osa jagamisel negatiivsel arvul, ebavõrdsuse märk muudatused vastupidi:

Me juhtisime ebavõrdsust -4 x. < −16 к равносильному неравенству x.\u003e 4. Lahenduste ebavõrdsus x.\u003e 4 Seal on kõik numbrid, mis on rohkem kui 4. piiri 4 ei kuulu lahenduste kogumile, kuna ebavõrdsus on range.

x.\u003e 4 koordinaatide otsest ja kirjutage vastus numbrilise vahe vormis:

Näide 3.. Ebavõrdsuse lahendamine 3y +. 1 > 1 + 6y.

OSTU 6. y. Paremale küljelt vasakule, märgi muutmine. Ja 1 vasakult kõrval, edastades paremale küljele märgi muutmine:

3y.− 6y.> 1 − 1

Me anname sarnaseid tingimusi:

−3y. > 0

Me jagame mõlemad osad -3. Ära unusta, et kui jagades mõlemad osad ebavõrdsuse negatiivse numbri märkide märkide märkide muudatusi vastupidi:

Lahenduste ebavõrdsus y.< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y.< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Näide 4.. Ebavõrdsuse lahendamine 5(x.− 1) + 7 ≤ 1 − 3(x.+ 2)

Meenuta sulgudes nii ebavõrdsuse osades:

Me kannatame -3 x. Paremale küljelt vasakule, märgi muutmine. Liikmed -5 ja 7 vasakult kõrvaldades paremale küljele, muutes märke uuesti:

Me anname sarnaseid tingimusi:

Me jagame mõlemad osad vastuvõetud ebavõrdsuse osal 8

Ebavõrdsuse otsused on kõik väiksemad numbrid. Piir kuulub paljudele otsustele, kuna ebavõrdsus on uskumatu.

Näide 5.. Ebavõrdsuse lahendamine

Korruta mõlemad ebavõrdsuse osad 2. See võimaldab teil vabaneda fraraty vasakul pool:

Nüüd liigume 5 vasakult küljelt paremale küljele, muutes märki:

Pärast sarnaste tingimuste esitamist saame ebavõrdsuse 6 x.\u003e 1. Me jagame mõlemad selle ebavõrdsuse osad 6. Siis saame:

Ebavõrdsuse lahendused on kõik numbrid, mis on rohkem. Piir ei kuulu lahenduste kogumile, kuna ebavõrdsus on range.

Näitame paljude ebavõrdsuse lahendusi koordinaatide otsese ja kirjutada vastus kujul numbriline vahe:

Näide 6.. Ebavõrdsuse lahendamine

Korruta mõlemad osad 6-le

Pärast sarnaste tingimuste esitamist saame ebavõrdsuse 5 x.< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Lahenduste ebavõrdsus x.< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x.< 6 строгим.

Ma näitan palju lahendusi ebavõrdsust x.< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Näide 7.. Ebavõrdsuse lahendamine

Korruta mõlemad ebavõrdsuse osad 10-le

Saadud ebavõrdsuse tagamisel avame vasakpoolses sulgusid:

Me edastame liikmeid ilma x. Paremal pool

Me anname sarnaselt mõlemas osas:

Me jagame mõlema lapse ebavõrdsuse osad 10

Lahenduste ebavõrdsus x.≤ 3,5 on kõik numbrid, mis on väiksemad kui 3,5. Piir 3.5 kuulub paljudele lahendustele, kuna ebavõrdsus on x.≤ 3.5 uskumatu.

Ma näitan palju lahendusi ebavõrdsust x.≤ 3.5 Koordinaadil otseselt ja kirjutage vastus numbrilise intervalli kujul:

Näide 8.. Lahenda ebavõrdsus 4.< 4x.< 20

Sellise ebavõrdsuse lahendamiseks on vaja muutujat x. Tasuta koefitsientilt 4. Siis võime öelda, millises intervallis on selle ebavõrdsuse lahendus.

Muutuja vabastamiseks x. Koefitsiendist saate jagada liige 4 x. 4. Kuid ebavõrdsuse reegel on selline, et kui me jagame ebavõrdsuse liige mõnele numbrile, tuleks sama teha ülejäänud liikmetele, kes kuuluvad sellesse ebavõrdsusesse. Meie puhul tuleb 4 jagada kõik kolm ebavõrdsuse liiget 4< 4x.< 20

Ebavõrdsuse lahendused 1.< x.< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x.< 5 является строгим.

Ma näitan paljude ebavõrdsuse lahendusi 1< x.< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Näide 9.. Lahenda ebavõrdsuse -1 ≤ -2 x.≤ 0

Me jagame kõik ebavõrdsuse liikmed -2

Sai ebavõrdsuse 0,5 ≥ x.≥ 0. Eelistatavalt salvestatakse kahekordne ebavõrdsus nii, et vasakul asuv väiksem munn asub vasakul ja paremal pool. Seetõttu kirjutame ümber oma ebavõrdsuse järgmiselt:

0 ≤ x.≤ 0,5

Ebavõrdsuse otsused 0 ≤ x.≤ 0,5 on kõik numbrid, mis on suuremad kui 0 ja vähem kui 0,5. Piirid 0 ja 0,5 kuuluvad lahenduste kogumile, kuna ebavõrdsus 0 ≤ x.≤ 0,5 on rangelt.

Pildid paljude ebavõrdsuse lahendusi 0 ≤ x.≤ 0,5 koordinaadi otsese ja kirjutage vastus numbrilise vahe vormis:

Näide 10.. Ebavõrdsuse lahendamine

Korruta nii ebavõrdsusega kell 12

Me avaldame sulgusid saadud ebavõrdsuse ja annavad sarnaseid tingimusi:

Me jagame mõlemad osad vastuvõetud ebavõrdsuse osaks 2

Lahenduste ebavõrdsus x.≤ -0,5 on kõik numbrid, mis on vähem -0,5. Piiri -0,5 kuulub paljudele lahendustele, kuna ebavõrdsus x.≤ -0,5 on uskumatu.

Ma näitan palju lahendusi ebavõrdsust x.≤ -0,5 koordinaadi otsest ja kirjutage vastus numbrilise vahe vormis:

Näide 11.. Ebavõrdsuse lahendamine

Korruta kõik ebavõrdsuse osad 3

Nüüdsest saadud ebavõrdsuse igast osast lahutab 6

Iga osa vastuvõetud ebavõrdsusest eraldatakse -1. Ärge unustage, et jagades kõiki ebavõrdsuse osade negatiivset arvu, muutub ebavõrdsuse märk vastupidises:

Ebavõrdsuse lahendused 3 ≤ a ≤9 on kõik numbrid, mis on suuremad kui 3 ja vähem kui 9. piirid 3 ja 9 kuuluvad mitmesse lahendusi, kuna ebavõrdsus 3 ≤ a ≤9 on uskumatu.

Ma näitan paljude ebavõrdsuse lahendusi 3 ≤ a ≤9 Koordinaadis otseselt ja kirjutage vastus numbrilise vahe vormis:

Kui lahendusi ei ole

On ebavõrdsust, millel ei ole lahendusi. Näiteks on selline ebavõrdsus 6 x.> 2(3x.+ 1). Selle ebavõrdsuse lahendamise protsessis jõuame asjaolule, et ebavõrdsuse märk\u003e ei õigusta selle asukohta. Vaatame, kuidas see välja näeb.

Me avaldame sulgusid selle ebavõrdsuse paremas osas, saame 6 x.> 6x.+ 2. Me edastame 6. x. paremale küljelt vasakule küljele, muutes märki, saame 6 x.− 6x.\u003e 2. Anname selliseid komponente ja saame ebavõrdsuse 0\u003e 2, mis ei ole tõsi.

Parima mõistmise jaoks kirjutage sarnaste tingimuste loomine vasakul küljel järgmiselt:

Sai ebavõrdsuse 0. x.\u003e 2. Vasakul küljel on töö, mis on nullil null x. . Ja null ei saa olla suurem kui number 2. nii ebavõrdsus 0 x.\u003e 2 ei ole lahendusi.

x.\u003e 2, see ei ole lahendusi ja esialgse ebavõrdsuse 6 x.> 2(3x.+ 1) .

Näide 2.. Ebavõrdsuse lahendamine

Korruta mõlemad ebavõrdsuse osad 3

Saadud ebavõrdsuse korral lükatame liikme 12 edasi x. Paremale küljelt vasakule, märgi muutmine. Siis anname sarnaseid termineid:

Õige osa ebavõrdsusest keegi x. See on null. Ja mitte vähem null kui -8. Nii ebavõrdsus 0. x.< −8 не имеет решений.

Ja kui see ei ole lahendusi antud samaväärse ebavõrdsuse 0 x.< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Vastus: lahendused puuduvad.

Kui lahendused on lõputult palju

On ebavõrdsust, millel on lugematuid lahendusi. Selline ebavõrdsus muutub ustavaks x. .

Näide 1.. Ebavõrdsuse lahendamine 5(3x.− 9) < 15x.

Me paljastame sulgusid ebavõrdsuse paremas osas:

Ostu 15. x. Paremale küljelt vasakule, märgi muutmine:

Andke sarnased tingimused vasakul küljel:

Sai ebavõrdsuse 0. x.< 45. Vasakul küljel on töö, mis on nullil null x. . Ja nulli alla 45. - ebavõrdsuse otsus 0 x.< 45 on mis tahes number.

x.< 45 on lugematuid lahendusi, siis esialgne ebavõrdsus 5(3x.− 9) < 15x. neil on samu lahendusi.

Vastus võib kirjutada numbrilise intervalliga:

x. ∈ (−∞; +∞)

See väljend väidab, et lahenduste ebavõrdsus 5(3x.− 9) < 15x. seal on kõik numbrid miinus lõpmatuse pluss lõpmatuseni.

Näide 2.. Lahenda ebavõrdsus: 31(2x.+ 1) − 12x.> 50x.

Me avame sulgusid vasakul osa ebavõrdsusest:

Me kannatame 50. x. Paremale küljelt vasakule, märgi muutmine. Ja liige 31 vasakul küljel postitades paremale küljele, muutmata märk:

Me anname sarnaseid tingimusi:

Sai ebavõrdsuse 0. x\u003e -31. Vasakul küljel on töö, mis on nullil null x. . Ja null rohkem kui -31. See tähendab ebavõrdsuse otsust 0 x.< -31 on mis tahes number.

Ja kui vähendatud samaväärne ebavõrdsus 0 x\u003e -31-l on lugematuid lahendusi, seejärel esialgse ebavõrdsuse 31(2x.+ 1) − 12x.> 50x. neil on samu lahendusi.

Me kirjutame vastuse numbrilise vahe vormis:

x. ∈ (−∞; +∞)

Eneseotsuste ülesanded

Kas teile meeldis õppetund?
Liitu meie uue grupiga VKONTAKTE ja alustage uute õppetundide teateid

Ebavõrdsus - võrdsuse tagakülg. Käesoleva artikli materjal annab matemaatika kontekstis selle kohta ebavõrdsuse ja esialgse teabe määratluse.

Mõiste ebavõrdsuse ja võrdõiguslikkuse mõiste, on seotud kahe objekti võrdlemise hetkega. Kuigi võrdõiguslikkus tähendab "sama", siis ebavõrdsus, vastupidi, näitab erinevusi võrreldavate objektide erinevusi. Näiteks ja - identsed objektid või võrdsed. Ja - objektid, mis erinevad üksteisest või ebavõrdsest.

Ebavõrdsuse objektide määrab semantiline koormus selliste sõnadega nagu eespool - allpool (ebavõrdsus kõrguse alusel); Paksem - õhem (ebavõrdsus paksuse alusel); Pikk - lühem (ebavõrdsus pikkusega) ja nii edasi.

On võimalik väita nii objektide võrdõiguslikkuse ebavõrdsuse ja nende individuaalsete omaduste võrdlemisel. Oletame, et kaks objekti on täpsustatud: ja. Kahtlemata ei ole need objektid samad, s.t. Üldiselt ei ole need võrdsed: suuruse ja värvi alusel. Kuid samal ajal võime väita, et nad on võrdsed nende vormidega - mõlemad objektid on ringid.

Matemaatika kontekstis säilitatakse ebavõrdsuse mõttes. Sellisel juhul räägime aga matemaatiliste objektide ebavõrdsusest: numbrid, väljenduste väärtused, koguste väärtused (pikkus, piirkond jne), vektoreid, jooniseid jne.

Mitte võrdne, rohkem, vähem

Sõltuvalt ülesande ülesande eesmärgist saame juba olla vaid faktid, et selgitada objektide ebavõrdsust, kuid tavaliselt pärast ebavõrdsuse fakti loomist selgitatakse, kui palju väärtus on suurem ja mis on väiksem .

Tähenduses sõnad "rohkem" ja "vähem" meile intuitiivselt tuttav algusest meie elu. Ilmselge on oskus määrata objekti paremus, kogus jne. Kuid lõppkokkuvõttes viib igasugune võrdlus meid võrreldes numbrite võrdlemiseks, mis määratlevad mõned võrreldavate objektide omadused. Tegelikult leiame, milline number on rohkem ja mida vähem.

Lihtne näide:

Näide 1.

Hommikul moodustasid õhutemperatuur 10 kraadi Celsiuse järgi; Kahel pärastlõunal oli see arv 15 kraadi. Tuginedes looduslike numbrite võrdlemise, võime väita, et temperatuuri väärtus hommikul oli väiksem kui selle väärtus kaks pärastlõunal (või kell kaks päeva temperatuur suurenes, muutus temperatuurist suurem hommikul).

Salvestamine ebavõrdsusega tähistega

Ebavõrdsuse salvestamiseks on üldtunnustatud nimetused:

Määratlus 1.

• märk on "ei ole võrdne", mis on ületatud märk "võrdne": ≠. See märk asub ebavõrdsete objektide vahel. Näiteks: 5 ≠ 10 viis ei ole kümme;
• "Veel" märk:\u003e ja "vähem" märk:< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | > | C D | soovitab, et lõigatud B on rohkem segmendis D;
• märk "suurem või võrdne": ≥ ja "vähem või võrdne" märk: ≤.

Rohkem nende tähendust kirjeldatakse allpool. Anname ebavõrdsuse määratluse vastavalt nende dokumentidele.

Määratlus 2.

Ebavõrdsus - algebralised väljendid, millel on tähendus ja salvestatud ≠ märke,\u003e,< , ≤ , ≥ .

Range ja uskumatu ebavõrdsus

Range ebavõrdsuse tunnused - Need on märke "rohkem" ja "vähem":\u003e ja< Неравенства, составленные с их помощью – range ebavõrdsus.

Mitte-strateegilise ebavõrdsuse tunnused - Need on "suuremad kui või võrdsed" märgid ja "vähem või võrdsed": ≥ ja ≤. Ebavõrdsus koostatud nende abiga - mitterasva ebavõrdsus.

Kui range ebavõrdsuse rakendamine, me demonteerisime eespool. Miks on uskumatu ebavõrdsus? Praktikas võib selline ebavõrdsus võimalik küsida sõnad "mitte rohkem" ja "mitte vähem." Väljend "enam" tähendab vähem või nii palju - see võrdluse tase vastab "vähem või võrdsele" märk ≤. Omakorda "mitte vähem" tähendab - nii palju või rohkem, ja see on märk "suurem kui või võrdne" ≥. Seega ei ole range ebavõrdsus erinevalt rangetest objektide võrdsuse võimalusest.

Ustav ja vale ebavõrdsus

Ustav ebavõrdsus - Seejärel ebavõrdsus, mis vastab eespool nimetatud ebavõrdsuse tähendusele. Vastasel juhul on see kehtetu.

Anname lihtsaid näiteid nähtavuse kohta:

Näide 2.

Ebavõrdsus 5 ≠ 5 on vale, kuna number 5 ja 5 on tegelikult võrdne.

Võrdlus:

Näide 3.

Oletame, et s - mingi näitaja pindala, antud juhul s< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

Sarnased tähenduses on mõiste "tõeline ebavõrdsus" fraasid "õiglane ebavõrdsus", "on ebavõrdsus" jne.

Ebavõrdsuse omadused

Me kirjeldame ebavõrdsuse omadusi. Ilmselge asjaolu, et objekt ei saa iseenesest olla ebavõrdne, ja see on esimene ebavõrdsuse esimene vara. Teine vara kõlab sellisena: kui esimene objekt ei ole teisega võrdne, ei ole teine \u200b\u200besimene.

Me kirjeldame omadusi, mis vastavad tähistele "rohkem" või "vähem":

Määratlus 5.

• restaufilisus. Seda vara saab väljendada niimoodi: iga objekti jaoks K-i ebavõrdsus k\u003e k ja k< k неверны;
• antisümmeetria. See vara näitab, et kui esimene objekt on suurem või väiksem kui teine, siis teine \u200b\u200bobjekt vastavalt väiksem või rohkem esimest. Me kirjutame: kui m\u003e n, siis n< m . Или: если m < n , то n > m;
• transiivatsioon. Alguses näeb kindlaks määratud vara: kui see on täpsustatud, et a< b и b < с, то a < c . Наоборот: a > B ja B\u003e C, mis tähendab A\u003e c. See vara on intuitiivne ja loomulik: kui esimene objekt on suurem kui teine \u200b\u200bja teine \u200b\u200bon rohkem kui kolmandik, selgub, et esimene objekt on rohkem kui kolmas.

Uskumatu ebavõrdsuse tunnused on ka mõned omadused:

Määratlus 6.

• reflektiivsus: A ≥ A ja A ≤ a (see sisaldab ka juhul, kui a \u003d a);
• antisümmeetria: Kui A ≤ B, siis b ≥ a. Kui ≥ b, siis b ≤ a;
• transiivatsioon: Kui a ≤ b ja b ≤ c, siis on ilmne, et ≤ c. Ja ka: kui ≥ B, a b ≥ s, siis ja ≥ s.

Kahekordne, kolmekordne jne. ebavõrdsus

Transiidi vara võimaldab salvestada kahekordse kolmekordse ja nii ebavõrdsuse, mis on sisuliselt ebavõrdsuse ahela. Näiteks: kahekordne ebavõrdsus - e\u003e f\u003e g või kolmekordne ebavõrdsus K1 ≤ K2 ≤ K 3 ≤ K 4.

Pange tähele, et see on mugav salvestada ebavõrdsuse ahelana, sealhulgas erinevad märgid: võrdselt, mitte range ja uskumatu ebavõrdsuse märkidega. Näiteks x \u003d 2< y ≤ z < 15 .

Kui märkate teksti viga, valige see ja vajutage Ctrl + Enter

Näiteks on ebavõrdsus väljend (x\u003e 5).

Ebavõrdsuse liigid:

Kui \\ (A \\ t (B \\) on numbrid või, siis kutsutakse ebavõrdsust numbriline. Tegelikult on see vaid kahe numbri võrdlemine. Selline ebavõrdsus on jagatud lojaalne ja vale.

Näiteks:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\\ (17 + 3 GEQ 115 \\) on vale numbriline ebavõrdsus, sest \\ (17 + 3 \u003d 20 \\ t

Kui \\ (A \\ (B \\) on väljendeid, mis sisaldavad muutujat, siis on meil ebavõrdsus muutujaga. Selline ebavõrdsus jagunevad sõltuvalt sisu:

Mis on ebavõrdsuse lahendus?

Kui ebavõrdsus asemel muutuja asendada mis tahes number, siis muutub see numbriks.

Kui IKS-i väärtus muudab algse ebavõrdsuse on õige numbriline, siis nimetatakse seda ebavõrdsuse otsusega. Kui mitte - see väärtus ei ole lahendus. Ja ebavõrdsuse lahendamine - On vaja leida kõik oma lahendused (või näitavad, et nad ei ole).

Näiteks, Kui me oleme lineaarse ebavõrdsuse juures (x + 6\u003e 10), asendame selle asemel, et numbri asemel asendame õige numbriline ebavõrdsus: \\ (13\u003e 10). Ja kui me asendame \\ (2), siis on vale numbriline ebavõrdsus \\ (8\u003e 10). See tähendab, et \\ (7) on esialgse ebavõrdsuse lahendus ja \\ (2) ei ole.

Kuid ebavõrdsus \\ (x + 6\u003e 10) on muid lahendusi. Tõepoolest, me saame ustava numbrite ebavõrdsuse asendamise ja \\ (5 (12) ja \\ (138-st) ja kuidas leiame kõik võimalikud lahendused? Selleks kasutage meie juhtumi jaoks:

x + 6\u003e 10 \\ (| -6 \\)
(x\u003e 4)

See tähendab, et me sobiks mis tahes numbriga rohkem kui neli. Nüüd peate vastuse salvestama. Ebavõrdsuse lahendused reeglina registreeritakse numbrikirja, märkides neid lisaks koorumise numbrilisele teljele. Meie jaoks on meil:

Vastus: x \\ t x (4; + ritt) \\ t

Millal muutus ebavõrdsuse märk?

In ebavõrdsusel on üks suur lõksu, kus õpilased armastavad "kohtuma:

Vähendades (või divisjoni) ebavõrdsuse negatiivse arvu muutmine vastupidises ("rohkem" kuni "vähem", "rohkem või võrdse" "vähem või võrdse" ja nii edasi)

Miks see juhtub? Selle mõistmiseks vaatame numbrilise ebavõrdsuse muutmist (3\u003e 1). See on tõsi, Troika on tõesti ühtsem. Esiteks proovige seda korrutada mis tahes positiivse arvuga, näiteks kaheks:

(3\u003e 1) \\ (CDOT2)
\(6>2\)

Nagu näete pärast korrutamist, jääb ebavõrdsus tõeks. Ja mis tahes positiivse numbri puhul oleme korrutatud - me saame alati tõelise ebavõrdsuse. Nüüd proovime paljundada negatiivse numbriga, näiteks miinus top:

(3\u003e 1) \\ (CDOT (-3) \\ t
\(-9>-3\)

See osutus vale ebavõrdsuse, sest miinus üheksa vähem kui miinus kolm! See tähendab, et ebavõrdsus oleks ustav (ja seetõttu on negatiivse korrutamise ümberkujundamine negatiivseks muutmiseks "seaduslik"), peate sellise võrdlusmärgi välja lülitama: \\ (- 9<− 3\).
Jaotusega selgub sarnaselt, saate ennast kontrollida.

Eespool kirjeldatud reegel kehtib igasuguste ebavõrdsuse ja mitte ainult numbriliikide suhtes.

Vastus: x (-1; its) \\ t

Ebavõrdsus ja ...

Ebavõrdsus, samuti võrrandid võivad olla piirangud, see tähendab, et ICA väärtused. Seega need väärtused, mis on vastuvõetamatu OTZ tuleks välja jätta lahendusi.

Näide: Lahenda ebavõrdsus \\ (SQRT (x + 1)<3\)

Otsus: On selge, et selleks, et vasakpoolse osa on vähem (3), peaks sööda väljend olema vähem (9) (sest \\ (9) (3)) Saame:

(x + 1<9\) \(|-1\)
X.<8\)

Kõik? Me sobiks mis tahes tähenduses ICA vähem (8)? Mitte! Sest kui me näeme näiteks, et väärtus sobib nõudele (- 5) - see ei ole esialgse ebavõrdsuse lahendus, sest see viib meid negatiivse juurte arvutamisse number.

(SQRT (-5 + 1)<3\)
\\ (SQRT (-4)<3\)

Seetõttu peame siiski arvesse võtma ICA väärtuste piiranguid - see ei saa olla selline, et root all oli negatiivne arv. Seega on meil teine \u200b\u200bnõue X:

X + 1 geq0 \\ t
(X Geq-1)

Ja nii, et X on lõplik otsus, peaks see vastama mõlemale nõudele: see peab olema väiksem (8) (olema lahendus) ja rohkem (- 1) (põhimõtteliselt lubatav). Numbrilise telje taotlemine, meil on viimane vastus:

Vastus: (vasakule [-1; 8 paremale) \\)