Leia pindala paralleelselt külgedel. Square Sollogram
Mis on paralleel? Paralleelogrammi nimetatakse nelinurka, millel on vastasküljed paaris paralleelselt.
1. Patrellelogrammi pindala arvutatakse valemiga:
S \u003d A CDOT H_ (a)]
kus:
A-pool paralleelogrammi,
H a on selle poole kõrguse.
2. Kui kahe külgneva külje pikkus parallelogrammi ja nende vahelise nurga pikkus on tuntud, arvutatakse paralleelogrammi pindala valemiga:
S \u003d a CDOT B C CDOT-patt (\\ tsaks)
3. Kui diagonaalne paralleel on seatud ja nurk on nende vahele tuntud, arvutatakse paralleelogrammi pindala valemiga:
\\ S [LARGE S \u003d FRAC (1) (2) CDOT d_ (1) Cdeot d_ (2) Cdeot patt (
Parallelogrammi omadused
Paralleelogrammis on vastupidised juhised võrdsed: \\ (AB \u003d CD \\), \\ (bc \u003d AD \\)
Paralleelselt on vastassuunalised nurgad võrdsed: \\ (\\ nurk A \u003d \\ nurk C \\),
Ristmikogrammi diagonaal ristumiskohas on jagatud poole (ao \u003d OC \\), \\ (Bo \u003d OD \\)
Parallelogrammi diagonaal jagab selle kaheks võrdseks kolmnurgaks.
Parallelogrammi nurkade summa, mis külgnevad ühele küljele 180 o:
(\\ tsang A + \\ nurk B \u003d 180 ^ (O) \\),
(\\ Tsang C + \\ nurk D \u003d 180 ^ (O) \\),
Parallelogrammi diagonaalid ja külg on seotud järgmise suhtega:
(d_ (1) ^ (2) + d_ (2) ^ 2 \u003d 2A ^ (2) + 2b ^ (2) \\ t
Paralleelselt on kõrguste vaheline nurk võrdne selle ägeda nurgaga: \\ (\\ nurk K B H \u003d nurk A \\ t
Parallelogrammi ühe külje kõrval asuva nurkade bisektor on vastastikku risti.
Paralleelse kahe vastaspoole nurga bissekrix on paralleelsed.
Parallelogrammi tunnused
Nelinurk on paralleelogramm, kui:
(AB \u003d CD \\) ja \\ (AB || CD \\)
(AB \u003d CD \\) ja \\ (BC \u003d AD \\)
(AO \u003d OC \\) ja \\ (Bo \u003d OD \\)
(\\ nurk A \u003d angle c \\) ja \\ (\\ nurk b \u003d \\ nurk
JavaScript on teie brauseris keelatud.Arvutuste tegemiseks peate lahendama ActiveXi elemendid!
Patrallelogrammi pindala väljund väheneb ristküliku konstrueerimiseks, mis on võrdne selle paralleelse piirkonnas. Me võtame baasi parallelogrammi ühe külje ja risti risti, mis viidi läbi vastandliku külje mis tahes punktist sirgjoonele, mis sisaldavad baasi, mida nimetatakse paralleelselt. Siis on paralleelogrammi pindala võrdne selle aluse tootega.
Teoreem.Perlovelogrammi pindala on võrdne selle aluse tootega kõrgusele.
Tõendid. Mõtle paralleelse piirkonnaga. Olgem ausad aluse ja viivad läbi kõrguse (joonis 2.3.1). See on kohustatud seda tõendama.
Joonis 2.3.1
Kõigepealt tõendame, et ristküliku pindala on ka võrdne. Trapets on valmistatud kolmnurga paralleelsest. Teisest küljest koosneb see NVCC ja kolmnurga ristkülikust. Kuid ristkülikukujulised kolmnurgad on võrdsed hüpotenuse ja ägeda nurgaga (nende hüpoteenusisaes, vastandlikud küljed, paralleelsed ja nurgad 1 ja 2 on võrdsed paralleelse otsese juhtimisel mõlema vastava nurga all), nii et nad on võrdsed. Järelikult on ristküliku paralleelkütuse piirkond võrdne, st ala on ristkülik. Ristküliku piirkonna teoreem, kuid sellest ajast alates.
Teoreem on tõestatud.
Näide 2.3.1.
Poolega ja terava nurgaga rombus on kirjutatud ring. Määrata neljasjalari pindala, mille tipud on ringi puutepunkt rombi külgedega.
Otsus:
Ringi raadius, mis on kirjutatud ringi rombis (joonis 2.3.2), kuna nelikuulte ristkülik, kuna selle nurgad põhinevad ringi läbimõõdul. Tema ala, kus (Cantat asub nurga vastu) ,. 
Joonis 2.3.2
Niisiis, 
Vastus:
Näide 2.3.2.
Danzh, mille diagonaal on 3 cm ja 4 cm. Alates rumala nurga ülaosas võeti tranny ala
Otsus:
Roma piirkond (joonis 2.3.3).
Niisiis, 
Vastus:
Näide 2.3.3.
Piirkond Quadril on võrdne leida pindala paralleelse, külgedel on võrdsed ja paralleelsed diagonaalid quadril.
Otsus:
Kuna mõlemad (joonis 2.3.4), siis paralleelsed ja see tähendab.
Joonis 2.3.4.
Samamoodi saame sellest, kust sellest tuleneb.
Vastus:.
2.4 Triangle Square
Kolmnurga ala arvutamiseks on mitmeid valemeid. Kaaluge koolis õppinud neid.
Esimene valem voolab saastumise piirkonna valemist ja pakuvad õpilased teoreemi kujul.
Teoreem. Kolmnurga ala on võrdne poole töö oma baasi kõrgus.
Tõendid. Olge - kolmnurga ala. Olgem silmitsi kolmnurga allosas ja veeta kõrgus. Me tõestame, et:
Joonis 2.4.1
Äge kolmnurk paralleelselt, nagu on näidatud joonisel. Kolmnurgad kolmel poolel (- nende ühine osapool ja paralleelse grammi vastaskülg), seega on nende ruut võrdne. Järelikult piirkonna S on ABS kolmnurk on võrdne poole piirkonna paralleelogrammi, st 
Teoreem on tõestatud.
Oluline on juhtida õpilasi sellest teoreemilisest tuleneva kahe tagajärgede tähelepanu. Nimelt:
ala ristkülikukujuline kolmnurk See on pool selle kateetide tööst.
kui kahe kolmnurga kõrgus on võrdsed, kuuluvad nende piirkonnad alusena.
Need kaks tagajärjed mängivad oluline roll Erinevate ülesannete lahendamisel. Selle toetusel on tõendatud teine \u200b\u200bteoreem, mis probleemide lahendamisel on laialt levinud kasutamist.
Teoreem. Kui ühe kolmnurga nurk on võrdne teise kolmnurga nurga all, on nende piirkonnad seotud osapoolte teostena võrdsetesse nurkades.
Tõendid. Lase koalutatavate kolmnurkade objektid.
Joonis 2.4.2.
Me tõestame, et: 
.
Võtke kolmnurk. On kolmnurgal tippu ülespoole ja osapooled vastavalt Lucia'le.
Joonis 2.4.3.
Kolmnurgad on seega kogu kõrgus. Kolmnurgad on kogu kõrgus - seetõttu. Saadud võrdsuse korrutamine saame 
.
Teoreem on tõestatud.
Teine valem.Kolmnurga ala on võrdne poole töö kahest küljest siinse nurgaliini tööga. Selle valemi tõendamiseks on mitmeid viise ja ma harjunud üks neist.
Tõendid.Geomeetriast tuntakse teoreemile, et kolmnurga pindala on võrdne poole pikkuse kõrguse toote produktiga, mis langes selle alusega:
Ägeda kolmnurga puhul. Tuimase nurga korral. Ho ja seetõttu 
. Niisiis, mõlemal juhul. Triangle'i väljaku asendamine geomeetrilises valemis, saame kolmnurga ala trigonomeetrilise valemi:
Teoreem on tõestatud.
Kolmas valem Kolmnurga ala jaoks nimetatakse gerononi valem, nimeks iidse kreeka teadlase Gerona Alexandriani pärast meie ajastu esimesel sajandil elanud. See valem võimaldab teil leida kolmnurga ala, teades seda. See on mugav, sest see võimaldab teil teha täiendavaid konstruktsioonid ja mitte mõõta nurka. Selle järeldus põhineb teisel tel, mida me käsitlesime kolmnurga piirkonna ja kosiinioreemi piirkonna valemite: ja.
Enne selle kava rakendamise jätkamist märgime seda
Samamoodi on meil:
Nüüd väljendame kosiini läbi ja:
Kuna mis tahes nurk kolmnurga on suurem ja vähem, siis. See tähendab 
.
Nüüd me muudame iga tegureid kokkutõmbamisel. Meil on:
Selle ekspressiooni asendamine piirkonna valemis, saame:
Teema "Triangle'i ruut" on matemaatika koolis käigus väga oluline. Kolmnurk on kõige lihtsam geomeetrilised kujundid. See on kooli geomeetria "konstruktsioonielement". Valdav enamus geomeetrilistest ülesannetest vähendatakse kolmnurkade lahendamisse. Ei ole erand ja ülesanne leida parempoolne ja meelevaldne N-parlament.
Näide 2.4.1.
Mis on võrdne kolmnurga ala, kui selle alus ja külg külg?
Otsus:
-Kui
Joonis 2.4.4.
Me teostame tasakaalu kolmnurga vara - mediaan ja kõrgus. Siis 
Pythagore'i teoremil:
Leiame kolmnurga ala:
Vastus:
Näide 2.4.2.
Akuutse nurga bisektori ristkülikukujulises kolmnurgas jagab 4 ja 5 cm segmentide vastupidise katta. Määrake kolmnurga ala.
Otsus:
Lase (joonis 2.4.5). Siis (kuna BD - Bisector). Siit on teil 
, s.t. See tähendab
Joonis 2.4.5.
Vastus: 
Näide 2.4.3.
Leia võrdne kolmnurga ala, kui selle alus on võrdne ja alusele viidud kõrguse pikkus on võrdne segmendi pikkusega, mis ühendab aluse ja külje keskmist.
Otsus:
Seisundi tõttu keskjoone (joonis 2.4.6). Nii et mis sulle meeldib:
või 
Järeldusel, 
Enne kui teate, kuidas leida paralleelse piirkonda, peame meeles pidama, mis paralleel on ja mida nimetatakse kõrgeks. Paralleel on nelinurkne, mille vastased küljed on paralleelsed paralleelsed (parelgete sirgjoonelised). Risti, mis on läbi viidud vastaspoole suvalisest punktist otsese poole, mis sisaldab seda külge paralleelse kõrgusena.
Square, ristkülik ja rombus on paralleeli erilised juhtumid.
Patrellelogrammi pindala on näidatud nagu (id).
Valemid paralleelse piirkonna leidmine
S \u003d A * H, kus a on alus, H on kõrgus, mis viiakse alusele.
S \u003d A * B * SINa, kus A ja B on alus ja α on aluspõhja a ja b nurk.
S \u003d p * r, kus p on poolmõõtja, R on paralleelogrammis kirjutatud ringi raadius.
Parallelogrammi pindala, mis moodustub vektorite A ja B poolt, on võrdsed määratud vektorite produkti mooduliga, nimelt:
Kaaluge näites # 1: Dan pollogram, mille pool on 7 cm ja kõrgus on 3 cm. Kuidas leida paralleelse piirkonda, valem lahendamiseks vajame.
Seega S \u003d 7x3. S \u003d 21. Vastus: 21 cm 2.
Mõtle näitele nr 2: Annakse 6 ja 7 cm alused ja 60 kraadi aluste vaheline nurk antakse. Kuidas leida paralleelogrammi ala? Valemi lahendamiseks kasutatud:
Seega leiame kõigepealt sinus nurk. Sinus 60 \u003d 0,5, S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Vastus: 21 cm 2.
Loodan, et need näited aitavad teil ülesannete lahendamisel. Ja pidage meeles, et peamine asi on teadmised valemitest ja tähelepanelikkust.
Selle teema ülesannete lahendamisel, välja arvatud põhiomadused paralleel ja vastavaid valemeid saab meeles pidada ja rakendada järgmiselt:
- Sisemise nurga bissekriis on paralleelogramm katkestab selle võrdse kolmnurga
- Sisemine nurgad bisektorite kõrval ühe külg paralleelselt vastastikku risti
- Bissectrix, tekkivad vastupidised sisemised nurgad, paralleelsed, paralleelselt üksteisega või valeta ühel sirgel
- Parallelogrammi diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga
- Patrellelogrammi pindala on võrdne poolte töö diagonaalide tööga sarnane nurgas nende vahel
Mõtle ülesandeid nende omaduste lahendamisel.
Ülesanne 1.
Bisector nurga paralleelselt AVD ületab külge reklaami külge punkti m ja jätkamine AV-i külje jätkamine punkti a punkti kohta E. Leia paralleelse perimeetri, kui AE \u003d 4, DM \u003d 3.
Otsus.
1. Kolmnurga varju on eesitatud. (Vara 1). Seetõttu CD \u003d MD \u003d 3 cm.
2. Kolmnurk EAM on eelnev.
Järelikult AE \u003d am \u003d 4 cm.
3. AD \u003d AM + MD \u003d 7 cm.
4. perimeeter ABSD \u003d 20 cm.
Vastus. 20 cm.
Ülesanne 2.
In kumer nelja-käivitus AVD diagonaal viidi läbi. On teada, et AVD kolmnurkade väljak, ACD lisamine on võrdne. Toesta, et see quadril on paralleel.
Otsus.
1. Laskmine - AVD-kolmnurga kõrgus, CF on ACD kolmnurga kõrgus. Kuna kolmnurkade piirkonna ülesande tingimuse kohaselt on neil ka tavaline reklaam, siis nende kolmnurkade kõrgus on võrdne. Ve \u003d vrd.
2. VE, CF Reklaami suhtes risti. Punktid ja seast asuvad ühel küljel otsese reklaami suhtes. Ve \u003d vrd. Järelikult otsene päike || Reklaam. (*)
3. Olgu al - ACD kolmnurga kõrgus, BK - BCD-kolmnurga kõrgus. Kuna kolmnurkade piirkonna ülesande tingimuse kohaselt on neil ka üldine CD-baas, siis nende kolmnurkade kõrgus on võrdne. Al \u003d bk.
4. AL ja BK risti CD-ga. Punktid ja A asuvad ühel küljel sirge CD-ga võrreldes. Al \u003d bk. Järelikult Direct AV || CD (**)
5. Tingimustest (*), (**) voogud - AVD paralleelsed paralleelsed.
Vastus. Tõestatud. AVD - paralleel.
Ülesanne 3.
Õhusõiduki ja CD külgedel täheldatakse vastavalt Punktide parallelogrammi punkte M ja H, nii et VM ja HD segmendid ristuvad punktis o;<ВМD = 95 о,
Otsus.
1. Triangle Dom<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Ristkülikukujulises kolmnurgas DNS-is Siis<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Aga CD \u003d av. Siis AV: ND \u003d 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Vastus: AV: HD \u003d 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Ülesanne 4. Üks diagonaalide paralleelse pikkusega 4√6 põhineb nurgal 60 ° ja teine \u200b\u200bdiagonaal on sama aluse nurga 45 o. Leia teine \u200b\u200bdiagonaal. Otsus.
1. AO \u003d 2√6. 2. Kolmnurga AOD rakendab sinuse teoreemi. JSC / SIN D \u003d OD / SIN A. 2√6 / sin 45 o \u003d OD / sin 66 O. OD \u003d (2√6Sin 60 o) / sin 45 o \u003d (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) \u003d 2√18 / √2 \u003d 6. Vastus: 12.
Ülesanne 5. Paralleel osapooltega 5√2 ja 7√2, väiksem nurk diagonaalide vahel võrdub paralleelse väiksema nurgaga. Leidke diagonaalide pikkuse summa. Otsus.
Olgu D 1, D2 - diagonaalselt paralleelogramm ja diagonaalide ja paralleelse väiksema nurga nurk on võrdne F-ga. 1. Loendage kaks erinevat S ABCD \u003d AB · AD · Sin a \u003d 5√2 · 7√2 · Sin f, S ABCD \u003d 1/2 AS · CD · patt aos \u003d 1/2 · d 1 d2 patt f. Me saame võrdsuse 5√2 · 7√2 · sin f \u003d 1/2d 1 d 2 sin f või 2 · 5√2 · 7√2 \u003d d 1 d2; 2. Poolte ja paralleelide diagonaalide vaheline suhe paigaldab võrdsuse (AB 2 + AD 2) · 2 \u003d AC 2 + CD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 \u003d d 1 2 + d2 2. d 1 2 + D 2 2 \u003d 296. 3. Tehke süsteem: (D 1 2 + D 2 2 \u003d 296, Korruta süsteemi teine \u200b\u200bvõrrand 2 ja klapp esimesena. Saame (D 1 + D2) 2 \u003d 576. Seega ID 1 + D2 i \u003d 24. Kuna D 1, D 2 - paralleelogrammi diagonaalide pikkus, siis d 1 + D2 \u003d 24. Vastus: 24.
Ülesanne 6. Külgede paralleelsed 4 ja 6. diagonaalide terav nurgas on 45 o. Leia plowrogrammi ala. Otsus.
1. Kolmnurga AOS-i, kasutades kosiini teoreemi, kirjutame me vahelise suhte parallelogrammi ja diagonaalide poole vahele. AB 2 \u003d AO 2 + in 2 2 · AS · cos aos. 4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (D2/2) 2 - 2 · (D 1/2) · (D2/2) COS 45 °; d 1 2/4 + D2 2/4 - 2 · (D 1/2) ~ (D2/2) √2 / 2 \u003d 16. d 1 2 + D2 2 - D1 · D2 √2 \u003d 64. 2. Sarnaselt kirjutage AD-kolmnurga suhe alla. Me võtame arvesse, mida<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Saame võrrandi D 1 2 + D2 2 + D1 d 2 √2 \u003d 144. 3. Meil \u200b\u200bon süsteem Esiteks ellu jäänud teisest võrrandi pärast, saame 2D 1 d 2 √2 \u003d 80 või d 1 d 2 \u003d 80 / (2√2) \u003d 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AS · CD · Sin aos \u003d 1/2 · d 1 d2 patt α \u003d 1/2 · 20√2 · √2 / 2 \u003d 10. Märge: Selles ja eelmises probleemis ei ole vaja lahendada täielikult süsteemi, ennetades, et me vajame selle ülesande diagonaalide toodet, et arvutada ala. Vastus: 10. Ülesanne 7. Perlellelogrammi pindala on võrdne 96-ga ja selle osapooled on 8 ja 15. Leia väikseima diagonaal. Otsus.
1. S ABCD \u003d AV · AD · Sin Vad. Tee asendamine valemis. Me saame 96 \u003d 8 · 15 · Sin Vad. Seega Sin Vad \u003d 4/5. 2. Leia cos wd. SIN 2 VAD + COS 2 WD \u003d 1. (4/5) 2 + COS 2 WD \u003d 1. COS 2 WD \u003d 9/25. Probleemi tingimuse tõttu leiame väiksema diagonaali pikkus. BD diagonaal on väiksem, kui nurk on terav. Siis cos wad \u003d 3/5. 3. Avd kolmnurga kosiini teoreem leiab ruudu VD diagonaal. CD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 · AV · CD · cos WAD. CD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 · 8 · 15 · 3/5 \u003d 145. Vastus: 145.
Kas teil on küsimusi? Ei tea geomeetrilise probleemi lahendamiseks? kohapeal, täis- või osalise kopeerimise materjali viide algse allikas on vajalik. Valem ruudukujulise paralleelogrammi jaoks Patrellelogrammi pindala on selle poole kõrgusele võrdne pindala, mis on sellel küljel langenud. Tõendid Kui paralleel on ristkülik, siis võrdsus tehakse ristküliku piirkonna teoreem. Seejärel usume, et rööpküsimuste nurgad ei ole otsesed. Olgu $ nurga $ \\ nurk Bad $ Äge ja $ AD\u003e AB $. Vastasel juhul nimetame tipud ümber. Siis kõrgus $ BH $ top $ B $, et Direct $ AD $ Falls külg $ AD $, nagu Cattat $ AH $ Ah $ lühem hüpotenuse $ ab $ ja $ ab $< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны. Võrdle ala $ ABCD $ Parallelogrammi ja $ HBCK $ ristküliku ala. Paralleelogrammispiirkond on suurem piirkonnas $ \\ Triangle Abh $, kuid vähem piirkonnas $ \\ Triangle DCK $. Kuna need kolmnurgad on võrdsed, on nende ruut võrdne. Seega on paralleelogrammi pindala võrdne ristküliku ruuduga külje külje külje küljele ja paralleelse kõrguse küljele ja kõrgusele. Valem ruudukujulise paralleelse läbi külje ja sinuse kaudu Perlellelogrammi pindala on võrdne naaberkütuste toodetega nende vahel. Tõendid $ ABCD $ Parallelogram Kõrgus, mis langes $ AB $ poolel on võrdne tükk $ BC $ segment $ \\ nurk Angc $ nurk. Eelmise avalduse rakendamine jääb jätkuvalt. Valem ruudukujulise paralleelogrammi diagonaalide kaudu Perlonelogrammi pindala on võrdne poole töö diagonaalide sarnane nurgas nende vahel. Tõendid Olgu diagonaal $ ABCD $ Patlelogram ristuvad $ O $ punkti $ 12. Siis $ ao \u003d OC $ ja $ bo \u003d OD $ vara paralleelogrammi. Sinuses nurkades summas $ 180 ^ Ring $ on võrdsed, $ \\ nurk AOB \u003d \\ nurk COD \u003d 180 ^ Cir - \\ nurk Boc \u003d 180 Niisiis on diagonaalide ristumiskohas asuvate nurkade sarnane võrdne $ \\ Sin a Alpha $. $ S_ (ABCD) \u003d S _ (Kolmnurk AOB) + S _ (Kolmnurk Boc) + S _ (Kolmnurk COD) + S _ (Kolmnurk AOD) $ mõõtepiirkonna aksioomi järgi. Rakendage kolmnurga ala $ S_ (ABC) \u003d DFrac (1) (2) Iga külgedel on võrdsed poole diagonaalide poolest, sarnased. Sellest tulenevalt on kõigi nelja kolmnurga pindala võrdne $ s \u003d DFrac (1) (2) c cdot (AC) (AC) (2) C CDOT (BD) (BD) (2) Cdot \\ t \u003d DFrac (AC C CDOT BD) (8) pattu $. Kokkuvõttes kõik ülaltoodud, me saame $ S_ (ABCD) \u003d 4S \u003d 4 CDOT DFRAC (AC C CDOT BD) (8) patt \\ alfa \u003d dfrac (AC c cdot bd \\ cdot
(
(Kuna ristkülikukujulise kolmnurga Cantat, mis asub nurga all 30 O, võrdub poole hüpotenusest).
viisid selle piirkonnale.
(D 1 + D2 \u003d 140.
(D 1 2 + D2 2 - D1 · D2 √2 \u003d 64,
(D 1 2 + D2 2 + D1 · D2 √2 \u003d 144.
Et saada juhendaja abi - register.
Esimene õppetund on tasuta!
