Kuidas ehitada parabooli? Mis on parabool? Kuidas lahendatakse ruutvõrrandid? Funktsioonid ja graafikud Funktsiooni ax2 bx omadused c.

Algebra tunni kokkuvõte keskkooli 8. klassile

Tunni teema: Funktsioon

Tunni eesmärk:

Hariduslik: määratlege vormi ruutfunktsiooni mõiste (võrrelge funktsioonide graafikuid ja), näidake parabooli tipu koordinaatide leidmise valemit (õpetage seda valemit praktikas rakendama); kujundada oskus määrata ruutfunktsiooni omadusi graafikul (sümmeetriatelje leidmine, parabooli tipu koordinaadid, graafiku lõikepunktide koordinaadid koordinaattelgedega).

Arendav: matemaatilise kõne arendamine, oskus oma mõtteid õigesti, järjekindlalt ja ratsionaalselt väljendada; sümboolika ja märgete abil matemaatilise teksti korrektse kirjutamise oskuse arendamine; analüütilise mõtlemise arendamine; õpilaste tunnetusliku tegevuse arendamine läbi materjali analüüsi-, süstematiseerimis- ja üldistusvõime.

Hariduslik: iseseisvuse kasvatamine, oskus teisi kuulata, täpsuse ja tähelepanu kujundamine kirjalikus matemaatilises kõnes.

Tunni tüüp: uue materjali õppimine.

Õppemeetodid:

üldistatud reproduktiivne, induktiivne heuristiline.

Nõuded õpilaste teadmistele ja oskustele

teadma, milline on vormi ruutfunktsioon, parabooli tipu koordinaatide leidmise valem; osata leida parabooli tipu koordinaate, funktsiooni graafiku lõikepunktide koordinaate koordinaatide telgedega, määrata funktsiooni graafikult ruutfunktsiooni omadusi.

Varustus:

Tunniplaan

Organisatsioonihetk (1-2 min)

Teadmiste värskendus (10 min)

Uue materjali esitlus (15 min)

Uue materjali kinnitamine (12 min)

Kokkuvõte (3 min)

Kodutöö (2 min)

Tundide ajal

Aja organiseerimine

Tervitamine, puudujate kontrollimine, vihikute kogumine.

Teadmiste värskendus

Õpetaja: Tänases tunnis õpime uut teemat: "Funktsioon". Kuid kõigepealt kordame eelnevalt uuritud materjali.

Esiküsitlus:

Mida nimetatakse ruutfunktsiooniks? (Funktsiooni, kus antud reaalarvud,, reaalmuutuja, nimetatakse ruutfunktsiooniks.)

Mis on ruudukujuline funktsioonigraafik? (Rugfunktsiooni graafik on parabool.)

Mis on ruutfunktsiooni nullpunktid? (Ruutfunktsiooni nullpunktid on väärtused, mille juures see kaob.)

Loetlege funktsiooni omadused. (Funktsiooni väärtused on punktis positiivsed ja nulliga võrdsed; funktsiooni graafik on ordinaatide telgede suhtes sümmeetriline; funktsiooni juures suureneb, at - väheneb.)

Loetlege funktsiooni omadused. (Kui, siis funktsioon võtab positiivsed väärtused juures, kui, siis funktsioon võtab negatiivsed väärtused at, on funktsiooni väärtus ainult 0; parabool on ordinaadi suhtes sümmeetriline; kui, siis funktsioon suureneb juures ja väheneb juures, kui, siis funktsioon suureneb juures, väheneb - juures .)

Uue materjali esitlus

Õpetaja: Alustame uue materjali õppimist. Avage vihikud, kirjutage üles tunni number ja teema. Pöörake tähelepanu tahvlile.

Tahvlile kirjutamine: arv.

Funktsioon.

Õpetaja: Tahvlil näete kahte funktsioonide graafikut. Esimene on graafik ja teine. Proovime neid võrrelda.

Teate funktsiooni omadusi. Nende põhjal ja meie graafikuid võrreldes saame esile tuua funktsiooni omadused.

Millest siis teie arvates parabooli harude suund sõltub?

Õpilased: Mõlema parabooli harude suund sõltub koefitsiendist.

Õpetaja: Täiesti õige. Samuti võite märgata, et mõlemal paraboolil on sümmeetriatelg. Funktsiooni esimene graafik, mis on sümmeetriatelg?

Õpilased: Vaate parabooli puhul on sümmeetriatelg ordinaat.

Õpetaja: Õige. Ja mis on parabooli sümmeetriatelg

Õpilased: Parabooli sümmeetriatelg on joon, mis läbib parabooli tippu, paralleelselt ordinaadiga.

Õpetaja: Õige. Niisiis nimetatakse funktsiooni graafiku sümmeetriatelge sirgeks, mis läbib parabooli tippu, paralleelselt ordinaatteljega.

Ja parabooli tipp on koordinaatidega punkt. Need määratakse järgmise valemiga:

Kirjutage valem vihikusse ja raamige see.

Tahvlile ja vihikutesse kirjutamine

Parabooli tipu koordinaadid.

Õpetaja: Nüüd, et see oleks selgem, vaatame näidet.

Näide 1: Leidke parabooli tipu koordinaadid .

Lahendus: valemi järgi

Õpetaja: Nagu me juba märkisime, läbib sümmeetriatelg parabooli tippu. Vaata kirjutuslauda. Joonistage see joonistus vihikusse.

Tahvlile ja vihikutesse kirjutamine:

Õpetaja: Joonisel: - parabooli sümmeetriatelje võrrand, mille tipp on punktis, kus parabooli tipu abstsiss.

Vaatame näidet.

Näide 2: Määrake funktsiooni graafikult parabooli sümmeetriatelje võrrand.

Sümmeetriatelje võrrandil on vorm: seega antud parabooli sümmeetriatelje võrrand.

Vastus: - sümmeetriatelje võrrand.

Uue materjali kindlustamine

Õpetaja: Tahvlil on ülesanded, mida tuleb tunnis lahendada.

Tahvlile kirjutamine: nr 609 (3), 612 (1), 613 (3)

Õpetaja: Aga kõigepealt lahendame näite, mis ei ole õpikust pärit. Otsustame tahvlil.

Näide 1: Leidke parabooli tipu koordinaadid

Lahendus: valemi järgi

Vastus: parabooli tipu koordinaadid.

Näide 2: Leidke parabooli lõikepunktide koordinaadid koordinaattelgedega.

Lahendus: 1) Teljega:

Need.

Vieta teoreemi järgi:

Lõikepunktid abstsissteljega (1; 0) ja (2; 0).

Vaatleme avaldist kujul ax 2 + bx + c, kus a, b, c on reaalarvud ja erinevad nullist. Seda matemaatilist avaldist tuntakse ruuttrinoomina.

Tuletame meelde, et ax 2 on selle ruutkolminoomi juhtliige ja on selle juhtiv koefitsient.

Kuid ruutkolminoomil ei ole alati kõiki kolme liiget. Võtke näiteks avaldis 3x 2 + 2x, kus a = 3, b = 2, c = 0.

Liigume ruutfunktsioonile y = ax 2 + bx + c, kus a, b, c on suvalised arvud. See funktsioon on ruutfunktsioon, kuna see sisaldab teise astme liiget, st x ruudus.

Ruutfunktsiooni joonistamine on üsna lihtne, näiteks saab kasutada täisruudu valiku meetodit.

Vaatleme näidet, kuidas funktsioon y on võrdne -3x 2 - 6x + 1.

Selleks meenume esimese asjana täieliku ruudu eraldamise skeemi trinoomil -3x 2 - 6x + 1.

Esimese kahe termini jaoks võtke sulgudest välja -3. Meil on -3 korrutatud summaga x ruut pluss 2x ja liidetakse 1. Sulgudes ühe liites ja lahutades saame summa ruudu valemi, mille saab kokku tõmmata. Saame -3 korrutatuna summa (x + 1) ruuduga miinus 1 liidetakse 1. Sulgusid laiendades ja sarnaseid termineid andes saame avaldise: -3 korrutatuna summa ruuduga (x + 1) liidame 4.

Koostame saadud funktsiooni graafiku, minnes koordinaatidega punktis (-1; 4) lähtepunktiga abikoordinaatide süsteemi.

Videost pärit pildil on see süsteem tähistatud punktiirjoontega. Seome funktsiooni y võrdne -3x 2 konstrueeritud koordinaatsüsteemiga. Võtame mugavuse huvides kontrollpunktid. Näiteks (0; 0), (1; -3), (-1; -3), (2; -12), (-2; -12). Samal ajal lükkame need konstrueeritud koordinaatsüsteemis edasi. Saadud parabool on meile vajalik graafik. Pildil on tegemist punase parabooliga.

Rakendades tervikliku ruudu eraldamise meetodit, saame ruutfunktsiooni kujul: y = a * (x + 1) 2 + m.

Parabooli y = ax 2 + bx + c graafiku saab hõlpsasti paralleeltõlke abil saada paraboolist y = ax 2. Seda kinnitab teoreem, mida saab tõestada binoomväärtuse täisruudu valimisega. Avaldis ax 2 + bx + c muutub pärast järjestikuseid teisendusi avaldiseks kujul: a * (x + l) 2 + m. Joonistame graafiku. Teeme parabooli y = ax 2 paralleelse liikumise, joondades tipu koordinaatidega (-l; m) punktiga. Oluline on see, et x = -l, mis tähendab -b / 2a. See tähendab, et see sirgjoon on parabooli telg 2 + bx + c, selle tipp on punktis abstsissiga x, null on võrdne miinus b-ga, jagatud 2a-ga ja ordinaat arvutatakse tülika valemi abil 4ac - b 2 /. Kuid te ei pea seda valemit pähe õppima. Kuna asendades funktsiooniga abstsissi väärtuse, saame ordinaat.

Telje võrrandi, selle harude suuna ja parabooli tipu koordinaatide määramiseks vaatleme järgmist näidet.

Võtame funktsiooni y = -3x 2 - 6x + 1. Olles koostanud parabooli telje võrrandi, saame x = -1. Ja see väärtus on parabooli tipu x-koordinaat. Jääb üle leida ainult ordinaat. Asendades funktsiooni väärtuse -1, saame 4. Parabooli tipp asub punktis (-1; 4).

Funktsiooni y = -3x 2 - 6x + 1 graafik saadi funktsiooni y = -3x 2 graafiku paralleelülekandega, mis tähendab, et see käitub sarnaselt. Vanemkoefitsient on negatiivne, seega on oksad suunatud allapoole.

Näeme, et iga funktsiooni puhul kujul y = ax 2 + bx + c on kõige lihtsam küsimus viimane küsimus ehk parabooli harude suund. Kui koefitsient a on positiivne, siis on oksad ülespoole ja kui negatiivsed, siis allapoole.

Esimene küsimus on keerukuse poolest järgmine, sest see nõuab täiendavaid arvutusi.

Ja kõige keerulisem on teine, kuna lisaks arvutustele on vaja ka teadmisi valemitest, mille järgi x on null ja y on null.

Koostame funktsiooni y = 2x 2 - x + 1 graafiku.

Teeme kohe kindlaks - graafik on parabool, oksad on suunatud ülespoole, kuna vanemkoefitsient on 2 ja see on positiivne arv. Valemit kasutades leiame abstsiss x null, see on võrdne 1,5-ga. Ordinaadi leidmiseks pidage meeles, et null võrdub funktsiooniga 1,5, arvutamisel saame -3,5.

Tipp - (1,5; -3,5). Telg - x = 1,5. Võtke punktid x = 0 ja x = 3. y = 1. Märgime need punktid ära. Kolme teadaoleva punkti abil koostame soovitud graafiku.

Funktsiooni ax 2 + bx + c joonistamiseks peate:

Leia parabooli tipu koordinaadid ja märgi need joonisele, seejärel joonesta parabooli telg;

Härgteljel võta kaks sümmeetrilist telje ümber paraboolpunkti, leia nendes punktides funktsiooni väärtus ja märgi need koordinaattasandile;

Ehita parabool läbi kolme punkti, vajadusel võid võtta veel paar punkti ja koostada nende põhjal graafiku.

Järgmises näites õpime, kuidas leida segmendis funktsiooni -2x 2 + 8x - 5 suurimaid ja väikseimaid väärtusi.

Algoritmi järgi: a = -2, b = 8, seega x null on võrdne 2-ga ja y null on 3, (2; 3) on parabooli tipp ja x = 2 on telg.

Võtke väärtused x = 0 ja x = 4 ning leidke nende punktide ordinaadid. See on -5. Ehitame parabooli ja määrame selle väikseim väärtus funktsioonid -5, kui x = 0, ja suurim 3, kui x = 2.

Nagu praktika näitab, põhjustavad ruutfunktsiooni omaduste ja graafikute ülesanded tõsiseid raskusi. See on üsna kummaline, sest ruutfunktsiooni läbitakse 8. klassis ja siis terve 9. klassi esimene veerand "sunnitakse välja" parabooli omadused ja joonistatakse selle graafikud erinevate parameetrite jaoks.

Selle põhjuseks on asjaolu, et sundides õpilasi paraboole ehitama, ei pühenda nad praktiliselt aega graafikute "lugemisele", st ei harjuta pildilt saadud teabe mõistmist. Ilmselt eeldatakse, et pärast tosina graafiku koostamist avastab ja sõnastab nutikas õpilane ise valemis olevate koefitsientide ja graafiku välimuse vahelise seose. Praktikas see ei tööta. Selliseks üldistamiseks on vaja tõsist matemaatilise miniuurimuse kogemust, mida enamikul üheksandikutel loomulikult pole. Vahepeal teeb GIA ettepaneku määrata koefitsientide märgid täpselt ajakava järgi.

Me ei nõua koolilastelt võimatut ja pakume lihtsalt ühte selliste probleemide lahendamise algoritmidest.

Niisiis, vormi funktsioon y = ax 2 + bx + c nimetatakse ruutlikuks, selle graafik on parabool. Nagu nimigi ütleb, on peamine termin kirves 2... See on a ei tohiks olla null, muud koefitsiendid ( b ja Koos) võib olla võrdne nulliga.

Vaatame, kuidas selle koefitsientide märgid mõjutavad parabooli välimust.

Lihtsaim seos koefitsiendi jaoks a... Enamik koolilapsi vastab enesekindlalt: "kui a> 0, siis on parabooli harud suunatud ülespoole ja kui a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

Sel juhul a = 0,5

Ja nüüd selleks a < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Sel juhul a = - 0,5

Koefitsiendi mõju Koos on ka piisavalt lihtne jälgida. Kujutame ette, et tahame leida funktsiooni väärtuse punktis X= 0. Asendage valemis null:

y = a 0 2 + b 0 + c = c... Selgub, et y = c... See on Koos on parabooli ja y-telje lõikepunkti ordinaat. Tavaliselt on seda punkti diagrammil lihtne leida. Ja määrake, kas see on üle nulli või alla selle. See on Koos> 0 või Koos < 0.

Koos > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Koos < 0

y = x 2 + 4x - 3

Vastavalt sellele, kui Koos= 0, siis parabool läbib tingimata alguspunkti:

y = x 2 + 4x

Parameetriga keerulisem b... See, millal me selle leiame, ei sõltu mitte ainult sellest b aga ka alates a... See on parabooli tipp. Selle abstsiss (koordinaat piki telge X) leitakse valemiga x in = - b / (2a)... Sellel viisil, b = - 2х в... See tähendab, et me toimime järgmiselt: kaardil leiame parabooli tipu, määrame selle abstsissi märgi, see tähendab, et vaatame nullist paremale ( x sisse> 0) või vasakule ( x sisse < 0) она лежит.

See pole aga veel kõik. Tähelepanu tuleb pöörata ka koefitsiendi märgile a... See tähendab, et näha, kuhu parabooli harud on suunatud. Ja alles pärast seda valemi järgi b = - 2х в tuvastage märk b.

Vaatleme näidet:

Oksad on suunatud ülespoole, mis tähendab a> 0, parabool ristub teljega juures alla nulli tähendab Koos < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x sisse> 0. Seega b = - 2х в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, Koos < 0.

Õppetund: kuidas konstrueerida parabooli või ruutfunktsiooni?

TEOREETILINE OSA

Parabool on funktsiooni graafik, mida kirjeldatakse valemiga ax 2 + bx + c = 0.
Parabooli ehitamiseks peate järgima lihtsat toimingute algoritmi:

1) Parabooli valem y = ax 2 + bx + c,
kui a> 0 siis suunatakse parabooli harud üles,
vastasel juhul on parabooli harud suunatud alla.
Vaba liige c see punkt lõikab parabooli OY-teljega;

2), leitakse see valemiga x = (- b) / 2a, asendame leitud x parabooli võrrandiga ja leiame y;

3)Funktsiooni nullid või muidu parabooli lõikepunktid OX-teljega, neid nimetatakse ka võrrandi juurteks. Juurte leidmiseks võrdsustame võrrandi 0-ga ax 2 + bx + c = 0;

Võrrandite tüübid:

a) Täielik ruutvõrrand on ax 2 + bx + c = 0 ja selle otsustab diskrimineerija;
b) Vormi mittetäielik ruutvõrrand ax 2 + bx = 0. Selle lahendamiseks tuleb sulgudest väljapoole panna x, seejärel võrdsustada iga tegur 0-ga:
ax 2 + bx = 0,
x (ax + b) = 0,
x = 0 ja ax + b = 0;
c) Vormi mittetäielik ruutvõrrand ax 2 + c = 0. Selle lahendamiseks tuleb liigutada tundmatut ühes suunas ja teadaolevat teises suunas. x = ± √ (c/a);

4) Leidke funktsiooni koostamiseks mõned lisapunktid.

PRAKTILINE OSA

Ja nüüd analüüsime näite abil kõike vastavalt toimingutele:
Näide nr 1:
y = x 2 + 4x + 3
c = 3 tähendab, et parabool lõikab OY punktis x = 0 y = 3. Parabooli harud vaatavad ülespoole, kuna a = 1 1> 0.
a = 1 b = 4 c = 3 x = (- b) / 2a = (- 4) / (2 * 1) = - 2 y = (-2) 2 +4 * (- 2) + 3 = 4- 8 + 3 = -1 tipp on punktis (-2; -1)
Leidke võrrandi x 2 + 4x + 3 = 0 juured
Leia juured diskriminandi järgi
a = 1 b = 4 c = 3
D = b 2 -4ac = 16-12 = 4
x = (- b ± √ (D)) / 2a
x 1 = (- 4 + 2) / 2 = -1
x 2 = (- 4-2) / 2 = -3

Võtke mõned suvalised punktid, mis on tipu x = -2 lähedal

x -4 -3 -1 0
a 3 0 0 3

Asendage x võrrandis y = x 2 + 4x + 3 väärtused
y = (-4) 2 +4 * (-4) + 3 = 16-16 + 3 = 3
y = (-3) 2 +4 * (-3) + 3 = 9-12 + 3 = 0
y = (-1) 2 +4 * (-1) + 3 = 1-4 + 3 = 0
y = (0) 2 + 4 * (0) + 3 = 0-0 + 3 = 3
Funktsiooni väärtustest on näha, et parabool on sirge x = -2 suhtes sümmeetriline

Näide nr 2:
y = -x 2 + 4x
c = 0 tähendab, et parabool lõikab OY punktis x = 0 y = 0. Parabooli harud vaatavad alla kui a = -1 -1 Leia võrrandi -x 2 + 4x = 0 juured
Mittetäielik ruutvõrrand kujul ax 2 + bx = 0. Selle lahendamiseks peate sulgudest välja võtma x, seejärel võrdsustama iga teguri 0-ga.
x (-x + 4) = 0, x = 0 ja x = 4.

Võtke mõned suvalised punktid, mis on tipu x = 2 lähedal
x 0 1 3 4
a 0 3 3 0
Asendage x võrrandis y = -x 2 + 4x väärtused
y = 0 2 + 4 * 0 = 0
y = - (1) 2 + 4 * 1 = -1 + 4 = 3
y = - (3) 2 + 4 * 3 = -9 + 13 = 3
y = - (4) 2 + 4 * 4 = -16 + 16 = 0
Funktsiooni väärtustest on näha, et parabool on sirge x = 2 suhtes sümmeetriline

Näide nr 3
y = x 2 -4
c = 4 tähendab, et parabool lõikab OY punktis x = 0 y = 4. Parabooli harud vaatavad ülespoole, kuna a = 1 1> 0.
a = 1 b = 0 c = -4 x = (- b) / 2a = 0 / (2 * (1)) = 0 y = (0) 2 -4 = -4 tipp asub punktis (0; -4)
Leidke võrrandi x 2 -4 = 0 juured
Mittetäielik ruutvõrrand kujul ax 2 + c = 0. Selle lahendamiseks tuleb liigutada tundmatut ühes suunas ja teadaolevat teises suunas. x = ± √ (c / a)
x 2 = 4
x 1 = 2
x 2 = -2

Võtke mõned suvalised punktid, mis on tipu x = 0 lähedal
x -2 -1 1 2
a 0 -3 -3 0
Asendage x võrrandis y = x 2 -4 väärtust
y = (- 2) 2 -4 = 4-4 = 0
y = (- 1) 2 -4 = 1-4 = -3
y = 1 2 -4 = 1-4 = -3
y = 2 2 -4 = 4-4 = 0
Funktsiooni väärtustest on näha, et parabool on sümmeetriline sirge x = 0 suhtes

Telli kanali kohta YOUTUBE'is et olla kursis kõigi uute toodetega ja valmistub koos meiega eksamiteks.