Funktsioonide graafika. Arksinus, Arkkosiinus - omadused, graafikud, valemid diagramm Arcsiin X 2
Pöörlevate trigonomeetriliste funktsioonidega seotud ülesandeid pakutakse sageli kooli lõpueksamites ja mõnede ülikoolide sisseastumise eksamites. Selle teema üksikasjalik uuring on võimalik saavutada ainult valikainete klassides või valikainetel kursustel. Kavandatav kursus on mõeldud võimalikult täielikult iga õpilase võime arendamiseks, suurendada oma matemaatilist koolitust.
Kursus on mõeldud 10 tundi:
1. Funktsioonid Arcsiin X, Arccos X, ARCTG X, ARCCTG X (4 tundi).
2. Toimingud pöördrigonomeetriliste funktsioonide üle (4 tundi).
3. Mood trigonomeetrilised toimingud trigonomeetriliste funktsioonide (2 tundi).
Õppetund 1 (2 tundi) Teema: Funktsioonid Y \u003d Arcsiin X, Y \u003d Arccos X, Y \u003d ARCTG X, Y \u003d ARCCTG X.
Eesmärk: selle probleemi täielik katvus.
1. Funktsioon Y \u003d Arcsiin X.
a) funktsiooni Y \u003d Sin X segmendis on vastupidine (üheselt mõistetav) funktsiooni, mida Arxinus nimetati ja tähistati järgmiselt: Y \u003d Arcsin X. Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline põhifunktsiooni graafikuga võrreldes Bisectori I-III koordinaatide nurkadega.
Funktsiooni omadused Y \u003d Arcsiin X.
1) määratluse ala: segment [-1; üks];
2) muutuste pindala: segment;
3) funktsioon y \u003d Arcsin X on paaritu: arcsiin (-x) \u003d - arcsiin x;
4) funktsioon y \u003d arcsiin x monotooniliselt kasvav;
5) Ajakava ületab telje oh, ou koordinaatide alguses.
Näide 1. Leia A \u003d Arcsiin. Seda näidet saab detailselt sõnastada: leida selline argument, mille põhjas asub selle põhjast.
Otsus. On lugematuid argumente, mille sinus on võrdne näiteks: 
jne. Kuid me oleme huvitatud ainult segmendis olevat argumenti. See argument on. Niisiis ,.
Näide 2. Leia 
.Otsus. Samamoodi väites nagu näites 1, saame 
.
b) suulised harjutused. Leia: Arcsin 1, Arcsiin (-1), Arcsiin, Arcsiin (), Arcsiin, Arcsiin, Arcsiin (), Arcsiin, Arcsiin (), Arcsiin 0. Proovi vastus: 
sest 
. Kas ekspressiooni tunne tähendab:; ARCSIN 1.5; 
?
c) Asetage kasvavas järjekorras suurenemine: Arcsiin, Arcsiin (-0,3), Arcsiin 0,9.
II. Funktsioonid Y \u003d ARCCOS X, Y \u003d ARCTG X, Y \u003d ARCCTG X (Sarnaselt).
Õppetund 2 (2 h) Teema: pöörde trigonomeetrilised funktsioonid, nende graafikud.
Eesmärk: Sel õppetund on vaja töötada oskusi väärtuste määramisel trigonomeetrilised funktsioonidInverse trigonomeetriliste funktsioonide graafikute konstrueerimisel d (y), e (y) ja vajalike transformatsioonide abil.
Sellel õppetundidel teostage harjutusi, sealhulgas määratluse ala aluseks tüüpi funktsioonide väärtuste väärtusi: Y \u003d arcsiin, Y \u003d Arccos (X-2), Y \u003d ARCTG (TG X), Y \u003d Arccos.
Funktsioonide graafikud tuleks ehitada: a) y \u003d arcsiin 2x; b) y \u003d 2 arcsiin 2x; c) y \u003d arcsiin;
d) y \u003d arcsiin; e) y \u003d arcsiin; e) y \u003d arcsiin; g) y \u003d | Arcsiin | .
Näide.Me ehitame graafiku y \u003d Arccos
Kodutöös võib lisada järgmisi harjutusi: buildfunktsioonide graafikud: Y \u003d Arccos, Y \u003d 2 ARCCTG X, Y \u003d Arccos | X | .
Pöördfunktsiooni kaardid
Õppetund number 3 (2 h.) Teema:
Toimingud pöördrõrgeste trigonomeetriliste funktsioonide üle.Eesmärk: matemaatiliste teadmiste laiendamine (see on oluline, et taotlejad erialal suurenenud matemaatilise preparaadi nõuded), kehtestades põhilised suhted pöördrigonomeetriliste funktsioonide jaoks.
Õppetunni materjal.
Mõned lihtsad trigonomeetrilised toimingud pöördrigonomeetriliste funktsioonide üle: sin (Arcsiin X) \u003d X, I XI? üks; Cos (ascos x) \u003d x, i xi? üks; TG (ARCTG X) \u003d X, X I R; CTG. (ARCCTG X) \u003d X, X I R.
Harjutused.
a) TG (1,5 + ARCTG 5) \u003d - CTG (ARCTG 5) \u003d 
.
cTG (ARCTG X) \u003d; TG (ARCCTG X) \u003d.
b) cos (+ arcsiin 0,6) \u003d - cos (arcsiin 0,6). Olgu Arcsiinil 0,6 \u003d a, pattu a \u003d 0,6;
cos (arcsiin x) \u003d; Sin (Arccos X) \u003d.
Märkus: võtke "+" märk enne rootit, sest a \u003d Arcsiin X vastab.
c) patt (1,5 + arcsiin). Vastus:;
d) CTG (+ ARCTG 3). Vastus :;
e) TG (- ARCCTG 4). Vastus :.
e) cos (0,5 + arccos). Vastus :.
Arvutama:
a) patt (2 ARCTG 5).
Olgu ARCTG 5 \u003d A, siis sin 2 a \u003d 
või patt (2 arctg 5) \u003d 
;
b) cos (+ 2 arcsiin 0,8). Vastus: 0,28.
c) ARCTG + ARCTG.
Olgu a \u003d arctg, b \u003d arctg,
siis TG (A + B) \u003d 
.
d) patt (Arcsin + Arcsiin).
e) tõestada, et kõik X I [-1; 1] True Arcsiin X + Arccos X \u003d.
Tõendid:
arcsiin X \u003d - Arccos X
sin (Arcsiin X) \u003d Sin (- Arccos X)
x \u003d cos (arccos x)
Iselahenduste jaoks:sin (Arccos), COS (Arcsin), COS (arcsiini ()), patu (ARCTG (- 3)), TG (Arccos), CTG (Arccos).
Kodulahenduste jaoks: 1) patt (ARCSIN 0.6 + ARCTG 0); 2) Arcsin + Arcsiin; 3) CTG (- ARCCOS 0.6); 4) cos (2 ARCCTG 5); 5) patt (1,5 - Arcsiin 0,8); 6) ARCTG 0.5 - ARCTG 3.
Õppetund nr 4 (2h.) Teema: operatsioone pöördkesksete trigonomeetriliste funktsioonide üle.
Eesmärk: selles õppetundil on näidata suhete kasutamist keerukamate väljendite teisendamisel.
Õppetunni materjal.
Suuliselt:
a) patt (ARCCOS 0.6), COS (ARCSIN 0,8);
b) TG (ARCSTG 5), CTG (ARCTG 5);
c) patt (ARCTG -3), COS (ARCSTG ());
d) TG (Arccos), CTG (Arccos ()).
Kirjutamine:
1) cos (Arcsin + Arcsiin + Arcsiin).
2) cos (ARCTG 5-ARCCOS 0.8) \u003d COS (ARCTG 5) COS (ARCCOS 0,8) + patt (ARCTG 5) Sin (Arccos 0,8) \u003d \u003d
3) TG (- Arcsin 0,6) \u003d - Tg (Arcsiin 0,6) \u003d 
4) 
Sõltumatu töö aitab tuvastada materjali omandamise taset
| 1) TG (ARCTG 2 - ARCTG) 2) cos (- arctg2) 3) ARCSIN + ARCCOS |
1) cos (Arcsiin + arcsiin) 2) Sin (1,5 - ARCTG 3) 3) ARCCTG3 - ARCTG 2 |
Kodutöö jaoks saate pakkuda:
1) CTG (ARCTG + ARCTG + ARCTG); 2) pattu 2 (ARCTG 2 - ARCCTG ()); 3) patt (2 ARCTG + TG (Arcsiin)); 4) patt (2 arctg); 5) TG ((Arcsiin))
Õppetund number 5 (2H) Teema: pöördrigonomeetrilised toimingud trigonomeetrilistel funktsioonidel.
Eesmärk: moodustada üliõpilaste esitlus pöördrigonomeetriliste toimingute üle trigonomeetriliste funktsioonide üle, keskendutakse uuringu teooria tähenduse suurenemisele.
Selle teema uurimisel eeldatakse, et see piirab teoreetilise materjali mahtu, mis tuleb meelde jätta.
Õppematerjal:
Uue materjali uuringut saab alustada Y \u003d Arcsiini (SIN X) funktsiooni funktsioonist ja selle ajakava ehitamisel.
3. Iga x I R pannakse vastavalt Y i, st<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. Funktsioon on paaritu: patt (-x) \u003d - sin x; Arcsiin (sin (-x)) \u003d - arcsiin (sin x).
6. Ajakava Y \u003d Arcsiin (SIN X):
a) 0.<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
sin y \u003d sin (- x) \u003d sinx, 0<= - x <= .
Niisiis, 
Buing Y \u003d Arcsiin (pattu X), jätkab sümmeetriliselt võrreldes koordinaatide alguse suhtes [-; 0] Arvestades selle funktsiooni täpsust. Kasutades sagedust, jätkame kogu numbrilist telge.
Seejärel kirjutage mõned suhted: arcsiin (pattu a) \u003d a kui<= a <= ; arccos (cos A. ) \u003d a kui 0<= a <= ; ARCTG (TG a) \u003d a kui< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
Ja tehke järgmised harjutused: a) arccos (sin 2). Tulemus: 2 -; b) Arcsiin (COS 0,6). Tulemus: - 0,1; c) ARCTG (TG 2). Vastus: 2 -;
d) ARCCTG (TG 0.6). Vastus: 0,9; e) Arccos (COS (- 2)). Vastus: 2 -; e) arcsiin (sin (- 0,6)). Vastus: - 0,6; g) ARCTG (TG 2) \u003d ARCTG (TG (2 -)). Vastus: 2 -; H) ARCCTG (TG 0,6). Vastus: - 0,6; - ARCTG X; E) ARCCOS + ARCCOS
Funktsioonid Graafika
Funktsioon sinus
- palju R.kõik kehtivad numbrid.
Paljud funktsiooniväärtused - segment [-1; 1], s.o. Sinus funktsioon - piiratud.
Funktsioon Odd: Sin (-x) \u003d - sin x kõigi x ∈ jaoks R..
Perioodiline funktsioon
sin (x + 2π · k) \u003d sin x, kus k ∈ Z. Kõigi x ∈ jaoks R..
sin x \u003d 0 x \u003d π · k, k ∈ Z..
sin x\u003e 0 (Positiivne) kõigi X ∈ (2π · k, π + 2π · k) jaoks, k ∈ Z..
sIN X.< 0 (negatiivne) kõigi X ∈ (π + 2π · k, 2π + 2π · k) jaoks, k ∈ Z..
Kosiinifunktsioon
Funktsioonide määratluspiirkond- palju R.kõik kehtivad numbrid.
Paljud funktsiooniväärtused - segment [-1; 1], s.o. Kosiinifunktsioon - piiratud.
Funktsioon isegi: Cos (-x) \u003d cos x kõigi x ∈ jaoks R..
Perioodiline funktsioon Väikseima positiivse perioodiga 2π:
cos (x + 2π · k.) \u003d Cos x, kus k. ∈ Z. Kõigi x ∈ jaoks R..
| cos x \u003d 0jaoks |  |
| cos x\u003e 0 kõigi jaoks |  |
| cOS X.< 0 kõigi jaoks |  |
| Funktsioon kasvab Alates -1 kuni 1 intervallidega: | |
| Funktsioon väheneb Alates -1 kuni 1 intervallidega: | |
| Funktsiooni suurim väärtus pattu x \u003d 1 Punktides: |  |
| Funktsiooni väikseim väärtus sin X \u003d -1 Punktides: |
Puutuja funktsioon
Paljud funktsiooniväärtused - kõik numbriline sirge, s.o. Puutuja - funktsioon piiramatu.
Funktsioon Odd: Tg (-x) \u003d - tg x
Funktsiooni graafik on Oy telje suhtes sümmeetriline.
Perioodiline funktsioon Väikseima positiivse perioodiga π, st. TG (x + π · k.) \u003d Tg x, k. ∈ Z. Kõigi x jaoks määratluse piirkonnast.
Cotanence funktsioon
Paljud funktsiooniväärtused - kõik numbriline sirge, s.o. Kotangent - funktsioon piiramatu.
Funktsioon Odd: CTG (-X) \u003d - CTG X kõigi X-i jaoks määratluse piirkonnast.Funktsiooni graafik on Oy telje suhtes sümmeetriline.
Perioodiline funktsioon Väikseima positiivse perioodiga π, st. CTG (x + π · k.) \u003d CTG X, k. ∈ Z. Kõigi x jaoks määratluse piirkonnast.
Arksinus funktsioon
Funktsioonide määratluspiirkond- segment [-1; üks]
Paljud funktsiooniväärtused - Cut -π / 2 Arcsiin X π / 2, s.o. ARKSINUS - funktsioon piiratud.
Funktsioon Odd: ARCSIN (-X) \u003d - ARCSIN X kõigi X ∈ jaoks R..
Funktsiooni graafik on koordinaatide alguses sümmeetriline.
Kogu määratluse piirkonnas.
Arkkosiinus funktsioon
Funktsioonide määratluspiirkond- segment [-1; üks]
Paljud funktsiooniväärtused - Lõika 0 ARCCOS X π, s.t. Arkkosiinus - funktsioon piiratud.
Funktsioon kasvab Kogu määratluse piirkonnas.
Funktsioon ARCTGENNES
Funktsioonide määratluspiirkond- palju R.kõik kehtivad numbrid.
Paljud funktsiooniväärtused - Lõika 0 π, s.t. Arctarance - funktsioon piiratud.
Funktsioon Odd: ARCTG (-X) \u003d - ARCTG X kõigile x ∈ R..
Funktsiooni graafik on koordinaatide alguses sümmeetriline.
Funktsioon kasvab Kogu määratluse piirkonnas.
Funktsioon Arkkotangence
Funktsioonide määratluspiirkond- palju R.kõik kehtivad numbrid.
Paljud funktsiooniväärtused - Lõika 0 π, s.t. Arkotangent - funktsioon piiratud.
Funktsioon ei ole isegi isegi kummaline.
Funktsiooni graafik on asümmeetriline või koordinaatide algus või Oy telje suhtes võrreldes.
Funktsioon langeb Kogu määratluse piirkonnas.
Määratlus ja märge
Arksinus (y \u003d arcsiin X.) - See on funktsioon, tagurpidi sinus (x \u003d sin Y. -1 ≤ x ≤ 1 ja palju väärtusi -π / 2 ≤ y ≤ π / 2.sin (Arcsiin X) \u003d x ;
arcsiin (sin x) \u003d x .
ARKSINUS on mõnikord tähistatud:
.
ARKSINUSE funktsioonide tabel
Ajakava funktsioon Y \u003d arcsiin X.
ARKSINUSE ajakava saadakse sinuse graafikust, kui muudate abscissa ja ordinate telje kohtade. Mitme teadvuse kõrvaldamiseks piirab väärtuste vahemik intervalliga, millele Monotonna funktsiooni. Sellist määratlust nimetatakse Arksinus peamiseks väärtuseks.
Arkkosinus, Arccos.
Määratlus ja märge
Arkkosiinus (y \u003d arccos X.) Kas funktsioon pöörleb kosiinile (x \u003d cos y.). Sellel on määratluse valdkond -1 ≤ x ≤ 1 ja palju väärtusi 0 ≤ y ≤ π.cos (arccos x) \u003d x ;
arccos (cos x) \u003d x .
Arkkosiinus mõnikord näitavad:
.
Arkkosiini funktsiooni diagramm
Ajakava funktsioon Y \u003d arccos X.
Arkkosiini graafik saadakse kosiini graafikust, kui muudate abscissa ja ordinate telje kohtade. Mitme teadvuse kõrvaldamiseks piirab väärtuste vahemik intervalliga, millele Monotonna funktsiooni. Sellist määratlust nimetatakse Arkkosiini peamiseks väärtuseks.
Pariteet
Arksinus funktsioon on kummaline:
arcsiin (- x) \u003d arcsiin (-Sin Arcsiin X) \u003d arcsiin (Sin (-Arcsiin X)) \u003d \u003d - Arcsiin X.
ARCCOWINUS funktsioon ei ole isegi või paaritu:
arccos (- x) \u003d aRCCOS (-COS ARCCOS X) \u003d arccos (cos (π-arccos x)) \u003d \u003d π - arccos x ≠ ± arccos x
Omadused - äärmuslikud, kasvavad, desarmeerivad
ARKSINUSE JA ARKSKOSINUS funktsioonid on pidevad oma määratlusvaldkonnas (vt järjepidevuse tõend). ARKSINUSE JA ARKKOSINUS peamised omadused on esitatud tabelis.
| Y \u003d. arcsiin X. | Y \u003d. arccos X. | |
| Määratlus ja järjepidevus | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Väärtuste piirkond | ||
| Kasvav, kahanev | Monotoonselt suureneb | Monotoonselt väheneb |
| Maksimaalne | ||
| Miinimum | ||
| Zeros, Y \u003d 0 | x \u003d. 0 | x \u003d. 1 |
| Ordinaadi telje ristumiskoht, x \u003d 0 | Y \u003d. 0 | Y \u003d π / 2 |
ARKSINES JA ARKKOSINUSOV tabel
See tabel näitab väärtusi arcsiinused ja arcsiinused, kraadi ja radilasi, mõned väärtused argument.
| X. | arcsiin X. | arccos X. | ||
| Grad. | rõõmus. | Grad. | rõõmus. | |
| - 1 | - 90 ° | - | 180 ° | π |
| - | - 60 ° | - | 150 ° | |
| - | - 45 ° | - | 135 ° | |
| - | - 30 ° | - | 120 ° | |
| 0 | 0° | 0 | 90 ° | |
| 30 ° | 60 ° | |||
| 45 ° | 45 ° | |||
| 60 ° | 30 ° | |||
| 1 | 90 ° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Valemid
Vaata ka: Priver trigonomeetriliste funktsioonide valemite väljundSumma ja vahe valemid
juures või
I.
I.
juures või
I.
I.
jaoks
jaoks
jaoks
jaoks
Väljendid logaritmi kaudu, keerulised numbrid
Vaata ka: Valemite sõlmimineVäljendid hüperboolsete funktsioonide kaudu
Derivaadid
;
.
Vaadake Arksinus ja Arkkosiini derivaatide derivaadid \u003e\u003e\u003e
Kõrgemate tellimuste derivaadid:
,
Kus on polünoomi kraad. See määrab valemid:
;
;
.
Vaadake tuletisinstrumente ARKSINUSE ja Arkkosiini kõrgeimate tellimuste derivaadid \u003e\u003e\u003e
Integraalid
Tee asendamine X \u003d sin T.. Me integreerume osadesse, arvestades seda -π / 2 ≤ t ≤ π / 2,
cos t ≥ 0:
.
Express Arkkosiinus läbi ARKSINUS:
.
Lagunemine number
Mis | x |< 1
Järgmine lagunemine toimub:
;
.
Pöördfunktsioonid
Tagasi Arksinus ja Arkkosiinus on vastavalt sinus ja kosinus.
Järgmised valemid kehtivad kogu määratluse valdkonnas:
sin (Arcsiin X) \u003d x
cos (arccos x) \u003d x .
Järgmised valemid kehtivad ainult Arcsiinuse ja Arcsiinus väärtuste kogum:
arcsiin (sin x) \u003d x jaoks
arccos (cos x) \u003d x at.
Viited:
I.n. Bronstein, K.A. Semendyaev, viiteraamatu matemaatika inseneride ja õpilaste saatjate, "LAN", 2009.
