Napište příklad jako nerovnost. Lineární nerovnosti

To znamená, že nejprve se zapíše proměnná zahrnutá do nerovnosti, poté pomocí znaménka členství ∈ označte, do kterého číselného intervalu hodnoty této proměnné patří. V tomto případě výraz X∈ [2; 8] označuje, že proměnná X, zahrnuto do nerovnosti 2 ≤ X≤ 8, přebírá všechny hodnoty v rozsahu od 2 do 8 včetně. U těchto hodnot bude nerovnost pravdivá.

Všimněte si, že odpověď je psána v hranatých závorkách, protože limity nerovnosti jsou 2 ≤ X≤ 8, konkrétně čísla 2 a 8 patří do souboru řešení této nerovnosti.

Sada řešení nerovnosti 2 ≤ X≤ 8 lze také vykreslit pomocí souřadnicové čáry:

Zde hranice číselného intervalu 2 a 8 odpovídají hranicím nerovnosti 2 ≤ X X 2 ≤ X≤ 8 .

V některých zdrojích jsou volány hranice, které nepatří do číselného intervalu otevřeno .

Jsou nazývány otevřenými z toho důvodu, že numerická mezera zůstává otevřená vzhledem k tomu, že její hranice do této numerické mezery nepatří. Prázdný kruh na souřadnici matematiky se nazývá bod vpichu ... Vyloupnout bod znamená vyloučit jej z číselného rozsahu nebo ze souboru řešení nerovnosti.

A v případě, že hranice patří do číselného intervalu, jsou volány Zavřeno(nebo uzavřené), protože takové hranice uzavírají (zavírají) číselný interval. Vyplněná kružnice na souřadnici také označuje, že hranice jsou uzavřeny.

Existují různé číselné mezery. Uvažujme o každém z nich.

Počet paprsků

Počet paprsků x ≥ a kde A X -řešení nerovnosti.

Nech být A= 3. Pak nerovnost x ≥ a bude mít podobu X≥ 3. Řešení této nerovnosti jsou všechna čísla, která jsou větší než 3, včetně samotného čísla 3.

Představujeme číselný paprsek daný nerovností X≥ 3, na souřadnici. Chcete-li to provést, označte na něm bod se souřadnicí 3 a celý zbývající napravo od této oblasti vyberte tahy. Je to pravá strana, která vyniká, protože řešení nerovnosti X≥ 3 jsou čísla větší než 3. A vyšší čísla na souřadnici jsou umístěna vpravo

X≥ 3 a oblast zvýrazněná tahy odpovídá sadě hodnot X, což jsou řešení nerovnosti X≥ 3 .

Bod 3, který je hranicí číselného paprsku, je zobrazen jako vyplněná kružnice, protože hranice nerovnosti X≥ 3 patří do sady jejích řešení.

Při psaní číselný paprsek daný nerovností x ≥ a,

[ A; +∞)

Je vidět, že na jedné straně je hranice ohraničena hranatou závorkou a na druhé straně kulatou. To je způsobeno skutečností, že jedna hranice číselného paprsku k němu patří a druhá nikoli, protože nekonečno samo o sobě nemá žádné hranice a rozumí se, že na druhé straně není žádné číslo, které by tento číselný paprsek uzavíralo.

Vzhledem k tomu, že jedna z hranic číselného paprsku je uzavřena, je tato mezera často nazývána uzavřený počet paprsků.

Napišme odpověď na nerovnost X≥ 3 pomocí číselné značky paprsku. Máme proměnnou A se rovná 3

X ∈ [ 3 ; +∞)

Tento výraz říká, že proměnná X v nerovnosti X≥ 3, převezme všechny hodnoty od 3 do plus nekonečna.

Jinými slovy, všechna čísla od 3 do plus nekonečna jsou řešením nerovnosti X≥ 3. Hranice 3 patří do sady řešení, protože nerovnost X≥ 3 je laxní.

Uzavřený numerický paprsek se také nazývá číselný interval, který je dán nerovností x ≤ a.Řešení nerovnosti x ≤ a A, včetně samotného čísla A.

Například pokud A X≤ 2. Na souřadnici bude hranice 2 představována vyplněnou kružnicí a bude se nacházet celá oblast vlevo, odjet, bude zvýrazněno tahy. Tentokrát je zvýrazněna levá strana, protože řešení nerovnosti X≤ 2 jsou čísla menší než 2. A menší čísla na souřadnici jsou umístěna vlevo

X≤ 2 a přerušovaná oblast odpovídá sadě hodnot X, což jsou řešení nerovnosti X≤ 2 .

Bod 2, který je hranicí číselného paprsku, je zobrazen jako vyplněná kružnice, protože hranice nerovnosti X≤ 2 patří do sady jejích řešení.

Napišme odpověď na nerovnost X≤ 2 pomocí číselné notace paprsku:

X ∈ (−∞ ; 2 ]

X≤ 2. Hranice 2 patří do sady řešení, protože nerovnost X≤ 2 je laxní.

Otevřete číselný paprsek

Otevřete číselný paprsek se nazývá číselný interval, který je dán nerovností x> a kde A Je hranice této nerovnosti, X- řešení nerovnosti.

Otevřený číselný paprsek je hodně jako uzavřený číselný paprsek. Rozdíl je v tom, že hranice A nepatří do intervalu, stejně jako hranice nerovnosti x> a nepatří k mnoha jeho rozhodnutím.

Nech být A= 3. Pak má nerovnost podobu X> 3. Řešení této nerovnosti jsou všechna čísla, která jsou větší než 3, s výjimkou čísla 3

Na souřadnici je hranice otevřeného číselného paprsku určená nerovností X> 3 se zobrazí jako prázdný kruh. Celá oblast vpravo bude zvýrazněna tahy:

Zde bod 3 odpovídá hranici nerovnosti x> 3 a oblast zvýrazněná tahy odpovídá sadě hodnot X, což jsou řešení nerovnosti x> 3. Bod 3, který je hranicí paprsku otevřeného čísla, je zobrazen jako prázdný kruh, protože hranice nerovnosti x> 3 nepatří k mnoha svým řešením.

x> a, označeno takto:

(A; +∞)

Závorky naznačují, že hranice otevřeného numerického paprsku k němu nepatří.

Napišme odpověď na nerovnost X> 3 zápisem otevřeného číselného paprsku:

X ∈ (3 ; +∞)

Tento výraz říká, že všechna čísla od 3 do plus nekonečna jsou řešením nerovnosti X> 3. Hranice 3 nepatří do sady řešení, protože nerovnost X> 3 je přísný.

Paprsek otevřeného čísla se také nazývá číselný interval, který je dán nerovností X< a kde A Je hranice této nerovnosti, X- řešení nerovnosti . Řešení nerovnosti X< a jsou všechna čísla, která jsou menší než A, kromě čísla A.

Například pokud A= 2, potom má nerovnost podobu X< 2. Na souřadnici bude hranice 2 představována prázdným kruhem a celá oblast vlevo bude zvýrazněna tahy:

Zde bod 2 odpovídá hranici nerovnosti X< 2 a oblast zvýrazněná tahy odpovídá sadě hodnot X, což jsou řešení nerovnosti X< 2. Bod 2, který je hranicí otevřeného číselného paprsku, je zobrazen jako prázdný kruh, protože hranice nerovnosti X< 2 nepatří k mnoha svým řešením.

Písemně paprsek otevřeného čísla daný nerovností X< a , označeno takto:

(−∞ ; A)

Napišme odpověď na nerovnost X< 2 s použitím označení otevřeného číselného paprsku:

X ∈ (−∞ ; 2)

Tento výraz říká, že všechna čísla od minus nekonečna do 2 jsou řešení nerovnosti X< 2. Hranice 2 nepatří do souboru řešení, protože nerovnost X< 2 je přísný.

Sekce

Podle segmentu a ≤ x ≤ b kde A a b X- řešení nerovnosti.

Nech být A = 2 , b= 8. Pak nerovnost a ≤ x ≤ b má formu 2 ≤ X≤ 8. Řešení nerovnosti 2 ≤ X≤ 8 jsou všechna čísla, která jsou větší než 2 a menší než 8. Kromě toho hranice nerovnosti 2 a 8 patří do množiny jejích řešení, protože nerovnost 2 ≤ X≤ 8 je laxní.

Nakreslete segment daný dvojnou nerovností 2 ≤ X≤ 8 na souřadnici. Chcete-li to provést, označte na něm body pomocí souřadnic 2 a 8 a zvýrazněte oblast mezi nimi tahy:

≤ X≤ 8 a přerušovaná oblast odpovídá sadě hodnot X X≤ 8. Body 2 a 8, které jsou hranicemi segmentu, se zobrazují jako vyplněné kruhy, protože hranice nerovnosti 2 ≤ X≤ 8 patří do souboru jejích řešení.

Písemně segment daný nerovností a ≤ x ≤ b označeno takto:

[ A; b ]

Hranaté závorky na obou stranách znamenají, že čára je patřit jeho. Napišme odpověď na nerovnost 2 ≤ X

X ∈ [ 2 ; 8 ]

Tento výraz říká, že všechna čísla od 2 do 8, včetně, jsou řešením nerovnosti 2 ≤ X≤ 8 .

Interval

Interval se nazývá číselný interval, který je dán dvojitou nerovností A< x < b kde A a b- hranice této nerovnosti, X- řešení nerovnosti.

Nech být a = 2, b = 8... Pak nerovnost A< x < b bude mít formu 2< X< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Nakreslíme interval na souřadnici:

Zde body 2 a 8 odpovídají hranicím nerovnosti 2< X< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений X < X< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < X< 8 не принадлежат множеству его решений.

Při psaní interval daný nerovností A< x < b, označeno takto:

(A; b)

Závorky na obou stranách označují hranice intervalu nepatří jeho. Napíšeme odpověď na nerovnost 2< X< 8 с помощью этого обозначения:

X ∈ (2 ; 8)

Tento výraz říká, že všechna čísla od 2 do 8, s výjimkou 2 a 8, jsou řešením nerovnosti 2< X< 8 .

Poloviční interval

Poloviční interval se nazývá číselný interval, který je dán nerovností a ≤ x< b kde A a b- hranice této nerovnosti, X- řešení nerovnosti.

Poloviční interval se také nazývá číselný interval, který je dán nerovností A< x ≤ b .

Jedna z hranic polovičního intervalu patří jemu. Odtud název tohoto číselného intervalu.

V situaci s polovičním intervalem a ≤ x< b levá hranice k ní patří (poloviční interval).

A v situaci s polovičním intervalem A< x ≤ b k tomu patří pravá hranice.

Nech být A= 2 , b= 8. Pak nerovnost a ≤ x< b má formu 2 ≤ X < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Představujeme poloviční interval 2 ≤ X < 8 на координатной прямой:

X < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений X to jsou řešení nerovnosti 2 ≤ X < 8 .

Bod 2 je levý okraj poloviční interval je zobrazen jako vyplněný kruh, protože levá hranice nerovnosti 2 ≤ X < 8 patří mnoho z jeho rozhodnutí.

A bod 8, který je pravý okraj poloviční interval, znázorněný jako prázdný kruh, protože pravá hranice nerovnosti 2 ≤ X < 8 ne patří mnoho z jeho rozhodnutí.

a ≤ x< b, označeno takto:

[ A; b)

Je vidět, že na jedné straně je hranice ohraničena hranatou závorkou a na druhé straně kulatou. To je způsobeno skutečností, že jedna hranice polovičního intervalu patří jemu a druhá ne. Napišme odpověď na nerovnost 2 ≤ X < 8 с помощью этого обозначения:

X ∈ [ 2 ; 8)

Tento výraz říká, že všechna čísla od 2 do 8, včetně 2, ale s výjimkou 8, jsou řešením nerovnosti 2 ≤ X < 8 .

Podobně lze na souřadnici znázornit poloviční interval daný nerovností A< x ≤ b ... Nech být A= 2 , b= 8. Pak nerovnost A< x ≤ b bude mít formu 2< X≤ 8. Řešení této dvojité nerovnosti jsou všechna čísla větší než 2 a menší než 8, kromě 2, ale včetně 8.

Nakreslíme poloviční interval 2< X≤ 8 na souřadnici:

Zde body 2 a 8 odpovídají hranicím nerovnosti 2< X≤ 8 a přerušovaná oblast odpovídá sadě hodnot X, což jsou řešení nerovnosti 2< X≤ 8 .

Bod 2 je levý okraj poloviční interval, znázorněný jako prázdný kruh, od levé hranice nerovnosti 2< X≤ 8 nepatří mnoho z jeho rozhodnutí.

A bod 8, který je pravý okraj poloviční interval je zobrazen jako vyplněný kruh, protože pravá hranice nerovnosti 2< X≤ 8 patří mnoho z jeho rozhodnutí.

V dopise poloviční interval daný nerovností A< x ≤ b, označeno takto: ( A; b]. Napíšeme odpověď na nerovnost 2< X≤ 8 pomocí této notace:

X ∈ (2 ; 8 ]

Tento výraz říká, že všechna čísla od 2 do 8, s výjimkou čísla 2, ale včetně čísla 8, jsou řešením nerovnosti 2< X≤ 8 .

Zobrazení číselných intervalů na souřadnici

Numerický rozsah lze určit pomocí nerovnosti nebo pomocí notace (závorky nebo hranaté závorky). V obou případech musíte být schopni vykreslit tento číselný interval na souřadnici. Podívejme se na několik příkladů.

Příklad 1... Nakreslete číselné rozpětí dané nerovností X> 5

Připomínáme, že nerovnost formy X> A je zadán otevřený číselný paprsek. V tomto případě proměnná A se rovná 5. Nerovnost X> 5 je přísné, takže ohraničení 5 se zobrazí jako prázdný kruh. Zajímají nás všechny hodnoty X, které jsou větší než 5, takže celá oblast vpravo bude zvýrazněna tahy:

Příklad 2... Na souřadnici nakreslete číselný interval (5; + ∞)

Toto je stejné rozpětí čísel, které jsme zobrazili v předchozím příkladu. Tentokrát to ale není specifikováno pomocí nerovnosti, ale pomocí označení číselného intervalu.

Okraj 5 je obklopen závorkou, takže nepatří do mezery. Kruh tedy zůstává prázdný.

Symbol + ∞ znamená, že nás zajímají všechna čísla, která jsou větší než 5. Podle toho je celá oblast napravo od ohraničení 5 zvýrazněna tahy:

Příklad 3... Na souřadnici nakreslete číselný interval (−5; 1).

Závorky na obou stranách označují mezery. Hranice intervalu do ní nepatří, takže hranice −5 a 1 se na souřadnici zobrazí jako prázdné kruhy. Celá oblast mezi nimi bude zvýrazněna tahy:

Příklad 4... Nakreslete číselné rozpětí dané nerovností −5< X< 1

Toto je stejné rozpětí čísel, které jsme zobrazili v předchozím příkladu. Tentokrát to ale není dáno pomocí zápisu intervalu, ale pomocí dvojité nerovnosti.

Nerovností druhu A< x < b , je nastaven interval. V tomto případě proměnná A je rovno −5 a proměnná b se rovná jedné. Nerovnost −5< X< 1 je přísný, takže hranice −5 a 1 se zobrazí jako prázdné kruhy. Zajímají nás všechny hodnoty X, které jsou větší než -5, ale menší než jeden, takže celá oblast mezi body −5 a 1 bude zvýrazněna tahy:

Příklad 5... Nakreslete na souřadnici numerické intervaly [-1; 2] a

Tentokrát na souřadnici zobrazíme dva intervaly najednou.

Hranaté závorky na obou stranách označují úsečky. Hranice segmentu k ní patří, proto hranice segmentů [-1; 2] a budou zobrazeny na souřadnici jako vyplněné kruhy. Celá oblast mezi nimi bude zvýrazněna tahy.

Dobře vidět mezery [−1; 2] a, první může být zobrazen na horní ploše a druhý na spodní. Uděláme tedy:

Příklad 6... Nakreslete na souřadnici numerické intervaly [-1; 2) a (2; 5]

Čtvercový držák na jedné straně a kulatý držák na druhé straně označují poloviční intervaly. Jedna z hranic polovičního intervalu patří jemu a druhá nikoli.

V případě polovičního intervalu [-1; 2) levá hranice mu bude patřit, ale pravá ne. To znamená, že se levý okraj zobrazí jako vyplněný kruh. Pravý okraj se zobrazí jako prázdný kruh.

A v případě polovičního intervalu (2; 5] bude patřit pouze pravý okraj, ale ne levý. To znamená, že levý okraj bude zobrazen jako vyplněný kruh, zatímco pravý okraj bude zobrazen jako prázdný kruh.

Představujme interval [-1; 2) v horní oblasti souřadnicové čáry a interval (2; 5] - ve spodní části:

Příklady řešení nerovností

Nerovnost, kterou lze zmenšit pomocí identických transformací do formy sekera> b(nebo na mysli sekera< b ), zavoláme lineární nerovnost s jednou proměnnou.

V lineární nerovnosti sekera> b , X Je proměnná, jejíž hodnoty chcete najít, ale Je koeficient této proměnné, b- hranice nerovnosti, která v závislosti na znamení nerovnosti může nebo nemusí patřit do souboru jejích řešení.

Například nerovnost 2 X> 4 je nerovnost formy sekera> b... Role proměnné v ní A hraje číslo 2, roli proměnné b(hranice nerovnosti) hraje číslo 4.

Nerovnost 2 X> 4 lze ještě usnadnit. Vydělíme-li obě jeho části 2, dostaneme nerovnost X> 2

Výsledná nerovnost X> 2 je také nerovnost formy sekera> b, tj. lineární nerovnost s jednou proměnnou. V této nerovnosti je role proměnné A hraje jednu. Dříve jsme řekli, že kurz 1 není zaznamenán. Role proměnné b hraje číslo 2.

Na základě těchto informací se pokusíme vyřešit několik jednoduchých nerovností. V průběhu řešení provedeme elementární identické transformace, abychom získali nerovnost formy sekera> b

Příklad 1... Řešit nerovnost X− 7 < 0

Přidejte na obě strany nerovnosti číslo 7

X− 7 + 7 < 0 + 7

Levá strana zůstane X a pravá strana se změní na 7

X< 7

Elementárními transformacemi jsme dali nerovnost X− 7 < 0 к равносильному неравенству X< 7 . Решениями неравенства X< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Když se nerovnost sníží do formy X< a (nebo x> a), lze jej považovat za již vyřešený. Naše nerovnost X− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду X< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Napišme odpověď pomocí číselného rozsahu. V tomto případě bude odpovědí paprsek otevřeného čísla (nezapomeňte, že číslo paprsku je dáno nerovností X< a a je označen jako (−∞; A)

X ∈ (−∞ ; 7)

Na souřadnici bude hranice 7 zobrazena jako prázdný kruh a celá oblast nalevo od hranice bude zvýrazněna tahy:

Chcete-li to zkontrolovat, vezměte libovolné číslo z intervalu (−∞; 7) a dosaďte jej do nerovnosti X< 7 вместо переменной X... Vezměme si například číslo 2

2 < 7

Ukáže se správná číselná nerovnost, což znamená, že řešení je správné. Vezměme si jiné číslo, například číslo 4

4 < 7

Ukázalo se to správná číselná nerovnost. Rozhodnutí je tedy správné.

A protože nerovnost X< 7 равносильно исходному неравенству X - 7 < 0 , то решения неравенства X< 7 будут совпадать с решениями неравенства X - 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство X - 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Příklad 2... Vyřešte nerovnost −4 X < −16

Vydělte obě strany nerovnosti −4. Nezapomeňte na to při dělení obou stran nerovnosti záporným číslem, znak nerovnosti obrátí:

Dali jsme nerovnost −4 X < −16 к равносильному неравенству X> 4. Řešení nerovnosti X> 4 budou všechna čísla, která jsou větší než 4. Hranice 4 nepatří do sady řešení, protože nerovnost je přísná.

X> 4 na souřadnici a napište odpověď ve formě číselného intervalu:

Příklad 3... Řešit nerovnost 3y + 1 > 1 + 6y

Přesunout 6 y z pravé strany na levou stranu, změna znamení. A přesuňte 1 z levé strany na pravou stranu a znovu změňte znaménko:

3y− 6y> 1 − 1

Zde jsou podobné výrazy:

−3y > 0

Vydělte obě strany číslem −3. Nezapomeňte, že při dělení obou stran nerovnosti záporným číslem se znaménko nerovnosti změní opačně:

Řešení nerovnosti y< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Příklad 4... Řešit nerovnost 5(X− 1) + 7 ≤ 1 − 3(X+ 2)

Pojďme rozšířit závorky na obou stranách nerovnosti:

Přesunout −3 X z pravé strany na levou stranu, změna znamení. Přesuňte výrazy −5 a 7 z levé strany na pravou stranu a znovu změňte značky:

Zde jsou podobné výrazy:

Vydělte obě strany výsledné nerovnosti číslem 8

Řešení nerovnosti jsou všechna čísla, která jsou menší. Hranice patří do sady řešení, protože nerovnost není přísná.

Příklad 5... Řešit nerovnost

Vynásobte obě strany nerovnosti číslem 2. Tím se eliminuje zlomek vlevo:

Nyní pojďme přesunout 5 z levé strany na pravou stranu a změnit znaménko:

Po redukci podobných výrazů získáme nerovnost 6 X> 1. Vydělíme obě strany této nerovnosti číslem 6. Pak dostaneme:

Řešení nerovnosti jsou všechna čísla, která jsou větší. Hranice nepatří do sady řešení, protože nerovnost je přísná.

Představujeme množinu řešení nerovnosti na souřadnici a odpověď zapíšeme v podobě číselného intervalu:

Příklad 6... Řešit nerovnost

Vynásobte obě strany číslem 6

Po redukci podobných výrazů získáme nerovnost 5 X< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Řešení nerovnosti X< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является X< 6 строгим.

Představujeme soubor řešení nerovnosti X< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Příklad 7... Řešit nerovnost

Vynásobte obě strany nerovnosti o 10

Ve výsledné nerovnosti rozbalíme závorky na levé straně:

Přesouvat členy bez X na pravou stranu

Zde jsou podobné výrazy v obou částech:

Vydělte obě strany výsledné nerovnosti 10

Řešení nerovnosti X≤ 3,5 jsou všechna čísla menší než 3,5. Hranice 3.5 patří do sady řešení, protože nerovnost je X≤ 3,5 lax.

Představujeme soubor řešení nerovnosti X≤ 3,5 na souřadnici a napište odpověď ve formě číselného intervalu:

Příklad 8... Vyřešit nerovnost 4< 4X< 20

K vyřešení této nerovnosti potřebujete proměnnou X bez koeficientu 4. Pak můžeme říci, v jakém intervalu je řešení této nerovnosti.

Uvolnit proměnnou X z koeficientu můžete rozdělit termín 4 X 4. Pravidlo v nerovnostech je ale takové, že když rozdělíme výraz v nerovnosti na nějaké číslo, pak to samé musí být provedeno se zbytkem výrazů obsažených v této nerovnosti. V našem případě musíme rozdělit všechny tři termíny nerovnosti 4 na 4< 4X< 20

Řešení nerovnosti 1< X< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < X< 5 является строгим.

Představujeme soubor řešení nerovnosti 1< X< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Příklad 9... Vyřešte nerovnost −1 ≤ −2 X≤ 0

Vydělte všechny pojmy nerovnosti −2

Dostali jsme nerovnost 0,5 ≥ X≥ 0. Doporučujeme psát dvojitou nerovnost tak, aby se ten menší člen nacházel nalevo a ten větší napravo. Proto přepíšeme svou nerovnost následovně:

0 ≤ X≤ 0,5

Řešení nerovnosti 0 ≤ X≤ 0,5 jsou všechna čísla, která jsou větší než 0 a menší než 0,5. Hranice 0 a 0,5 patří do sady řešení, protože nerovnost 0 ≤ X≤ 0,5 je laxní.

Představujeme soubor řešení nerovnosti 0 ≤ X≤ 0,5 na souřadnici a napište odpověď v podobě číselného intervalu:

Příklad 10... Řešit nerovnost

Vynásobte obě nerovnosti 12

Pojďme rozšířit závorky ve výsledné nerovnosti a představme podobné výrazy:

Vydělte obě strany výsledné nerovnosti 2

Řešení nerovnosti X≤ −0,5 jsou všechna čísla menší než −0,5. Hranice −0,5 patří do množiny řešení od nerovnosti X≤ −0,5 je laxní.

Představujeme soubor řešení nerovnosti X≤ −0,5 na souřadnici a napište odpověď ve formě číselného intervalu:

Příklad 11... Řešit nerovnost

Vynásobte všechny části nerovnosti 3

Nyní od každé části výsledné nerovnosti odečtěte 6

Vydělte každou část výsledné nerovnosti −1. Nezapomeňte, že při dělení všech částí nerovnosti záporným číslem se znaménko nerovnosti změní opačně:

Řešení nerovnosti 3 ≤ a ≤ 9 jsou všechna čísla, která jsou větší než 3 a menší než 9. Hranice 3 a 9 patří do sady řešení, protože nerovnost 3 ≤ a ≤ 9 je laxní.

Představujeme soubor řešení nerovnosti 3 ≤ a ≤ 9 na souřadnici a napište odpověď v podobě číselného intervalu:

Když neexistují žádná řešení

Existují nerovnosti, které nemají řešení. Taková je například nerovnost 6 X> 2(3X+ 1). V procesu řešení této nerovnosti docházíme k závěru, že znak nerovnosti> neospravedlňuje jeho umístění. Uvidíme, jak to vypadá.

Rozšířením závorek na pravé straně této nerovnosti získáme 6 X> 6X+ 2. Přesunout 6 X z pravé strany na levou stranu, změnou znamení, dostaneme 6 X− 6X> 2. Uvádíme podobné výrazy a získáváme nerovnost 0> 2, což není pravda.

Pro lepší pochopení přepíšeme redukci takových výrazů nalevo takto:

Dostali jsme nerovnost 0 X> 2. Na levé straně je produkt, který se bude u každého rovnat nule X... A nula nemůže být větší než číslo 2. Proto nerovnost 0 X> 2 nemá žádná řešení.

X> 2, pak nemá řešení a původní nerovnost 6 X> 2(3X+ 1) .

Příklad 2... Řešit nerovnost

Vynásobte obě strany nerovnosti 3

Ve výsledné nerovnosti přeneste výraz 12 X z pravé strany na levou stranu, změna znamení. Pak dáme podobné výrazy:

Pravá strana výsledné nerovnosti pro všechny X bude nula. A nula není menší než -8. Proto nerovnost 0 X< −8 не имеет решений.

A pokud výše uvedená ekvivalentní nerovnost 0 X< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Odpovědět: žádná řešení.

Když existuje nekonečně mnoho řešení

Existují nerovnosti, které mají nespočet řešení. Takové nerovnosti platí pro všechny X .

Příklad 1... Řešit nerovnost 5(3X− 9) < 15X

Pojďme rozšířit závorky na pravé straně nerovnosti:

Přesun 15 X z pravé strany na levou stranu, změna znamení:

Zde jsou podobné výrazy vlevo:

Dostali jsme nerovnost 0 X< 45. Na levé straně je produkt, který se bude u každého rovnat nule X... Nula je menší než 45. Proto je řešení nerovnosti 0 X< 45 je libovolné číslo.

X< 45 má nekonečné množství řešení, pak původní nerovnost 5(3X− 9) < 15X má stejná řešení.

Odpověď může být napsána ve formě číselného intervalu:

X ∈ (−∞; +∞)

Tento výraz říká, že řešení nerovnosti 5(3X− 9) < 15X jsou všechna čísla od minus nekonečna do plus nekonečna.

Příklad 2... Vyřešit nerovnost: 31(2X+ 1) − 12X> 50X

Rozbalme závorky na levé straně nerovnosti:

Přesuňte 50 X z pravé strany na levou stranu, změna znamení. Termín 31 přesuneme z levé strany na pravou stranu a opět změníme znaménko:

Zde jsou podobné výrazy:

Dostali jsme nerovnost 0 x>-31. Na levé straně je produkt, který se bude u každého rovnat nule X... A nula je větší než -31. Proto řešení nerovnosti 0 X< −31 je libovolné číslo.

A pokud je snížená ekvivalentní nerovnost 0 x>−31 má nekonečné množství řešení, pak původní nerovnost 31(2X+ 1) − 12X> 50X má stejná řešení.

Napišme odpověď ve formě číselného intervalu:

X ∈ (−∞; +∞)

Svépomocné úkoly

Líbila se ti lekce?
Připojte se k naší nové skupině Vkontakte a začněte dostávat oznámení o nových lekcích

Nerovnost je druhou stranou rovnosti. Materiál v tomto článku podává definici nerovnosti a počáteční informace o ní v kontextu matematiky.

Koncept nerovnosti, stejně jako koncept rovnosti, je spojen s okamžikem, kdy jsou porovnávány dva objekty. Zatímco rovnost znamená „to samé“, nerovnost na druhé straně naznačuje rozdíly v porovnávaných objektech. Například a jsou stejné objekty nebo stejné. a - objekty, které se navzájem liší nebo jsou nerovné.

Nerovnost objektů je určena sémantickým zatížením takových slov jako shora - dole (nerovnost založená na výšce); tlustší - tenčí (nerovnost založená na tloušťce); delší - kratší (nerovnost z hlediska délky) a tak dále.

Je možné hovořit o rovnosti-nerovnosti objektů jako celku a o srovnání jejich jednotlivých charakteristik. Řekněme, že jsou dány dva objekty: a. Není pochyb o tom, že tyto objekty nejsou stejné, tj. obecně nejsou stejné: pokud jde o velikost a barvu. Zároveň však můžeme říci, že jejich tvary jsou stejné - oba objekty jsou kruhy.

V kontextu matematiky zůstává sémantické zatížení nerovnosti. V tomto případě však mluvíme o nerovnosti matematických objektů: čísla, hodnoty výrazů, hodnoty veličin (délka, plocha atd.), Vektory, tvary atd.

Nevyrovná se, více, méně

V závislosti na cílech nastoleného problému může být pouhá skutečnost zjištění nerovnosti předmětů cenná, ale obvykle po zjištění nerovnosti je objasněno, která hodnota je stále větší a která méně.

Význam slov „více“ a „méně“ je nám intuitivně známý od samého začátku našeho života. Dovednost určit nadřazenost objektu z hlediska velikosti, množství atd. Je zřejmá. Jakékoli srovnání nás ale nakonec přivede ke srovnání čísel, která určují některé charakteristiky porovnávaných objektů. V podstatě zjišťujeme, které číslo je větší a které menší.

Jednoduchý příklad:

Příklad 1

Ráno byla teplota vzduchu 10 stupňů Celsia; ve dvě hodiny odpoledne bylo toto číslo 15 stupňů. Na základě srovnání přirozených čísel můžeme tvrdit, že teplota ráno byla nižší než její hodnota ve dvě odpoledne (nebo ve dvě odpoledne se teplota zvýšila, stala se více než teplota ráno).

Psaní nerovností pomocí značek

Existují obecně přijímané notace pro psaní nerovností:

Definice 1

• znaménko nerovnosti, což je přeškrtnuté znaménko rovnosti: ≠. Tato značka je umístěna mezi nerovnými objekty. Například: 5 x 10 pět se nerovná deseti;
• znaménko větší než:> a znaménko menší než:< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | >| C D | označuje, že segment A B je větší než segment C D;
• znaménko větší nebo rovné: ≥ a znaménko menší než nebo rovné: ≤.

Níže budeme podrobněji analyzovat jejich význam. Dejme definici nerovností formou jejich zápisu.

Definice 2

Nerovnosti- algebraické výrazy, které mají význam a jsou psány pomocí znaků ≠,>,< , ≤ , ≥ .

Přísné a laxní nerovnosti

Přísné nerovnosti Jsou znaky „větší než“ a „menší“:> a< Неравенства, составленные с их помощью – přísné nerovnosti.

Známky neomezených nerovností- jsou to znaménka „větší než nebo rovno“ a „menší než nebo rovno“: ≥ a ≤. Nerovnosti s nimi vyrovnané - laxní nerovnosti.

Výše jsme diskutovali o tom, jak se uplatňují přísné nerovnosti. Proč se používají laxní nerovnosti? V praxi lze takové nerovnosti použít ke specifikaci případů popsaných slovy „ne více“ a „ne méně“. Fráze „ne více“ znamená méně nebo totéž - tato úroveň srovnání odpovídá znaménku „menší nebo rovné“ ≤. „Ne méně“ zase znamená - stejné nebo více, a to je znaménko „větší nebo rovno“ ≥. Takže laxní nerovnosti, na rozdíl od přísných, umožňují rovnost objektů.

Pravdivé a nepravdivé nerovnosti

Skutečná nerovnost- nerovnost, která odpovídá výše uvedenému smyslu nerovnosti. Jinak je nevěrný.

Tady je několik jednoduchých příkladů pro přehlednost:

Příklad 2

Nerovnost 5 ≠ 5 není pravdivá, protože ve skutečnosti jsou čísla 5 a 5 stejná.

Nebo takové srovnání:

Příklad 3

Předpokládejme, že S je plocha nějaké postavy, v tomto případě S< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

Fráze „spravedlivá nerovnost“, „nerovnost nastává“ atd., Jsou ve smyslu pojmu „správná nerovnost“ podobné.

Vlastnosti nerovností

Popíšeme vlastnosti nerovností. Je zjevným faktem, že objekt nemůže být nerovný sám o sobě, a toto je první vlastnost nerovnosti. Druhá vlastnost zní takto: pokud se první objekt nerovná druhému, druhý se nerovná prvnímu.

Popíšeme vlastnosti odpovídající znakům „větší než“ nebo „méně“:

Definice 5

• antireflexní... Tuto vlastnost lze vyjádřit takto: pro libovolný objekt k nerovnosti k> k a k< k неверны;
• antisymetrie... Tato vlastnost říká, že pokud je první objekt větší nebo menší než druhý, pak je druhý objekt menší nebo větší než první. Píšeme: pokud m> n, pak n< m . Или: если m < n , то n >m;
• tranzitivita... V doslovném zápisu bude zadaná vlastnost vypadat takto: pokud je zadáno, že a< b и b < с, то a < c . Наоборот: a >b a b> c, což znamená a> c. Tato vlastnost je intuitivně srozumitelná a přirozená: pokud je první objekt větší než druhý a druhý větší než třetí, je zřejmé, že první objekt je o to větší než třetí.

Některé vlastnosti jsou také inherentní známkám neomezených nerovností:

Definice 6

• reflexivita: a ≥ a a a a a (to zahrnuje i případ, když a = a);
• antisymetrie: pokud a ≤ b, pak b ≥ a. Pokud a ≥ b, pak b ≤ a;
• tranzitivita: pokud a ≤ b a b ≤ c, pak je zřejmé, že a ≤ c. A také: pokud a ≥ b a b ≥ c, pak a ≥ c.

Double, triple atd. nerovnosti

Vlastnost přechodnosti umožňuje zapisovat dvojité, trojité a tak dále nerovnosti, které jsou v zásadě řetězci nerovností. Například: dvojitá nerovnost - e> f> g nebo trojná nerovnost k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4.

Všimněte si, že je vhodné psát nerovnost jako řetězce, které obsahují různá znaménka: rovná se, nerovná se a znaménka přísné a nepřesné nerovnosti. Například x = 2< y ≤ z < 15 .

Pokud si všimnete chyby v textu, vyberte ji a stiskněte Ctrl + Enter

Například výraz \ (x> 5 \) je nerovnost.

Druhy nerovností:

Pokud \ (a \) a \ (b \) jsou čísla nebo, pak se volá nerovnost numerické... Ve skutečnosti jde pouze o srovnání dvou čísel. Takové nerovnosti se dělí na věřící a nevěrný.

Například:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\ (17 + 3 \ geq 115 \) je neplatná číselná nerovnost, protože \ (17 + 3 = 20 \) a \ (20 \) je menší než \ (115 \) (ne větší nebo rovný).

Pokud \ (a \) a \ (b \) jsou výrazy obsahující proměnnou, pak máme proměnná nerovnost... Takové nerovnosti jsou rozděleny do typů v závislosti na obsahu:

Jaké je řešení nerovnosti?

Pokud je číslo nahrazeno nerovností místo proměnné, změní se na číselné.

Pokud daná hodnota pro x změní původní nerovnost na skutečnou číselnou, je volána řešení nerovnosti... Pokud ne, pak tato hodnota není řešením. A řešit nerovnost- musíte najít všechna jeho řešení (nebo ukázat, že neexistují).

Například, pokud dosadíme číslo \ (7 \) do lineární nerovnosti \ (x + 6> 10 \), dostaneme správnou číselnou nerovnost: \ (13> 10 \). A když dosadíme \ (2 \), dojde k nesprávné numerické nerovnosti \ (8> 10 \). To znamená, že \ (7 \) je řešením původní nerovnosti, ale \ (2 \) tomu tak není.

Nerovnost \ (x + 6> 10 \) má však i jiná řešení. Při nahrazování \ (5 \) a \ (12 \) a \ (138 \) skutečně získáme správné numerické nerovnosti ... A jak najdeme všechna možná řešení? K tomu použijte V našem případě máme:

\ (x + 6> 10 \) \ (| -6 \)
\ (x> 4 \)

To znamená, že jakékoli číslo větší než čtyři nám bude vyhovovat. Nyní si musíte zapsat odpověď. Řešení nerovností jsou zpravidla psána numericky a navíc je označují na numerické ose stínováním. Pro náš případ máme:

Odpovědět: \ (x \ v (4; + \ infty) \)

Kdy se značka mění v nerovnosti?

V nerovnosti je jedna velká past, do které studenti velmi rádi padají:

Když vynásobíte (nebo vydělíte) nerovnost záporným číslem, změní se opačně („více“ na „méně“, „více nebo rovno“ na „méně nebo rovno“ atd.)

Proč se tohle děje? Abychom tomu porozuměli, podívejme se na převody numerické nerovnosti \ (3> 1 \). Je pravda, že tři jsou opravdu více než jedna. Nejprve to zkusme vynásobit jakýmkoli kladným číslem, například dvěma:

\ (3> 1 \) \ (| \ cdot2 \)
\(6>2\)

Jak vidíte, po násobení zůstává nerovnost pravdivá. A bez ohledu na to, jaké kladné číslo vynásobíme, vždy dostaneme správnou nerovnost. Zkusme nyní vynásobit záporným číslem, například mínus tři:

\ (3> 1 \) \ (| \ cdot (-3) \)
\(-9>-3\)

Nerovnost se ukázala být špatná, protože mínus devět je méně než mínus tři! To znamená, že aby se nerovnost stala pravdivou (což znamená, že transformace násobení záporem byla „legální“), musíte obrátit srovnávací znaménko, například takto: \ (- 9<− 3\).
S rozdělením to dopadne podobně, můžete to zkontrolovat sami.

Pravidlo napsané výše platí pro všechny typy nerovností, nejen pro číselné.

Odpovědět: \ (x \ v (-1; \ infty) \)

Nerovnosti a DHS

Nerovnosti, stejně jako rovnice, mohou mít omezení týkající se hodnot x. Proto by tyto hodnoty, které jsou podle DHS nepřijatelné, měly být vyloučeny z rozhodovací mezery.

Příklad: Vyřešit nerovnost \ (\ sqrt (x + 1)<3\)

Rozhodnutí: Je jasné, že aby levá strana byla menší než \ (3 \), musí být radikální výraz menší než \ (9 \) (konec konců, z \ (9 \) je to jen \ (3 \) ). Dostaneme:

\ (x + 1<9\) \(|-1\)
\ (X<8\)

Všechno? Jakákoli hodnota x menší než \ (8 \) nám bude vyhovovat? Ne! Protože když vezmeme například hodnotu \ (- 5 \), která se zdá být vhodná pro požadavek, nebude to řešení původní nerovnosti, protože nás to povede k výpočtu kořene záporného čísla.

\ (\ sqrt (-5 + 1)<3\)
\ (\ sqrt (-4)<3\)

Proto musíme také vzít v úvahu omezení hodnot x - to nemůže být takové, že pod kořenem je záporné číslo. Máme tedy druhý požadavek na x:

\ (x + 1 \ geq0 \)
\ (x \ geq-1 \)

A aby x bylo konečným řešením, musí splňovat oba požadavky najednou: musí být menší než \ (8 \) (aby bylo řešením) a více než \ (- 1 \) (aby to bylo v zásadě platné). Vynesením na číselnou osu máme konečnou odpověď:

Odpovědět: \ (\ levý [-1; 8 \ pravý) \)