Hlavní vlastnost frakce, formulace, důkaz, příklady aplikace. Hlavní vlastnost Fraci: znění, důkaz, příklady aplikace jako hlavní vlastnost zlomku

V tomto článku budeme analyzovat, jaká je hlavním majetkem zlomku, my to formulovat, dáváme důkaz a vizuální příklad. Pak se domníváme, jak aplikovat hlavní vlastnost frakce při provádění akcí ke snížení frakcí a přinést frakce k novému jmenovateli.

Všechny běžné frakce mají základní majetek, který nazýváme hlavní vlastnost zlomku, a to zní následovně:

Definice 1.

Pokud je numerátor a jmenovatel jedné frakce vynásobeny nebo rozděleny do jednoho a stejného přirozeného čísla, bude událost vést k frakci rovné zadanému.

Představte si základní vlastnost zlomku ve formě rovnosti. Pro přirozené číslo A, B a M, rovnost bude spravedlivá:

a m b · m \u003d a b a A: M B: m \u003d a b

Zvažte důkaz o hlavních vlastnostech frakce. Na základě vlastností vynásobení přirozených čísel a vlastnosti rozdělení přirozených čísel píšeme rovnost: (a m) · b \u003d (b · m) · a a (A: m) · b \u003d (b \u003d (b : m) · A. Tak, zlomky a m b · m a A B, stejně jako A: M B: m a B jsou rovna definici rovnosti zlomků.

Budeme analyzovat příklad, který graficky ilustruje hlavní vlastnost zlomku.

Příklad 1.

Předpokládejme, že máme čtverec rozdělený do 9 "velkých" porcí. Každý "velký" čtverec je rozdělen do 4 menší velikosti. Je možné říci, že uvedený čtverec je rozdělen do 4 · 9 \u003d 36 "malých" čtverců. Zvýrazňujeme barvu 5 "velkých" čtverců. Současně bude 4 · 5 \u003d 20 "malých" čtverců. Ukažme výkres zobrazující naše akce:

Malovaná část je 5 9 zdrojových čísel nebo 20 36, což je stejné. Tak, frakce 5 9 a 20 36 jsou stejné: 5 9 \u003d 20 36 nebo 20 36 = 5 9 .

Tato rovnost, stejně jako rovnost 20 \u003d 4 · 5, 36 \u003d 4 · 9, 20: 4 \u003d 5 a 36: 4 \u003d 9, aby bylo možné dospět k závěru 5 9 \u003d 5 · 4 9 · 4 a 20 36 \u003d 20 · 4 36 · 4.

Chcete-li konsolidovat teorii, budeme analyzovat řešení příkladu.

Příklad 2.

Je specifikován, že numerátor a jmenovatel některého obyčejného frakce se vynásobí 47, po kterém byly tyto numerátory a jmenovateli rozděleny do 3. Je frakce v důsledku těchto akcí?

Rozhodnutí

Na základě hlavního vlastnictví frakce můžeme říci, že násobení numerátoru a jmenovatele dané frakce na přirozeném čísle 47 bude mít za následek frakci rovnou zdroji. Můžeme argumentovat stejně, produkují další rozdělení o 3. Nakonec dostaneme frakci rovnou specifikovaným.

Odpovědět: Ano, výsledná frakce se rovná počátečnímu.

Aplikace hlavních vlastností zlomku

Hlavní vlastnost je aplikována, když je nutné podat zlomek do nového jmenovatele a snížení frakcí.

Přinesení frakcí do nového jmenovatele je působení nahrazení dané frakce rovné, ale s velkým nulátorem a jmenovatelem. Přinést zlomek do nového jmenovatele, musíte násobit numerátor a jmenovatel zlomku na nezbytné přirozené číslo. Akce s běžnými frakcemi by nemožné bez způsobu přinést frakci novému jmenovateli.

Definice 2.

Snížení zlomků - přechod na novou frakci rovnou danému, ale s menším číslem a jmenovatelem. Chcete-li zkrátit frakci, musíte rozdělit numerátor a jmenovatel frakce na stejném přirozeném čísle, které bude voláno společný dělič.

Tam mohou být případy, kdy neexistuje žádný takový společný dělič, pak naznačují, že počáteční frakce je nenápadná nebo nepodléhá snížení. Zejména snížení frakce s pomocí největšího společného dělitele povede k zlomku nepochopitelné mysli.

Pokud si v textu všimnete chybu, vyberte jej a stiskněte klávesu CTRL + ENTER

Zlomek - forma reprezentace čísla v matematice. Frakční funkce označuje provoz rozdělení. Čitatel Fraci je dělitelný a jmenovatel - dělič. Například zlomek numerátoru je číslo 5 a jmenovatel je 7.

Že jo To se nazývá frakce, která má modul numerátoru větší než modul jmenovodu. Pokud je frakce správná, je jeho modul je vždy menší než 1. Všechny ostatní frakce jsou špatně.

Frakce se nazývá smíšenýPokud je zaznamenán jako celé číslo a zlomek. To je stejné jako množství tohoto počtu a zlomků:

Hlavní vlastnost fraci

Pokud se numerátor a jmenovatel zlomku vynásobí stejným číslem, pak se hodnota frakce nezmění, což je například

Přivádění zlomků ke společnému jmenovateli

Chcete-li přinést dvě frakce na společný jmenovatel, potřebujete:

1. ČÍSLOTOR první frakce násobí na jmenovatele druhé
2. ČÍSLOTOR druhé frakce násobí denominátor
3. Ranci obou frakcí nahradí svou práci

Akce s zlomky

Přidání. Chcete-li složit dvě frakce, potřebujete

1. Skládané nové číslice obou frakcí a jmenovatel se nezměnil

Příklad:

Odčítání. Odečítat jednu frakci z jiného, \u200b\u200bpotřebujete

1. Přineste zlomek komu společného jmenovatele
2. Odečíst od numerátoru první frakce numerátoru sekundy a denominátor zůstane beze změny

Příklad:

Násobení. Vynásobte jednu frakci na druhého, vynásobte své číslicy a jmenovatele.

Akcií jednoho a zobrazí se ve formuláři Frac (a) (b).

Slipérová frakce (A) - Číslo nad frakcí funkce a zobrazující počet akcií, ke kterým byla jednotka rozdělena.

Dannel frakcí (b) - Číslo pod prvkem frakce a ukazuje, kolik frakcí sdílel jednotku.

Skrýt show

Hlavní vlastnost fraci

Pokud ad \u003d bc, pak dvě frakce Frac (a) (b)a Frac (c) (d) jsou považovány za stejné. Například zlomky budou stejné Frac35.a Frac (9) (15) \\ tOd 3 \\ CDOT 15 \u003d 15 CDOT 9, Frac (12) (7) \\ ta Frac (24) (14) \\ tOd 12 CDOT 14 \u003d 7 CDOT 24.

Z definice rovných frakcí vyplývá, že frakce budou stejné Frac (a) (b)a FRAC (AM) (BM)Vzhledem k tomu, A (BM) \u003d B (AM) je vizuální příklad použití kombinování a pohyblivých vlastností násobení přirozených čísel v akci.

Tak FRAC (A) (b) \u003d FRAC (AM) (BM) - Vypadá to, že hlavní vlastnost fraci.

Jinými slovy, dostaneme tuto frakci rovnou tomu, vynásobení nebo oddělení numátoru a jmenovatele počáteční frakce na stejném přirozeném čísle.

Snížení zlomků - Jedná se o proces nahrazení frakce, ve kterém je získána nová frakce rovna původní, ale s menším číslem a jmenovatelem.

Snížení frakce je vyrobeno z hlavní vlastnosti zlomku.

Například, Frac (45) (60) \u003d Frac (15) (20)(Numerátor a jmenovatel je rozdělen do čísla 3); Výsledná frakce může být znovu snížena, rozdělena na 5, to je Frac (15) (20) \u003d Frac 34.

Nestabilní zlomek - IT frakce jako Frac 34.kde je numerátor a jmenovatel vzájemně jednoduchá čísla. Hlavním cílem řezání frakce je udělat frakci nesouhlasí.

Přivádění zlomků ke společnému jmenovateli

Vezměte dvě frakce jako příklad: FRAC (2) (3) \\ ta FRAC (5) (8) s různými jmenovateli 3 a 8. Aby se tyto frakce přivedly ke společnému jmenovateli a nejprve změnu numátoru a jmenovatele FRAC (2) (3) \\ tna 8. Dostaneme následující výsledek: Frac (2 \\ CDOT 8) (3 \\ CDOT 8) \u003d Frac (16) (24) \\ t. Pak násobit numerátor a jmenovatel FRAC (5) (8)3. Získáme konec: FRAC (5 \\ CDOT 3) (8 \\ CDOT 3) \u003d FRAC (15) (24). Počáteční frakce jsou tedy dány k celkovému jmenovateli 24.

Aritmetická akce na běžných frakcích

Přidání běžných frakcí

a) Se stejnými jmenovateli je numerátor první frakce složen s Nizerem druhé frakce, opouštět jmenovku pro stejný den. Jak je vidět v příkladu:

Frac (a) (b) + frac (c) (b) \u003d frac (a + c) (b);

b) s různými jmenovateli, frakce nejprve vedou ke společnému jmenovateli a poté proveďte přidání číslic podle pravidla a):

Frac (7) (3) + FRAC (1) (4) \u003d FRAC (7 CDOT 4) (3) + FRAC (1 \\ CDOT 3) (4) \u003d FRAC (28) (12) + Frac (3) (12) \u003d FRAC (31) (12).

Odečtení běžných frakcí

a) se stejnými jmenovateli z numátoru první frakce se sčítá numerátor druhé frakce, opouštět jmenovku stejný:

Frac (a) (b) - frac (c) (b) \u003d frac (a-c) (b);

b) Jsou-li jmenovatelé frakcí odlišné, pak první frakce vedou ke společnému jmenovateli, a pak opakují akce jako v odstavci a).

Násobení běžných frakcí

Násobení frakcí čelí následující pravidlo:

Frac (a) (b) cdot frac (c) (d) \u003d frac (a cdot c) (b cdot d),

to znamená, samostatně číslice a denominy.

Například:

Frac (3) (5) \\ CDOT FRAC (4) (8) \u003d FRAC (3 \\ CDOT 4) (5 \\ CDOT 8) \u003d Frac (12) (40) \\ t.

Divize běžných frakcí

Frakce divize produkují následujícím způsobem:

FRAC (A) (b): FRAC (C) (D) \u003d FRAC (AD) (BC),

to je zlomek Frac (a) (b) vynásobený zlomkem Frac (d) (c).

Příklad: Frac (7) (2): FRAC (1) (8) \u003d FRAC (7) (2) CDOT FRAC (8) (1) \u003d FRAC (7 CDOT 8) (2 \\ CDOT 8) (2 \\ CDOT 1) ) \u003d FRAC (56) (2).

Vzájemně vzrušená čísla

Pokud ab \u003d 1, pak je číslo b na oplátku Pro číslo a.

Příklad: Pro číslo 9 je FRAC (1) (9) \\ t, tak jako 9 \\ CDOT FRAC (1) (9) \u003d 1Pro číslo 5 - Frac (1) (5) \\ t, tak jako 5 \\ CDOT FRAC (1) (5) \u003d 1.

Desetinné zlomky

Desetinný zlomek To se nazývá správná frakce, z nichž jmenovatel je 10, 1000, 10, 000, 000, ..., 10 ^ n.

Například: Frac (6) (10) \u003d 0,6; EnsPace FRAC (44) (1000) \u003d 0,044.

Stejným způsobem je napsáno nesprávně s jmenovatelem 10 ^ n nebo smíšenou čísly.

Například: 5 \\ FR) (1) (10) \u003d 5.1; EnsPace \\ FRAC (763) (100) \u003d 7 Frac (63) (100) \u003d 7.63.

Ve formě desetinné frakce je reprezentována běžná frakce s jmenovatelem, což je dělič některých čísel 10.

Příklad: 5 - dělič čísla 100, takže zlomek Frac (1) (5) \u003d Frac (1 \\ CDOT 20) (5 \\ CDOT 20) \u003d Frac (20) (100) \u003d 0,2.

Aritmetická akce přes desetinné frakce

Přidání desetinných frakcí

Pro přidání dvou desetinných frakcí je nutné je umístit tak, aby se navzájem vyskytly stejné výboje a čárka dilataci, a pak se zlomek zlomků jako běžná čísla.

Odčítání desetinných frakcí

Prováděny podobně jako doplněk.

Násobení desetinných frakcí

Po násobení desetinných čísel je dostatečná pro vynásobení zadaných čísel, nevěnovat pozornost čárkám (jako přirozené čísla), a ve výsledné odpovědi čárky vpravo, tolik číslic se oddělí, protože jsou po středu v obou faktorech.

Proveďte násobení 2,7 za 1.3. Máme 27 CDOT 13 \u003d 351. Oddělujeme správné dvě číslice středního střeva (na prvním a druhém čísle - jedna číslice po čárku; 1 + 1 \u003d 2). V důsledku toho získáme 2,7 CDOT 1,3 \u003d 3,51.

Pokud v výsledném výsledku existuje méně čísel, než je nutné oddělit čárku, pak chybějící nuly jsou napsány dopředu, například:

Pro násobení o 10, 100, 1000 je nutné v desetinné frakci pro přenos čárky až 1, 2, 3 číslice vpravo (v případě potřeby je přičemž určitý počet nul vpravo).

Například: 1,47 CDOT 10, 000 \u003d 14,700.

Divize desetinných frakcí

Divize desetinné frakce na přirozeném čísle je také vyráběna jako rozdělení přirozeného čísla přirozené. Čárka v soukromí je umístěna po dokončení rozdělení celé části.

Je-li celá část dělitelného menšího děliče, se ukazuje, že je také nulová, například:

Zvažte rozdělení desetinné frakce na desetinné místo. Nechť je nutné rozdělit 2,576 za 1.12. Nejprve, elegantně dividimit a dělič zlomků 100, tj. Budeme přenést čárku doprava v Delimu a děliči na tolik známek, protože jsou v děliči po čári (v tomto příkladu pro dva). Poté je nutné provést rozdělení zlomku 257.6 na přirozené číslo 112, to znamená, že úkol je snížen na již zvažovaný případ:

Stává se, že konečná desetinná frakce není vždy získána při dělení jednoho čísla do druhého. V důsledku toho se získá nekonečná desetinná frakce. V takových případech převody na běžné frakce.

2.8: 0,09 \u003d FRAC (28) (10): FRAC (9) (100) \u003d FRAC (28 CDOT 100) (10 \\ CDOT 9) \u003d Frac (280) (9) \u003d 31 Frac (280) (9) \u003d 31 1) (9) \\ t.

Toto téma je dostatečně důležité na základních vlastnostech zlomků, všechna další matematika a algebra jsou založeny. Uvažované vlastnosti zlomků, navzdory svému významu velmi jednoduché.

Rozumět hlavní vlastnosti zlomků Zvážit kruh.

Na kruhu je vidět, že 4 díly nebo malované z osmi možné. Získáme výslednou frakci (Frac (4) (8) \\) \\ t

Na další kruh je vidět, že jedna část dvou možných je malovaná. Zapisujeme frakci (Frac (1) (2)) \\ t

Pokud se podíváte pozorně, uvidíme, že v prvním případě, v druhém případě máme polovinu kruhu, takže výsledné frakce se rovnou (Frac (4) (4) \u003d Frac (1) (2) ), To je to stejné číslo.

Jak to dokázat matematicky? Velmi jednoduchá, pamatujte si násobení tabulky as první frakcí na multiplikáti.

(Frac (4) (8) \u003d Frac (1 \\ CDOT barva (červená) (červená) (4)) (2 \\ CDOT (červená) (červená) (červená) (červená) (červená) (4)) \u003d frac (1) (2) cdot Barva (červená) (Frac (4) (4)) \u003d Frac (1) (2) CDOT (červená) (1) \u003d FRAC (1) (2) \\ t

Co jsme udělali? Podepsané numatelátoru a jmenovatele pro multiplikátory (FRAC (1 \\ CDOT (červená) (červená) (červená) (červená) (4) (červená barva (červená) (červená) (červená) (červená) (červená) (4))) a poté rozdělil zlomky (FRAC (FRAC (FRAC) 1) (2) CDOT barva (červená) (FRAC (4) (4)) \\ t Čtyři rozděleny do čtyř to je 1, a jednotka násobená k libovolným čísle je to samo. Co jsme udělali v příkladu snížení frakcí.

Podívejme se na další příklad a snížit frakci.

(Frac (6) (10) \u003d FRAC (3 \\ CDOT (červená) (červená) (červená) (2)) (5 \u200b\u200b\\ CDOT barva (červená) (červená) (červená) (červená) (červená) (červená) (červená) (3)) \u003d frac (3) (5) \\ t Cdot Barva (červená) (Frac (2) (2)) \u003d Frac (3) (5) CDOT (červená) (1) \u003d FRAC (3) (5) \\ t

Opět namalovali numerátor a denominátor pro multiplikátoři a zobrazili stejné číslo v číslech a jmenovatele. To znamená, že dva rozdělené do dvou poskytne jednotku a jednotka násobená k libovolným čísle dává stejné číslo.

Hlavní vlastnost zlomku.

Proto hlavní vlastnost Fraci:

Pokud je numerátor a jmenovatel Fraci vynásobeny stejné číslo (kromě nuly), pak se frakce nezmění.

(Bf frac (a) (b) \u003d frac (a cdot n) (b cdot n) \\ t

Můžete také létat numerátor a jmenovatele, abyste se mohli sdílet číslo současně.
Zvažte příklad:

(Frac (6) (8) \u003d FRAC (6 \\ DIV Barva (červená) (červená) (2)) (8 \\ DIV (červená) (červená) (červená) (červená) (červená) (červená) (červená) (červená) (2)) \u003d frac (3) (4) \\ t

Pokud je numerátor a Denomote Denoter sdílet číslo (kromě nuly), pak velikost frakce se nezmění.

(Bf frac (a) (b) \u003d frac (div n) (b \\ div n) \\ t

Frakce, jejichž jsou v číselných a v denominantech, obyčejní obyčejní děliče sociální podvod.

Příklad snížené frakce: (Frac (2) (4), Frac (6) (10), Frac (9) (15), Frac (10) (5), ... \\ t

Tam je také nestabilní zlomky.

Nestabilní zlomek - Jedná se o zlomek, z nichž nejsou žádná čísla a jmenovatele společných běžných dělitelů.

Příklad nenápadné frakce: (Frac (1) (2), Frac (3) (5), Frac (5) (7), Frac (13) (5), ... \\ t

Jakékoliv číslo může být reprezentováno jako zlomek, protože libovolné číslo je rozděleno jedním, např:

(7 \u003d frac (7) (1) \\ t

Otázky k tématu:
Co si myslíte, že někdo může zkrátit nebo ne?
Odpověď: Ne, tam jsou snížené frakce a ne-interpretovatelné frakce.

Zkontrolujte, zda platí rovnost: (Frac (7) (11) \u003d Frac (14) (22) \\)?
Odpověď: Posuvná frakce (Frac (14) (22) \u003d Frac (7 \\ CDOT 2) (11 \\ CDOT 2) \u003d Frac (7) (11) \\ tAno, správně.

Příklad číslo 1:
a) Najděte frakci s označením 15 rovným frakci (Frac (2) (3) \\ t.
b) Najděte frakci s numerátorem 8 rovným frakci (Frac (1) (5) \\ t.

Rozhodnutí:
a) Potřebujeme číslo 15 v denominátoru. Nyní v čísle denominátoru 3. Jaké číslo musí vynásobit číslo 3 získat 15? Připomeňme si násobící tabulku 3⋅5. Musíme využít hlavní majetek zlomků a násobitelů a numerátoru a jmenovatele (Frac (2) (3) \\ t5.

(Frac (2) (3) \u003d FRAC (2 \\ CDOT 5) (3 \\ CDOT 5) \u003d Frac (10) (15) \\ t

b) Potřebujeme číslo 8 v čitateli 8. Nyní existují čísla v číslech 1. Jaké číslo potřebujete vynásobit číslo 1 získat 8? Samozřejmě 1⋅8. Musíme využít hlavní majetek zlomků a násobitelů a numerátoru a jmenovatele (Frac (1) (5) \\ t Na 8. dostaneme:

(Frac (1) (5) \u003d FRAC (1 \\ CDOT 8) (5 \\ CDOT 8) \u003d Frac (8) (40) \\ t

Příklad číslo 2:
Najděte nenápadnou frakci, rovnou frakci: a) (Frac (16) (36) \\ tb) (Frac (10) (25) \\ t.

Rozhodnutí:
ale) (Frac (16) (36) \u003d Frac (4 \\ CDOT 4) (9 \\ CDOT 4) \u003d Frac (4) (9) \\ t

b) (Frac (10) (25) \u003d FRAC (2 \\ CDOT 5) (5 \\ CDOT 5) \u003d Frac (2) (5) \\ t

Příklad číslo 3:
Zapište si číslo ve formě frakce: a) 13 b) 123

Rozhodnutí:
ale) (13 \u003d Frac (13) (1) \\ t

b) (123 \u003d frac (123) (1) \\ t

Od kurzu Algebra školního programu pokračuje do specifického. V tomto článku podrobně prozkoumáme speciální typ racionálních výrazů - racionální zlomkya také budeme analyzovat, jaký charakteristický identický transformace racionálních frakcí probíhat.

Okamžitě si všimněte, že racionální frakce v tom smyslu, ve kterém je definovat níže, v některých učebnicích se algebra nazývá algebraické frakce. To znamená, že v tomto článku pochopíme totéž v racionálních a algebraických frakcích.

Začněme s definicí a příklady. Dále promluvme o tom, že přinášet racionální frakci nového jmenovatele ao změně značek v členech zlomku. Poté budeme analyzovat, jak jsou brains sníženy. Konečně se zaměříme na reprezentaci racionální frakce ve formě součtu několika frakcí. Všechny informace budou dodávány s příklady s podrobnými popisy řešení.

Navigaci stránky.

Definice a příklady racionálních frakcí

Racionální faratoré jsou studovány v lekcích algebry v platové třídě 8. Využijeme definici racionální frakce, která je uvedena v učebnici algebry pro 8 tříd Yu. N. Makarychev atd.

V této definici není specifikováno, zda by polynomy v čitateli a jmenovateli racionální frakce měly být polynomy standardního tvaru nebo ne. Proto předpokládáme, že v záznamech racionálních frakcí lze nalézt jak polynomy standardního druhu a ne standardní.

Dáme pár příklady racionálních frakcí. Tak, x / 8 a - Racionální frakce. A fraci. A nejsou vhodné pro vyjádřenou definici racionální frakce, protože v prvním z nich v nulátoru není polynom, ale ve druhém a v nulátoru a v denominátoru jsou výrazy, které nejsou polynomy.

Transformace numátoru a jmenovatele racionální frakce

Čitorátor a jmenovatel jakékoliv frakce jsou samostatné matematické výrazy, v případě racionálních frakcí jsou to polynomy, v konkrétním případě - jsou neobsazeni a čísla. Proto může být s numátorem a jmenovatelem racionální frakce provádět stejné konverze. Jinými slovy, výraz v racionální frakci numerátoru může být nahrazen identickým výrazem, který je roven, stejně jako jmenovatele.

V nulátoru a denominátoru racionálního frakce lze provést identické konverze. Například v čitateli můžete provést seskupení a přinést podobné termíny a v denominátoru - produkt několika čísel nahrazuje hodnotou. A protože numátátor a jmenovatel racionální frakce jsou polynomy, pak s nimi můžete také provádět a charakteristické pro polynomy transformace, například přinášejí standardní formu nebo reprezentaci ve formě kusu.

Pro přehlednost zvažte řešení několika příkladů.

Příklad.

Převést racionální zlomek Tak, že polynom je polynom standardních druhů v čitateli, a v denominátoru - produkt polynomů.

Rozhodnutí.

Vytvoření racionálních frakcí do nového jmenovatele se používá hlavně při přidávání a odečtení racionálních frakcí.

Změna značek před zlomkem, stejně jako v numerickém a denominátoru

Hlavní vlastnost frakce lze použít ke změně značek od členů frakce. Násobení numerátoru a jmenovatele racionální frakce na -1 je ekvivalentní změně jejich známek a výsledkem je frakce, s nimiž se s nimi stejná. Často je nutné kontaktovat tuto transformaci při práci s racionálními frakcemi.

Pokud tedy současně změníte značky v čitateli a jmenovatele frakce, vypne frakce rovnou původní. Za toto prohlášení odpovídá rovnost.

Uveďte příklad. Racionální frakce může být nahrazena identicky rovnající se frakcí se změněnými příznaky numátoru a jmenovateli druhu.

S frakcemi může být provedena ještě jedna identická konverze, při které se označí změní buď v numerátoru nebo v denominátoru. Pojďme hlas odpovídající pravidlo. Pokud nahradíte zlomek znaménko dohromady s počtem čísla nebo jmenovatele, se rozsvítí s frakcí, shodně se rovna zdroji. Zaznamenané prohlášení odpovídá rovnosti a.

Prokazující tato rovnost není obtížná. Důkaz je založen na množinách násobení čísel. Prokazujeme první z nich :. S pomocí podobných transformací je prokázána rovnost.

Například frakce může být nahrazena výrazem nebo.

Na závěr tohoto odstavce dáváme dvě užitečnější rovnost a. To znamená, že pokud změníte znaménko pouze v čitateli nebo pouze denominátorem, zlomek změní jeho znaménko. Například, a .

Uvažované transformace, které vám umožní změnit znaménko v členy frakce, často platí při převodu zlomkových racionálních výrazů.

Snížení racionálních frakcí

V srdci následující transformace racionálních frakcí, které mají snížení názvu racionální frakcí, je také hlavní vlastností zlomku. Tato transformace odpovídá rovnosti, kde A, B a C jsou některé polynomy, a B a C - nenulová.

Z dané rovnosti je zřejmé, že snížení racionální frakce zahrnuje likvidaci celkového faktoru v jeho numátoru a jmenovateli.

Příklad.

Snižte racionální frakci.

Rozhodnutí.

Obecný multiplikátor 2 je viditelný, budeme provádět snížení (při nahrávání, obecné faktory, které jsou sníženy, vhodné projít). Mít . Protože x 2 \u003d x · x a y 7 \u003d y 3 · y 4 (viz v případě potřeby), je zřejmé, že x je běžný multiplikátor numerátoru a jmenovatele výsledné frakce, jako je y3. Tyto faktory snížíme: . Toto snížené snížení.

Výše, snížili jsme racionální frakci důsledně. A bylo možné snížit snížení v jednom kroku, okamžitě snížit frakci o 2 · x · Y3. V tomto případě by řešení vypadalo takto: .

Odpovědět:

.

S snížením racionálních frakcí je hlavním problémem, že celkový násobek numerátoru a jmenovatele není vždy viditelný. Navíc neexistuje vždy. Aby bylo možné najít společný faktor nebo se ujistěte, že není nutné pro numerátor a jmenovatel racionální frakce rozkládat na násobiteli. Pokud neexistuje žádný společný faktor, pak počáteční racionální frakce nepotřebuje snížení, jinak dochází ke snížení.

V procesu redukce racionálních frakcí mohou nastat různé nuance. Hlavní jemnosti na příkladech a v detailech demontovaných v článku snižující algebraické frakce.

Dokončení konverzace o snížení racionálních frakcí jsme si všimli, že tato transformace je totožná a hlavní složitost ve svém jednání je rozkládat polynomy v čitateli a jmenovateli.

Zastoupení racionální frakce ve formě množství zlomků

Docela specifická, ale v některých případech velmi užitečná, se ukazuje na transformaci racionální frakce, která spočívá v jeho reprezentaci jako součet několika frakcí, nebo součet celého exprese a frakce.

Racionální zlomek, v čitateli, z nichž je polynom, který je součtem několika univerzit, může být vždy napsáno jako množství frakcí se stejnými jmenovateli, v jehož numerátoři jsou vhodné. Například, . Takové podání je vysvětleno pravidlem přidávání a odečtení algebraických frakcí se stejnými jmenovateli.

Obecně platí, že každá racionální frakce může být reprezentována jako zlomek různými způsoby. Například frakce A / B může být reprezentována jako součet dvou frakcí - libovolné frakce c / d a frakce, rovný rozdíl Frakce A / B a C / D. Toto prohlášení je spravedlivé, protože existuje rovnost . Například racionální frakce může být reprezentována jako součet frakcí různými způsoby: Představte si počáteční frakci ve formě součtu celého výrazu a frakce. Po rozdělení numátoru k jmenovateli dostaneme rovnost . Hodnota výrazu n 3 +4 pro všechny celé n je celé číslo. A hodnota frakce je celé číslo a pouze v případě, že jeho jmenovatel je 1, -1, 3 nebo -3. Tyto hodnoty odpovídají n \u003d 3, n \u003d 1, n \u003d 5 a n \u003d -1, v tomto pořadí.

Odpovědět:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografie.

• Algebra: studie. Pro 8 cl. obecné vzdělání. Instituce / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neskov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 16. ed. - M.: Enlightenment, 2008. - 271 p. : IL. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. ročník. Ve 2 TSP. 1. Výukový program pro studenty obecných vzdělávacích institucí / A. Mordkovich. - 13. ed., Zákon. - M.: MnoMozina, 2009. - 160 p.: IL. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. třída. Ve 2 TSP. 1. Výukový program pro studenty obecných vzdělávacích institucí / A. Mordkovich. - 11. ed., CHED. - M.: MnoMozina, 2009. - 215 P.: IL. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. G. Matematika (přínos pro žadatele v technických školách): Studie. výhoda. - m.; Vyšší. Shk., 1984.-351 str., IL.