Najděte oblast paralelogramu na stranách. Čtvercový ozlogram

Jaký je paralelogram? Paralelogram se nazývá čtyřúhelník, který má opačné strany páry paralelně.

1. Plocha paralelogramu je vypočtena vzorcem:

[Velké s \u003d a cdot h_ (a) \\ t

kde:
A - strana paralelogramu,
H A je výška prováděná na této straně.

2. Je-li známa délka dvou sousedních stran rovnoběžně a úhel mezi nimi, pak se rovnováha vypočítá vzorec:

[LARGE S \u003d A CDOT B CDOT SIN (alfa) \\ t

3. Pokud je diagonální paralelogram nastaven a mezi nimi je úhel známý, plocha rovnoběžně vypočítá vzorec:

[LARGE S \u003d FRAC (1) (2) CDOT D_ (1) CDOT D_ (2) \\ CDOT SIN (alfa) \\ t

Vlastnosti paralelogramu

V paralelogramu jsou opačné směry stejné: (ab \u003d cd), (bc \u003d ad)

V rovnoběžném popisu jsou opačné úhly stejné: (úhel A \u003d úhel C), (úhel b \u003d úhel d)

Diagonála paralelogramu na průsečíku je rozdělen polovinou (AO \u003d OC), (bo \u003d OD)

Diagonála paralelogramu rozděluje na dvě stejné trojúhelníky.

Součet úhlů paralelogramu, sousedící s jednou stranou rovnou 180 O:

(úhel a + úhel b \u003d 180 ^ (o)), (úhel b + anle c \u003d 180 ^ (o) \\ t

(Úhel c + úhel d \u003d 180 ^ (o)), (úhel d + úhel a \u003d 180 ^ (o) \\ t

Diagonály a strana paralelogramu jsou spojeny s následujícím poměrem:

(d_ (1) ^ (2) + d_ (2) ^ 2 \u003d 2A ^ (2) + 2b ^ (2) \\ t

V rovnoběžnémgramu se úhel mezi výškami rovná jeho akutnímu rohu: (úhel k b h \u003d úhel a).

Bisektor úhlů sousedících s jednou stranou rovnoběžnéhogramu se vzájemně kolmá.

BisSECTRIX dvou protilehlých rohů paralelogramu jsou rovnoběžné.

Příznaky paralelogramu

Čtyřúhelník bude paralelogram, pokud:

(Ab \u003d cd) a (ab || cd)

(Ab \u003d cd) a (bc \u003d reklama)

(AO \u003d OC) a (bo \u003d OD)

(úhel a \u003d úhel c) a (úhel b \u003d úhel d)

Výstup plochy plochy paralelogramu se sníží na konstrukci obdélníku rovného tohoto paralelogramu v této oblasti. Bereme jednu stranu paralelogramu pro základnu a kolmo, provádí se z libovolného bodu opačné strany k přímé linii, které obsahují základnu, se nazývá výška rovnoběžně. Pak se plocha paralelogramu bude rovnat produktu své základny do výšky.

Teorém.Oblast paralelogramu se rovná produktu své základny do výšky.

Důkaz. Zvážit paralelogramy s oblastí. Pojďme čelit základně a provést výšku (obrázek 2.3.1). To je nutné dokázat.

Obrázek 2.3.1.

Nejprve dokazujeme, že oblast obdélníku je také rovna. Trapéz je vyroben z trojúhelníku paralelogramu. Na druhé straně se skládá z obdélníku NVCC a trojúhelníku. Obdélníkové trojúhelníky jsou však rovny hypotenuse a akutním úhlu (jejich hypotéluy, jako protilehlé strany, rovnoběžnýgram a úhly 1 a 2 se rovnou oběma příslušným úhlům při přechodu paralelního příměru), takže jsou stejné. V důsledku toho je plocha paralelogramu obdélníku rovna, to znamená, že oblast je obdélník. V oblasti obdélníku věty, ale od té doby.

Theorem je prokázán.

Příklad 2.3.1.

V kosočtverci se stranou a ostrým rohem je kruh napsán. Určete oblast quadrille, jehož vrcholy jsou bodem doteku kruhu se stranami rhombus.

Rozhodnutí:

Poloměr napsaný v kosočtverci kruhu (obr. 2.3.2), protože čtyřkolekový obdélník, protože jeho úhly jsou založeny na průměru kruhu. Jeho plocha, kde (katat ležící proti úhlu) ,.

Obrázek 2.3.2.

Tak,

Odpovědět:

Příklad 2.3.2.

Danzh, jehož diagonál, který je 3 cm a 4 cm. Z vrcholu hloupého úhlu byl vzat oblast Tranny

Rozhodnutí:

Romská oblast (obrázek 2.3.3).

Tak,

Odpovědět:

Příklad 2.3.3.

Oblast quadrilu se rovná hledání plochy rovnoběžnéhogramu, jejichž strany jsou stejné a rovnoběžné s úhlopříčkou quadrilu.

Rozhodnutí:

Protože (obr. 2.3.4), pak paralelogramy a, to znamená.

Obrázek 2.3.4.

Podobně se dostaneme z toho, kde to následuje.

Odpovědět:.

2.4 Triangle Square.

Existuje několik vzorců pro výpočet plochy trojúhelníku. Zvážit ty studované ve škole.

První vzorec proudí ze vzorce oblasti Pologram a je nabízen studenti ve formě věty.

Teorém. Oblast trojúhelníku se rovná polovině díla své základny do výšky.

Důkaz. Nechť - oblast trojúhelníku. Pojďme čelit spodní části trojúhelníku a strávit výšku. Prokazujeme, že:

Obrázek 2.4.1

Thunderstand trojúhelník do paralelogramu, jak je znázorněno na obrázku. Trojúhelníky na třech stranách (- jejich společná strana a opačné strany paralelního gramu), proto je jejich čtverec stejné. V důsledku toho je oblast S je trojúhelník abs se rovná polovině plochy paralelogramu, tj.

Theorem je prokázán.

Je důležité čerpat studenty pozornost dvou důsledků vyplývajících z této věty. A to:

plocha obdélníkový trojúhelník. Je to polovina práce svých katalů.

pokud je výška dvou trojúhelníků stejné, pak jejich oblasti patří jako základ.

Tyto dvě důsledky hrají důležitá role Při řešení jiného druhu úkolů. S podporou pro to je prokázána další věta, která má rozsáhlé použití při řešení problémů.

Teorém. Pokud se úhel jednoho trojúhelníku rovný úhlu jiného trojúhelníku, pak jejich oblasti souvisejí jako díla stran na stejné úhly.

Důkaz. Nechte objekty trojúhelníků, které jsou uhlí.

Obrázek 2.4.2.

Prokazujeme, že: .

Vezměte trojúhelník. Na trojúhelníkové až vrchol s vrcholem a stranami, resp. Na Lucia.

Obrázek 2.4.3.

Trojúhelníky mají tedy celkovou výšku. Trojúhelníky mají celkovou výšku - proto ,. Vynásobíte získanou rovnost, dostaneme .

Theorem je prokázán.

Druhý vzorec.Oblast trojúhelníku se rovná polovině práce dvou stran na sinusu rohu mezi nimi. Tam je několik způsobů, jak tento vzorec prokazuje, a já si zvyknu.

Důkaz.Z geometrie známou větu, že oblast trojúhelníku se rovná polovině produktu základny pro výšku, snížena na tuto základnu:

V případě akutního trojúhelníku. V případě nudného úhlu. Ho, a proto . V obou případech. Nahrazení trojúhelníkového čtverce v geometrickém vzorci získáme trigonometrický vzorec trojúhelníku:

Theorem je prokázán.

Třetí vzorec Pro oblast trojúhelníku je vzorec geronu pojmenován po starověké řecké vědci Gerona Alexandrian, který žil v prvním století naší éry. Tento vzorec vám umožní najít oblast trojúhelníku, vědět. Je to vhodné, protože vám umožní provést další konstrukce a neměří rohy. Jeho závěr je založen na druhém, který jsme považovali za vzorce oblasti trojúhelníku a kosinistické teorémy: a.

Před zahájením realizace tohoto plánu si to všimneme

Podobně máme:

Nyní vyjadřujeme Cosine přes a:

Protože každý úhel v trojúhelníku je větší a méně. To znamená .

Nyní transformujeme každého z faktorů v guokedu. My máme:

Nahrazení tohoto výrazu ve vzorci pro oblast, dostaneme:

Téma "Square trojúhelníku" má velký význam ve školním průběhu matematiky. Trojúhelník je nejjednodušší z geometrických tvarů. Je to "strukturní prvek" geometrie školy. Drtivá většina geometrických úkolů se sníží na řešení trojúhelníků. Není výjimka a úkol nalezení oblasti práva pravého a libovolného N-Parlamentu.

Příklad 2.4.1.

Jaký je oblast equifiable trojúhelníku, pokud je jeho základna a boční strana?

Rozhodnutí:

-isosceles,

Obrázek 2.4.4.

Provádíme majetek rovnovážného trojúhelníku - mediánu a výšky. Pak

V Pythagore je teorém:

Nacházíme oblast trojúhelníku:

Odpovědět:

Příklad 2.4.2.

V obdélníkovém trojúhelníku bisektoru akutního úhlu rozdělí opačný CATT na segmentech 4 a 5 cm. Určete oblast trojúhelníku.

Rozhodnutí:

Nechť (obrázek 2.4.5). Pak (od BD - Bisector). Odtud máte , tj. To znamená

Obrázek 2.4.5.

Odpovědět:

Příklad 2.4.3.

Najděte oblast equifiable trojúhelníku, pokud je jeho základna stejná, a délka výšky provedená k základně se rovná délce segmentu spojujícího střed základny a strany.

Rozhodnutí:

Podmínkou středního řádku (obrázek 2.4.6). Tak co se vám líbí:

nebo Na Sučitele,

Než víte, jak najít oblast paralelogramu, musíme si pamatovat, jaký paralelogram je a co se nazývá vysoko. Paralelogram je čtyřúhelník, jejichž opačné strany jsou rovnoběžné (leží na paralelních přímkách). Kolmá, prováděná z libovolného bodu opačné strany k přímému, obsahujícím tuto stranu zvanou rovnovážnou výšku.

Čtvercové, obdélník a kosočtverec jsou zvláštními případy paralelogramu.

Oblast paralelogramu je indikována jako (y).

Vzorce nalezla oblast paralelogramu

S \u003d A * H, kde A je základna, H je výška, která se provádí k základně.

S \u003d A * b * SINα, kde A a B je základna a α je úhel mezi základny A a B.

S \u003d p * r, kde p je půlmetr, R je poloměr kruhu, který je napsán v parkurovanémogramu.

Oblast paralelogramu, která je tvořena vektory A a B, se rovná modulu produktu specifikovaných vektorů, a to:

Zvažte příklad č. 1: Dan Pologram, jehož strana je 7 cm a výška je 3 cm. Jak najít oblast paralelogramu, vzorec pro řešení potřebujeme.

Tak, s \u003d 7x3. S \u003d 21. Odpověď: 21 cm 2.

Zvažte příklad č. 2: Jsou uvedeny zásady 6 a 7 cm a podává se úhel mezi bázemi 60 stupňů. Jak najít paralelogramovou plochu? Vzorec používaný k řešení:

Nejprve nejprve najdeme sinusový úhel. SINUS 60 \u003d 0,5, resp. S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Odpověď: 21 cm 2.

Doufám, že tyto příklady vám pomohou při řešení úkolů. A pamatujte, že hlavní věc je znalost vzorců a pozornosti.

Při řešení úkolů na toto téma s výjimkou základní vlastnosti rovnoběžník a odpovídající vzorce lze připomenout a aplikovat následujícím způsobem:

1. BisSECRICE vnitřního rohu paralelogram odřízne z něj equifiable trojúhelník
2. Vnitřní úhly bisektory sousedící s jedním bočním paralelogramem vzájemně kolmým
3. BisSECTRIX, vznikající z protilehlých vnitřních úhlů, paralelogramu, rovnoběžně navzájem nebo leží na jedné přímce
4. Součet čtverců diagonálů paralelogramu se rovná součtu čtverců jeho stran
5. Plocha paralelogramu se rovná polovině díla diagonálů na sinusovém rohu mezi nimi

Při řešení těchto vlastností zvažte úkoly.

Úkol 1.

Bisektor úhlu s rovnoběžníkem AVD překročí stranu reklama v bodě M a pokračování strany AV na bod A v bodě E. Najděte obvod paralelogramu, pokud AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Rozhodnutí.

1. Triangle Shade je předsedat. (Vlastnost 1). Proto CD \u003d MD \u003d 3 cm.

2. Triangle Eam je předcházím.
V důsledku toho AE \u003d AM \u003d 4 cm.

3. AD \u003d AM + MD \u003d 7 cm.

4. Perimetr ABSD \u003d 20 cm.

Odpovědět. 20 cm.

Úloha 2.

V konvexní čtyři-spouštěč AVD Diagonal byl proveden. Je známo, že čtverec trojúhelníků AVD, ACD, je stejné. Prokázat, že tento quadril je paralelogram.

Rozhodnutí.

1. Nechť je - výška trojúhelníku AVD, CF je výška trojúhelníku ACD. Vzhledem k tomu, že podle stavu úkolu plochy trojúhelníků mají také společnou základnu AD, pak je výška těchto trojúhelníků stejná. VE \u003d CF.

2. VE, CF kolmo k reklamu. Body a od jsou umístěny na jedné straně vzhledem k přímé reklamu. VE \u003d CF. V důsledku toho přímé slunce || INZERÁT. (*)

3. Nechte al - výšku trojúhelníku ACD, BK - výška trojúhelníku BCD. Vzhledem k tomu, že podle stavu úkolu oblasti trojúhelníků mají také obecnou základnu CD, pak je výška těchto trojúhelníků stejná. Al \u003d bk.

4. Al a BK kolmo k CD. Body v a A jsou umístěny na jedné straně vzhledem k rovnému CD. Al \u003d bk. V důsledku toho přímé AV || CD (**)

5. Z podmínek (*), (**) toků - AVD paralelogramy.

Odpovědět. Dokázal. AVD - paralelogram.

Úkol 3.

Na bocích letadla a CD se paralelogram ABSZ poznamenává body m a H, takže segmenty VM a HD protínají v bodě O;<ВМD = 95 о,