Jak postavit parabolu? Co je to parabola? Jak se řeší kvadratické rovnice? Funkce a grafy Vlastnosti funkce ax2 bx c.
Abstrakt z lekce algebry pro 8. ročník střední školy
Téma lekce: Funkce
Účel lekce:
Vzdělávací: definovat pojem kvadratické funkce tvaru (porovnat grafy funkcí a), ukázat vzorec pro zjištění souřadnic vrcholu paraboly (naučit aplikovat tento vzorec v praxi); formovat schopnost určovat vlastnosti kvadratické funkce na grafu (zjištění osy symetrie, souřadnice vrcholu paraboly, souřadnice průsečíků grafu se souřadnicovými osami).
Rozvíjení: rozvoj matematické řeči, schopnost správně, důsledně a racionálně vyjadřovat své myšlenky; rozvoj dovednosti správného psaní matematického textu pomocí symbolů a zápisů; rozvoj analytického myšlení; rozvoj kognitivní činnosti studentů prostřednictvím schopnosti analyzovat, systematizovat a zobecňovat materiál.
Vzdělávací: výchova k samostatnosti, schopnosti naslouchat druhým, formování přesnosti a pozornosti v psaném matematickém projevu.
Typ lekce: učení nového materiálu.
Metody výuky:
generalizovaná reprodukční, induktivní heuristika.
Požadavky na znalosti a dovednosti studentů
vědět, co je to kvadratická funkce tvaru, vzorec pro zjištění souřadnic vrcholu paraboly; umět najít souřadnice vrcholu paraboly, souřadnice průsečíků grafu funkce se souřadnicovými osami, určit vlastnosti kvadratické funkce z grafu funkce.
Zařízení:
Plán lekce
Organizační moment (1-2 min)
Aktualizace znalostí (10 minut)
Prezentace nového materiálu (15 min)
Zajištění nového materiálu (12 min)
Shrnutí (3 min)
Domácí úkol (2 minuty)
Během vyučování
Organizace času
Pozdravy, kontrola nepřítomností, sbírání sešitů.
Aktualizace znalostí
Učitel: V dnešní lekci se naučíme nové téma: "Funkce". Nejprve si ale zopakujme dříve nastudovanou látku.
Přední průzkum:
Co se nazývá kvadratická funkce? (Funkce, kde daná reálná čísla, reálná proměnná, se nazývá kvadratická funkce.)
Co je graf čtvercové funkce? (Graf kvadratické funkce je parabola.)
Jaké jsou nuly kvadratické funkce? (Nuly kvadratické funkce jsou hodnoty, při kterých mizí.)
Vyjmenujte vlastnosti funkce. (Hodnoty funkce jsou kladné v a rovny nule v; graf funkce je symetrický vzhledem k osám pořadnic; při funkci roste, v - klesá.)
Vyjmenujte vlastnosti funkce. (Pokud, pak funkce nabývá kladných hodnot v, jestliže, pak funkce nabývá záporných hodnot v, hodnota funkce je pouze 0; parabola je symetrická podle ordináty; jestliže, pak funkce roste v a klesá při, jestliže, pak se funkce zvyšuje při, klesá - při .)
Prezentace nového materiálu
Učitel: Začněme se učit nový materiál. Otevřete sešity, zapište si číslo a téma lekce. Věnujte pozornost desce.
Psaní na tabuli: Číslo.
Funkce.
Učitel: Na tabuli vidíte dva grafy funkcí. První je graf a druhý. Zkusme je porovnat.
Znáte vlastnosti funkce. Na jejich základě a porovnáním našich grafů můžeme zvýraznit vlastnosti funkce.
Na čem tedy podle vás bude záviset směr větví paraboly?
Studenti: Směr větví obou parabol bude záviset na koeficientu.
Učitel: Zcela správně. Můžete si také všimnout, že obě paraboly mají osu symetrie. První graf funkce, jaká je osa symetrie?
Žáci: U paraboly pohledu je osou symetrie pořadnice.
Učitel: Správně. A jaká je osa symetrie paraboly
Studenti: Osou symetrie paraboly je přímka, která prochází vrcholem paraboly rovnoběžně s ordinátou.
Učitel: Správně. Osu symetrie grafu funkce budeme tedy nazývat přímka procházející vrcholem paraboly rovnoběžná s osou pořadnice.
A vrchol paraboly je bod se souřadnicemi. Jsou určeny vzorcem:
Vzorec si zapiš do sešitu a zarámuj.
Psaní na tabuli a do sešitů
Souřadnice vrcholu paraboly.
Učitel: Aby to bylo jasnější, podívejme se na příklad.
Příklad 1: Najděte souřadnice vrcholu paraboly 
.
Řešení: Podle vzorce
Učitel: Jak jsme již poznamenali, osa symetrie prochází vrcholem paraboly. Podívejte se na tabuli. Nakreslete si tento výkres do sešitu.
Psaní na tabuli a do sešitů:
Učitel: Na obrázku: - rovnice osy symetrie paraboly s vrcholem v bodě, kde je úsečka vrcholu paraboly.
Podívejme se na příklad.
Příklad 2: Z grafu funkce určete rovnici osy symetrie paraboly.
Rovnice osy symetrie má tvar: tedy rovnice osy symetrie dané paraboly.
Odpověď: - rovnice osy symetrie.
Zajištění nového materiálu
Učitel: Na tabuli jsou úkoly, které je třeba ve třídě vyřešit.
Zápis na tabuli: č. 609 (3), 612 (1), 613 (3)
Učitel: Ale nejprve vyřešme příklad, který není z učebnice. Rozhodneme se u tabule.
Příklad 1: Najděte souřadnice vrcholu paraboly
Řešení: Podle vzorce
Odpověď: souřadnice vrcholu paraboly.
Příklad 2: Najděte souřadnice průsečíků paraboly 
se souřadnicovými osami.
Řešení: 1) S osou:
Tito. 
Podle Vietovy věty:
Průsečíky s osou úsečky (1; 0) a (2; 0).
Uvažujme výraz ve tvaru ax 2 + bx + c, kde a, b, c jsou reálná čísla a liší se od nuly. Tento matematický výraz je známý jako čtvercová trojčlenka.
Připomeňme, že ax 2 je vedoucí člen tohoto čtvercového trinomu a je jeho vedoucím koeficientem.
Ale čtvercová trojčlenka nemá vždy všechny tři členy. Vezměte si například výraz 3x 2 + 2x, kde a = 3, b = 2, c = 0.
Přejdeme ke kvadratické funkci y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c jsou libovolná čísla. Tato funkce je kvadratická, protože obsahuje člen druhého stupně, tedy x na druhou.
Je docela snadné vykreslit kvadratickou funkci, například můžete použít metodu výběru plného čtverce.
Zvažte příklad vynesení funkce y se rovná -3x 2 - 6x + 1.
Abychom to udělali, první věc, kterou si pamatujeme, je schéma pro přidělení úplného čtverce v trinomu -3x 2 - 6x + 1.
Vyjměte -3 ze závorek pro první dva termíny. Máme -3 vynásobené součtem x čtverců plus 2x a přičteme 1. Sečtením a odečtením jedničky v závorce dostaneme vzorec pro druhou mocninu součtu, který lze sbalit. Dostaneme -3 vynásobené součtem (x + 1) na druhou mínus 1 sčítat 1. Rozbalením závorek a zadáním podobných členů dostaneme výraz: -3 vynásobený druhou mocninou součtu (x + 1) sečteme 4.
Sestavme graf výsledné funkce, přecházející do pomocného souřadnicového systému s počátkem v bodě se souřadnicemi (-1; 4).
Na obrázku z videa je tento systém naznačen tečkovanými čarami. Navažme funkci y je rovno -3x 2 na sestrojený souřadnicový systém. Vezměme si kontrolní body pro pohodlí. Například (0; 0), (1; -3), (-1; -3), (2; -12), (-2; -12). Zároveň je odložíme ve zkonstruovaném souřadnicovém systému. Výsledná parabola je graf, který potřebujeme. Na obrázku je to červená parabola.
Při použití metody izolace úplného čtverce máme kvadratickou funkci tvaru: y = a * (x + 1) 2 + m.
Graf paraboly y = ax 2 + bx + c lze snadno získat z paraboly y = ax 2 paralelním posunem. To je potvrzeno větou, kterou lze dokázat výběrem úplné druhé mocniny binomu. Výraz ax 2 + bx + c se po postupných transformacích změní na výraz ve tvaru: a * (x + l) 2 + m. Nakreslíme graf. Proveďme rovnoběžný pohyb paraboly y = ax 2, přičemž vrchol zarovnáme s bodem se souřadnicemi (-l; m). Důležité je, že x = -l, což znamená -b / 2a. To znamená, že tato přímka je osou paraboly ax 2 + bx + c, její vrchol je v bodě s úsečkou x, nula je rovna mínus b, děleno 2a, a ordináta se vypočítá pomocí těžkopádného vzorce 4ac - b 2 /. Tento vzorec se ale nemusíte učit nazpaměť. Protože dosazením hodnoty abscisy do funkce dostaneme pořadnici.
Pro určení rovnice osy, směru jejích větví a souřadnic vrcholu paraboly zvažte následující příklad.
Vezměte funkci y = -3x 2 - 6x + 1. Po sestavení rovnice pro osu paraboly máme, že x = -1. A tato hodnota je x-ová souřadnice vrcholu paraboly. Zbývá najít pouze pořadnici. Dosazením hodnoty -1 do funkce dostaneme 4. Vrchol paraboly je v bodě (-1; 4).
Graf funkce y = -3x 2 - 6x + 1 byl získán paralelním přenosem grafu funkce y = -3x 2, což znamená, že se chová podobně. Senior koeficient je záporný, takže větve směřují dolů.
Vidíme, že pro libovolnou funkci tvaru y = ax 2 + bx + c je nejjednodušší otázka poslední otázka, tedy směr větví paraboly. Pokud je koeficient a kladný, pak větve směřují nahoru, a pokud záporný, pak klesají.
První otázka je další ve složitosti, protože vyžaduje další výpočty.
A nejobtížnější je druhý, protože kromě výpočtů je potřeba i znalost vzorců, podle kterých x je nula a y je nula.
Sestavme graf funkce y = 2x 2 - x + 1.
Okamžitě určíme - graf je parabola, větve směřují nahoru, protože senior koeficient je 2, a to je kladné číslo. Pomocí vzorce najdeme úsečku x nulu, rovná se 1,5. Chcete-li najít pořadnici, nezapomeňte, že nula se rovná funkci 1,5, při výpočtu dostaneme -3,5.
Vertex - (1,5; -3,5). Osa - x = 1,5. Vezměte body x = 0 a x = 3. y = 1. Označme tyto body. Pomocí tří známých bodů sestavíme požadovaný graf.
Chcete-li vykreslit funkci ax 2 + bx + c, musíte:
Najděte souřadnice vrcholu paraboly a označte je na obrázku, poté nakreslete osu paraboly;
Na ose ox vezměte dva symetrické, kolem osy, parabolické body, najděte hodnotu funkce v těchto bodech a označte je na souřadnicové rovině;
Sestavte parabolu ze tří bodů, v případě potřeby můžete vzít pár dalších bodů a na jejich základě sestavit graf.
V dalším příkladu se naučíme, jak najít největší a nejmenší hodnoty funkce -2x 2 + 8x - 5 na segmentu.
Podle algoritmu: a = -2, b = 8, takže x nula je 2 ay nula je 3, (2; 3) je vrchol paraboly a x = 2 je osa.
Vezměte hodnoty x = 0 a x = 4 a najděte souřadnice těchto bodů. Toto je -5. Postavíme parabolu a určíme to nejmenší hodnotu funkce -5 v x = 0 a největší 3 v x = 2.
Studium vlastností funkcí a jejich grafů zaujímá významné místo jak ve školní matematice, tak v navazujících kurzech. A to nejen v kurzech matematické a funkcionální analýzy, a dokonce nejen v jiných sekcích algebra pro pokročilé ale i ve většině úzce odborných předmětů. Například v ekonomii - užitné funkce, náklady, poptávka, nabídka a spotřební funkce ..., v radiotechnice - řídicí funkce a funkce odezvy, ve statistice - distribuční funkce ... funkce. K tomu po prostudování následující tabulky doporučuji řídit se odkazem "Transformace grafů funkcí".
| Název funkce | Funkční vzorec | Funkční graf | Název grafu | Komentář |
|---|---|---|---|---|
| Lineární | y = kx | Rovný | Nejjednodušším konkrétním případem lineární závislosti je přímá úměrnost y = kx, kde k≠ 0 - koeficient proporcionality. Obrázek ukazuje příklad pro k= 1, tzn. daný graf ve skutečnosti znázorňuje funkční závislost, která nastavuje rovnost hodnoty funkce k hodnotě argumentu. | |
| Lineární | y = kx + b |  |
Rovný | Obecný případ lineární závislosti: koeficienty k a b- jakákoli reálná čísla. Tady k = 0.5, b = -1. |
| Kvadratický | y = x 2 |  |
Parabola | Nejjednodušším případem kvadratické závislosti je symetrická parabola s vrcholem v počátku. |
| Kvadratický | y = sekera 2 + bx + C |  |
Parabola | Obecný případ kvadratické závislosti: koeficient A- libovolné reálné číslo, které se nerovná nule ( A patří R, A ≠ 0), b, C- jakákoli reálná čísla. |
| Napájení | y = x 3 |  |
Kubická parabola | Nejjednodušší případ je pro liché celé číslo. Případy s koeficienty jsou studovány v části "Pohyb funkčních grafů". |
| Napájení | y = x 1/2 |  |
Funkční graf y = √X |
Nejjednodušší případ pro zlomkovou mocninu ( X 1/2 = √X). Případy s koeficienty jsou studovány v části "Pohyb funkčních grafů". |
| Napájení | y = k/x |  |
Hyperbola | Nejjednodušší případ pro zápornou mocninu celého čísla ( 1 / x = x-1) - nepřímo úměrný vztah. Tady k = 1. |
| Orientační | y = e x |  |
Vystavovatel | Exponenciální závislost se nazývá exponenciální funkce pro základ E- iracionální číslo přibližně rovné 2,7182818284590 ... |
| Orientační | y = a x |  |
Graf exponenciální funkce | A> 0 a A A... Zde je příklad pro y = 2 x (A = 2 > 1). |
| Orientační | y = a x |  |
Graf exponenciální funkce | Exponenciální funkce definované pro A> 0 a A≠ 1. Grafy funkce v podstatě závisí na hodnotě parametru A... Zde je příklad pro y = 0,5 x (A = 1/2 < 1). |
| Logaritmické | y= ln X |  |
Graf logaritmické funkce pro základ E(přirozený logaritmus) se někdy nazývá logaritmus. | |
| Logaritmické | y= log a x |  |
Graf logaritmických funkcí | Logaritmy jsou definovány pro A> 0 a A≠ 1. Grafy funkce v podstatě závisí na hodnotě parametru A... Zde je příklad pro y= log 2 X (A = 2 > 1). |
| Logaritmické | y = log a x |  |
Graf logaritmických funkcí | Logaritmy jsou definovány pro A> 0 a A≠ 1. Grafy funkce v podstatě závisí na hodnotě parametru A... Zde je příklad pro y= log 0,5 X (A = 1/2 < 1). |
| Sinus | y= hřích X |  |
Sinusoida | Goniometrická funkce sinus. Případy s koeficienty jsou studovány v části "Pohyb funkčních grafů". |
| Kosinus | y= cos X |  |
Kosinus | Goniometrická kosinusová funkce. Případy s koeficienty jsou studovány v části "Pohyb funkčních grafů". |
| Tečna | y= tg X |  |
Tangensoid | Goniometrická funkce tangens. Případy s koeficienty jsou studovány v části "Pohyb funkčních grafů". |
| Kotangens | y= ctg X |  |
Kotangensoid | Goniometrická kotangens funkce. Případy s koeficienty jsou studovány v části "Pohyb funkčních grafů". |
| Název funkce | Funkční vzorec | Funkční graf | Název grafu |
|---|
Jak ukazuje praxe, úlohy pro vlastnosti a grafy kvadratické funkce způsobují vážné potíže. To je poněkud zvláštní, protože kvadratická funkce se předává v 8. ročníku a následně se celé první čtvrtletí 9. ročníku „vynucují“ vlastnosti paraboly a vykreslují se její grafy pro různé parametry.
Je to dáno tím, že nutí studenty stavět paraboly, prakticky nevěnují čas „čtení“ grafů, tedy neprocvičují porozumění informacím získaným z obrázku. Zřejmě se předpokládá, že po sestavení tuctu grafů chytrý student sám objeví a zformuluje vztah mezi koeficienty ve vzorci a vzhledem grafu. V praxi to nefunguje. K takovému zobecnění je potřeba seriózní zkušenost s matematickým minivýzkumem, kterou samozřejmě většina deváťáků nemá. Mezitím GIA navrhuje určit znaménka koeficientů přesně podle harmonogramu.
Nebudeme od školáků vyžadovat nemožné a jednoduše nabídneme některý z algoritmů pro řešení takových problémů.
Takže funkce formuláře y = ax 2 + bx + c se nazývá kvadratický, jeho grafem je parabola. Jak název napovídá, hlavním pojmem je sekera 2... To znamená A by neměla být nula, ostatní koeficienty ( b a s) se může rovnat nule.
Podívejme se, jak znaménka jejích koeficientů ovlivňují vzhled paraboly.
Nejjednodušší vztah pro koeficient A... Většina školáků sebevědomě odpovídá: „kdyby A> 0, pak větve paraboly směřují nahoru a pokud A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0,5 x 2 - 3 x + 1
V tomto případě A = 0,5
A teď pro A < 0:
y = - 0,5 x 2 - 3 x + 1
V tomto případě A = - 0,5
Vliv koeficientu s je také dostatečně snadné vysledovat. Představme si, že chceme najít hodnotu funkce v bodě NS= 0. Dosaďte ve vzorci nulu:
y = A 0 2 + b 0 + C = C... Ukázalo se, že y = c... To znamená s je pořadnicí průsečíku paraboly s osou y. Tento bod lze obvykle snadno najít na grafu. A určit, zda leží nad nulou nebo pod. To znamená s> 0 nebo s < 0.
s > 0:
y = x 2 + 4 x + 3
s < 0
y = x 2 + 4 x - 3
V souladu s tím, pokud s= 0, pak parabola nutně projde počátkem:
y = x 2 + 4x
Obtížnější s parametrem b... Bod, ve kterém to najdeme, závisí nejen na b ale také od A... Toto je vrchol paraboly. Jeho úsečka (souřadnice podél osy NS) se zjistí podle vzorce x v = - b / (2a)... Tím pádem, b = - 2х v... To znamená, že postupujeme následovně: na grafu najdeme vrchol paraboly, určíme znaménko její úsečky, to znamená, že se podíváme vpravo od nuly ( x v> 0) nebo doleva ( x v < 0) она лежит.
To však není vše. Pozor si musíme dát i na znaménko koeficientu A... Tedy vidět, kam směřují větve paraboly. A teprve potom podle vzorce b = - 2х v identifikovat znamení b.
Podívejme se na příklad:
Větve směřují nahoru, což znamená A> 0, parabola protíná osu na pod nulou znamená s < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x v> 0. Proto b = - 2х v = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, s < 0.
Lekce: jak sestrojit parabolu nebo kvadratickou funkci?
TEORETICKÁ ČÁST
Parabola je graf funkce popsané vzorcem ax 2 + bx + c = 0.
Chcete-li sestavit parabolu, musíte postupovat podle jednoduchého algoritmu akcí:
1) Vzorec paraboly y = ax 2 + bx + c,
-li a > 0 pak jsou směrovány větve paraboly nahoru,
jinak jsou větve paraboly směrovány cesta dolů.
Volný člen C tento bod protíná parabolu s osou OY;
2), zjistí se podle vzorce x = (- b) / 2a, dosadíme nalezené x do rovnice paraboly a najdeme y;
3)Funkce nuly nebo jinak průsečíky paraboly s osou OX, nazývají se také kořeny rovnice. Abychom našli kořeny, srovnáme rovnici s 0 ax 2 + bx + c = 0;
Typy rovnic:
a) Úplná kvadratická rovnice je ax 2 + bx + c = 0 a rozhoduje o něm diskriminant;
b) Neúplná kvadratická rovnice tvaru ax 2 + bx = 0. Chcete-li to vyřešit, musíte vložit x mimo závorky a pak každý faktor přirovnat k 0:
ax 2 + bx = 0,
x (ax + b) = 0,
x = 0 a ax + b = 0;
c) Neúplná kvadratická rovnice tvaru ax 2 + c = 0. Abyste to vyřešili, musíte posunout neznámé jedním směrem a známé druhým. x = ± √ (c / a);
4) Najděte nějaké další body k sestavení funkce.
PRAKTICKÁ ČÁST
A tak nyní na příkladu analyzujeme vše podle akcí:
Příklad č. 1:
y = x 2 + 4 x + 3
c = 3 znamená, že parabola protíná OY v bodě x = 0 y = 3. Větve paraboly vypadají vzhůru, protože a = 1 1> 0.
a = 1 b = 4 c = 3 x = (- b) / 2a = (- 4) / (2 * 1) = - 2 y = (-2) 2 +4 * (- 2) + 3 = 4- 8 + 3 = -1 vrchol je v bodě (-2; -1)
Najděte kořeny rovnice x 2 + 4x + 3 = 0
Najděte kořeny podle diskriminantu
a = 1 b = 4 c = 3
D = b2-4ac = 16-12 = 4
x = (- b ± √ (D)) / 2a
x 1 = (- 4 + 2) / 2 = -1
x 2 = (- 4-2) / 2 = -3
Vezměte nějaké libovolné body, které jsou blízko vrcholu x = -2
x-4-3-10
y 3 0 0 3
Dosaďte x do rovnice y = x 2 + 4x + 3 hodnoty
y = (- 4) 2 +4 * (- 4) + 3 = 16-16 + 3 = 3
y = (- 3) 2 +4 * (- 3) + 3 = 9-12 + 3 = 0
y = (- 1) 2 +4 * (- 1) + 3 = 1-4 + 3 = 0
y = (0) 2 + 4 * (0) + 3 = 0-0 + 3 = 3
Z hodnot funkce je vidět, že parabola je symetrická vzhledem k přímce x = -2
Příklad č. 2:
y = -x 2 + 4x
c = 0 znamená, že parabola protíná OY v bodě x = 0 y = 0. Větve paraboly se dívají dolů jako a = -1 -1 Najděte kořeny rovnice -x 2 + 4x = 0
Neúplná kvadratická rovnice tvaru ax 2 + bx = 0. Abyste to vyřešili, musíte vyjmout x ze závorek a pak každý faktor přirovnat k 0.
x (-x + 4) = 0, x = 0 a x = 4.
Vezměte nějaké libovolné body, které jsou blízko vrcholu x = 2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Dosaďte x do rovnice y = -x 2 + 4x hodnoty
y = 0 2 + 4 * 0 = 0
y = - (1) 2 + 4 * 1 = -1 + 4 = 3
y = - (3) 2 + 4 * 3 = -9 + 13 = 3
y = - (4) 2 + 4 * 4 = -16 + 16 = 0
Z hodnot funkce je vidět, že parabola je symetrická vzhledem k přímce x = 2
Příklad č. 3
y = x 2-4
c = 4 znamená, že parabola protíná OY v bodě x = 0 y = 4. Větve paraboly vypadají vzhůru, protože a = 1 1> 0.
a = 1 b = 0 c = -4 x = (- b) / 2a = 0 / (2 * (1)) = 0 y = (0) 2 -4 = -4 vrchol je v bodě (0; -4)
Najděte kořeny rovnice x 2 -4 = 0
Neúplná kvadratická rovnice tvaru ax 2 + c = 0. Abyste to vyřešili, musíte posunout neznámé jedním směrem a známé druhým. x = ± √ (c / a)
x 2 = 4
x 1 = 2
x 2 = -2
Vezměte nějaké libovolné body, které jsou blízko vrcholu x = 0
x -2 -1 1 2
y 0-3-3 0
Dosaďte x do rovnice y = x 2 -4 hodnoty
y = (-2)2-4 = 4-4 = 0
y = (-1)2-4 = 1-4 = -3
y = 12-4 = 1-4 = -3
y = 2 2-4 = 4-4 = 0
Z hodnot funkce je vidět, že parabola je symetrická vzhledem k přímce x = 0
předplatit za kanál na YOUTUBE držet krok se všemi novými produkty a připravovat se s námi na zkoušky.
