Funkce grafiky. Arksinus, Arkkosinus - vlastnosti, grafy, vzorce graf arcsin x 2
Úkoly spojené s inverzními trigonometrickými funkcemi jsou často nabízeny ve školních závěrečných zkouškách a na vstupních zkouškách na některých univerzitách. Podrobná studie tohoto tématu lze dosáhnout pouze na volitelných třídách nebo volitelných kurzech. Navrhovaný předmět je navržen co nejúplněji k rozvoji schopnosti každého studenta, zvýšit jeho matematický výcvik.
Kurz je určen po dobu 10 hodin:
1. Funkce Arcsin X, ARCCOS X, ArctG X, ArcctG x (4 hodiny).
2. Operace přes inverzní trigonometrické funkce (4 hodiny).
3. Módní trigonometrické operace na trigonometrických funkcích (2 hodiny).
Lekce 1 (2 hodiny) Předmět: Funkce y \u003d arcsin x, y \u003d arccos x, y \u003d arktg x, y \u003d arcctg x.
Účel: Plné pokrytí tohoto problému.
1. Funkce Y \u003d arcsin x.
a) Pro funkci y \u003d hřích x na segmentu je reverzní (jednoznačná) funkce, která byl arxinus volán a označen následujícím způsobem: y \u003d arcsin x. Graf reverzní funkce je symetrický s grafem hlavní funkce vzhledem k bisector I - III souřadnicové úhly.
Vlastnosti funkce y \u003d arcsin x.
1) Definiční oblast: segment [-1; jeden];
2) oblast změny: segment;
3) Funkce Y \u003d Arcsin X je lichý: arcsin (-X) \u003d - arcsin x;
4) Funkce Y \u003d Arcsin X monotónně rostoucí;
5) Rozvrh protíná osu oh, ou na začátku souřadnic.
Příklad 1. Najděte \u003d arcsin. Tento příklad může být formulován podrobně: najít takový argument ležící ze spodní části, které se rovná sinusu.
Rozhodnutí. Existují nespočet argumentů, z nichž sinus je rovna, například: 
atd. Zajímají nás jen argument, který je na segmentu. Tento argument bude. Tak, .
Příklad 2. Najít. 
.Rozhodnutí. Argumentovat stejným způsobem jako v příkladu 1, dostaneme 
.
b) ústní cvičení. Najít: Arcsin 1, Arcsin (-1), Arcsin, Arcsin (), Arcsin, Arcsin (), Arcsin, Arcsin (), Arcsin 0. Vzorová odpověď: 
protože 
. Znamená smysl pro výraz:; Arcsin 1.5; 
?
c) Umístěte zvýšení vzestupného pořadí: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0,9.
II. Funkce Y \u003d ARCCOS X, Y \u003d arktg x, y \u003d arcctg x (podobně).
Lekce 2 (2 h) Téma: inverzní trigonometrické funkce, jejich grafy.
Cíl: Na této lekci je nutné vypracovat dovednosti při určování hodnot trigonometrické funkce, Při konstrukci grafů inverzních trigonometrických funkcí s použitím D (Y), E (Y) a nezbytných transformací.
Na této lekci provádějí cvičení, včetně založení oblasti definice, hodnoty hodnot typu funkcí: y \u003d arcsin, y \u003d arccos (x-2), y \u003d arktg (tg x), Y \u003d arccos.
Funkční grafy by měly být postaveny: a) y \u003d arcsin 2x; b) y \u003d 2 arcsin 2x; c) y \u003d arcsin;
d) y \u003d arcsin; e) y \u003d arcsin; e) y \u003d arcsin; g) y \u003d | Arcsin | .
Příklad.Stavíme graf y \u003d arccos
V domácím úkolu lze zahrnout následující cvičení: Sestavte grafy funkcí: y \u003d arccos, y \u003d 2 arcctg x, y \u003d arccos | X | .
Reverzní funkce grafy
Lekce číslo 3 (2 h.) Předmět:
Operace přes inverzní trigonometrické funkce.Účel: Rozšíření matematických znalostí (to je důležité pro žadatele ve specialitě se zvýšenými požadavky na matematickou přípravu) zavedením základních vztahů pro inverzní trigonometrické funkce.
Materiál pro lekci.
Některé jednoduché trigonometrické operace přes inverzní trigonometrické funkce: hřích (arcsin x) \u003d x, i xi? jeden; Cos (ascos x) \u003d x, i xi? jeden; Tg (arcteg x) \u003d x, x i r; CTG. (ArcctG x) \u003d X, X I R.
Cvičení.
a) TG (1,5 + arktg 5) \u003d - CTG (ArctG 5) \u003d 
.
cTG (ArctG x) \u003d; Tg (arcctg x) \u003d.
b) cos (+ arcsin 0,6) \u003d - cos (arcsin 0,6). Nechť ArcSin 0,6 \u003d A, hřích A \u003d 0,6;
cos (arcsin x) \u003d; hřích (arccos x) \u003d.
Poznámka: Vezměte znak "+" před kořenem, protože A \u003d Arcsin X splňuje.
c) hřích (1,5 + arcsin). Odpověď:;
d) CTG (+ arktg 3). Odpověď:;
e) tg (- arcctg 4). Odpověď :.
e) cos (0,5 + arccos). Odpovědět:.
Vypočítat:
a) hřích (2 arktg 5).
Nechte ArctG 5 \u003d A, pak hřích 2 A \u003d 
nebo hřích (2 arktg 5) \u003d 
;
b) cos (+ 2 arcsin 0,8). Odpověď: 0,28.
c) arktg + arktg.
Nechť A \u003d arktg, b \u003d arktg,
pak tg (a + b) \u003d 
.
d) hřích (arcsin + arcsin).
e) prokázat, že pro všechny x i [-1; 1] True Arcsin X + ARCCOS X \u003d.
Důkaz:
arcsin X \u003d - ARCCOS X
hřích (arcsin x) \u003d hřích (- arccos x)
x \u003d cos (arccos x)
Pro vlastní řešení:sIN (ARCCOS), cos (arcsin), cos (arcsin ()), hřích (arktg (- 3)), tg (ARCCOS), CTG (ARCCOS).
Pro domácí řešení: 1) hřích (arcsin 0,6 + arktg 0); 2) Arcsin + Arcsin; 3) CTG (- ARCCOS 0,6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) hřích (1,5 - arcsin 0,8); 6) ArctG 0,5 - ArctG 3.
Lekce číslo 4 (2H.) Předmět: Operace přes inverzní trigonometrické funkce.
Účel: Na této lekci je ukázat použití poměrů při převodu složitějších výrazů.
Materiál pro lekci.
ORÁLNĚ:
a) hřích (ARCCOS 0,6), cos (arcsin 0,8);
b) tg (arcstg 5), CTG (arktg 5);
c) hřích (arcteg -3), cos (arcstg ());
d) TG (ARCCOS), CTG (ARCCOS ()).
Psaní:
1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).
2) cos (arkteg 5-arccos 0,8) \u003d cos (arktg 5) cos (arccos 0,8) + hřích (arktg 5) hřích (ARCCOS 0,8) \u003d
3) TG (- arcsin 0,6) \u003d - TG (arcsin 0,6) \u003d 
4) 
Nezávislá práce pomůže identifikovat úroveň zvládnutí materiálu
| 1) tg (arktg 2 - arktg) 2) cos (- arktg2) 3) Arcsin + ARCCOS |
1) cos (arcsin + arcsin) 2) hřích (1,5 - arktg 3) 3) ArcctG3 - ArctG 2 |
Pro domácí úkoly můžete nabídnout:
1) CTG (ARCTG + ARCTG + ARCTG); 2) hřích 2 (arktg 2 - arcctg ()); 3) hřích (2 arktg + tg (arcsin)); 4) hřích (2 arktg); 5) TG ((Arcsin))
Lekce číslo 5 (2H) Předmět: Inverzní trigonometrické operace na trigonometrických funkcích.
Účel: Chcete-li vytvořit prezentaci studentů o inverzních trigonometrických operacích nad trigonometrickými funkcemi, je zaměření zaměřeno na zvýšení smysluplnosti teorie v rámci studia.
Při studiu tohoto tématu se předpokládá, že omezuje objem teoretického materiálu, který má být zapamatován.
Materiál pro lekci:
Studium nového materiálu lze spustit z funkce funkce Y \u003d Arcsin (Sin X) a budovat jeho plán.
3. Každý X I R je vložen podle Y I, tj.<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. Funkce je lichá: hřích (-X) \u003d - hřích x; Arcsin (hřích (-X)) \u003d - arcsin (hřích x).
6. Plán y \u003d arcsin (hřích x) na:
a) 0.<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
sIN Y \u003d SIN (- X) \u003d SINX, 0<= - x <= .
Tak, 
Buing y \u003d arcsin (hřích x) zapnuto, bude pokračovat symetricky vzhledem k začátku souřadnic [-; 0], Vzhledem k přesnosti této funkce. Pomocí frekvence budeme pokračovat do celé numerické osy.
Pak napište některé poměry: arcsin (hřích a) \u003d a pokud<= a <= ; arccos (cos A. ) \u003d A Pokud 0<= a <= ; ArctG (TG A) \u003d A Pokud< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
A provádět následující cvičení: a) arccos (hřích 2). Výsledek: 2 -; b) arcsin (cos 0,6). Výsledek: - 0,1; c) arktg (tg 2). Odpověď: 2 -;
d) arcctg (tg 0,6). Odpověď: 0,9; e) ARCCOS (COS (- 2)). Odpověď: 2 -; e) arcsin (hřích (- 0,6)). Odpověď: - 0,6; g) arktg (tg 2) \u003d arktg (tg (2 -)). Odpověď: 2 -; h) arcctg (tg 0,6). Odpověď: - 0,6; - ArctG x; e) arccos + arccos
Funkce grafiky
Funkce Sinus.
- hodně R.všechna platná čísla.
Mnoho funkcí hodnot - segment [-1; 1], tj. Funkce SINUS - omezený.
Funkce liché: SIN (-X) \u003d - SIN x pro všechny x ∈ R..
Periodická funkce
hřích (x + 2π · k) \u003d hřích x, kde k ∈ Z. Pro všechny x ∈ R..
sIN X \u003d 0 s x \u003d π · k, k ∈ Z..
sIN x\u003e 0 (pozitivní) pro všechny x ∈ (2π · k, π + 2π · k), k ∈ Z..
sin X.< 0 (negativní) pro všechny x ∈ (π + 2π · k, 2π + 2π · k), k ∈ Z..
Cosine Function.
Definice funkce Oblast- hodně R.všechna platná čísla.
Mnoho funkcí hodnot - segment [-1; 1], tj. Cosine Funkce - omezený.
Funkce i: Cos (-x) \u003d cos x pro všechny x ∈ R..
Periodická funkce S nejmenším kladným období 2π:
cos (x + 2π · k.) \u003d Cos x, kde k. ∈ Z. Pro všechny x ∈ R..
| cos x \u003d 0pro |  |
| cos x\u003e 0 pro všechny |  |
| cos x.< 0 pro všechny |  |
| Funkce se zvyšuje od -1 do 1 v intervalech: | |
| Funkce klesá od -1 do 1 v intervalech: | |
| Největší hodnota funkce hříchu x \u003d 1 V bodech: |  |
| Nejmenší hodnota funkce hříchu x \u003d -1 V bodech: |
Tangentní funkce
Mnoho funkcí hodnot - všechny numerické rovné, tj. Tangent - funkce neomezený.
Funkce liché: Tg (-x) \u003d - tg x
Graf funkce je symetrický vzhledem k ose Oy.
Periodická funkce S nejmenším kladným obdobím π, tj. TG (x + π · k.) \u003d TG x, k. ∈ Z. Pro všechny X z oblasti definice.
Funkce Cotanence
Mnoho funkcí hodnot - všechny numerické rovné, tj. Kotangent - funkce neomezený.
Funkce liché: CTG (-X) \u003d - CTG X pro všechny X z oblasti definice.Graf funkce je symetrický vzhledem k ose Oy.
Periodická funkce S nejmenším kladným obdobím π, tj. CTG (x + π · k.) \u003d CTG X, k. ∈ Z. Pro všechny X z oblasti definice.
Funkce ARKSINUS
Definice funkce Oblast- segment [-1; jeden]
Mnoho funkcí hodnot - Cut -π / 2 arcsin x π / 2, tj. Arksinus - funkce omezený.
Funkce liché: Arcsin (-x) \u003d - arcsin x pro všechny x ∈ R..
Graf funkce je symetrický na začátku souřadnic.
Na celé oblasti definice.
Funkce Arkkosinus.
Definice funkce Oblast- segment [-1; jeden]
Mnoho funkcí hodnot - Řez 0 ARCCOS X π, tj. Arkkosinus - funkce omezený.
Funkce se zvyšuje Na celé oblasti definice.
Funkce Arctegernes.
Definice funkce Oblast- hodně R.všechna platná čísla.
Mnoho funkcí hodnot - řez 0 π, tj. Arctanhance - funkce omezený.
Funkce liché: ArctG (-X) \u003d - ArctG x pro všechny x ∈ R..
Graf funkce je symetrický na začátku souřadnic.
Funkce se zvyšuje Na celé oblasti definice.
Funkce Arkkothangence.
Definice funkce Oblast- hodně R.všechna platná čísla.
Mnoho funkcí hodnot - řez 0 π, tj. Arkuotangent - funkce omezený.
Funkce není ani ani lichá.
Graf funkce je asymetrický nebo vztaženo k začátku souřadnic nebo vzhledem k ose Oy.
Funkce je sestupně Na celé oblasti definice.
Definice a notace
Arksinus (y \u003d arcsin X.) - Toto je funkce, reverzní pro sinus (x \u003d sIN Y. -1 ≤ x ≤ 1 a mnoho hodnot - / 2 ≤ y ≤ π / 2.hřích (arcsin x) \u003d x ;
arcsin (hřích x) \u003d x .
Arksinus je někdy označen:
.
Graf funkce Arksinus
Funkce plánu Y \u003d arcsin X.
Rozvrh arksinus se získá z grafu SINUS, pokud změníte osa ASSCISSA a Ordinate Axis. Chcete-li eliminovat multi-vědomí, rozsah hodnot omezí interval, na kterém funkce Monotonna. Taková definice se nazývá hlavní hodnota arksinus.
Arkkosinus, ARCCOS.
Definice a notace
Arkkosinus (y \u003d aRCCOS X.) je funkce inverzní na cosin (x \u003d cos y.). Má oblast definice -1 ≤ x ≤ 1 a mnoho hodnot 0 ≤ y ≤ π.cos (arccos x) \u003d x ;
aRCCOS (COS X) \u003d X .
Arkkosinus někdy naznačuje:
.
Graf funkce arkkosinus
Funkce plánu Y \u003d aRCCOS X.
Graf arkkosinus je získán z kosinového grafu, pokud změníte osa osy ASSCISSA a Ordinate. Chcete-li eliminovat multi-vědomí, rozsah hodnot omezí interval, na kterém funkce Monotonna. Taková definice se nazývá hlavní hodnota arkkosinus.
Parita
Funkce ARKSINUS je lichá:
arcsin (- x) \u003d arcsin (-sin arcsin x) \u003d arcsin (hřích (-arcsin x)) \u003d - Arcsin X.
Funkce arccowinus není ani lichá:
aRCCOS (- X) \u003d aRCCOS (-COS ARCCOS X) \u003d aRCCOS (COS (π-ARCCOS X)) \u003d π - arccos x ≠ ± arccos x
Vlastnosti - extrémy, vzestupně, odzbrojení
Funkce arksinus a arkskosinus jsou průběžné na jejich oblasti definice (viz důkaz kontinuity). Hlavní vlastnosti arksinus a arkkosinus jsou uvedeny v tabulce.
| y \u003d. arcsin X. | y \u003d. aRCCOS X. | |
| Definice a oblast kontinuity | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| O hodnotách hodnot | ||
| Stoupající klesající | Monotónně nárůst | Monotónní pokles |
| Maximum | ||
| Minima | ||
| ZEROS, Y \u003d 0 | x \u003d. 0 | x \u003d. 1 |
| Bod průsečíku s osou ordinate, x \u003d 0 | y \u003d. 0 | y \u003d π / 2 |
Tabulka arksinuses a Arkkosinusov
Tato tabulka ukazuje hodnoty arksinusů a arcsinusů, ve stupních a radiánech, s některými hodnotami argumentu.
| X. | arcsin X. | aRCCOS X. | ||
| Grad. | rád. | Grad. | rád. | |
| - 1 | - 90 °. | - | 180 °. | π |
| - | - 60 °. | - | 150 °. | |
| - | - 45 ° | - | 135 °. | |
| - | - 30 °. | - | 120 °. | |
| 0 | 0° | 0 | 90 °. | |
| 30 ° | 60 °. | |||
| 45 °. | 45 °. | |||
| 60 °. | 30 ° | |||
| 1 | 90 °. | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Vzorce
Viz také: Výstup vzorců inverzních trigonometrických funkcíVzorce součtu a rozdílu
v OR.
v I.
v I.
v OR.
v I.
v I.
pro
pro
pro
pro
Výrazy přes logaritmus, komplexní čísla
Viz také: Závěr vzorcůVýrazy prostřednictvím hyperbolických funkcí
Deriváty
;
.
Podívejte se na deriváty arksinus a arkkosinus derivátů \u003e\u003e\u003e
Deriváty vyšších objednávek:
,
kde je polynomiální stupeň. Je určena vzorce:
;
;
.
Podívejte se na deriváty nejvyšších objednávek Arksinus a Arkkosinus \u003e\u003e\u003e
Integrály
Proveďte substituci x \u003d hřích t.. Integrujeme do částí, vzhledem k tomu, že -π / 2 ≤ t ≤ π / 2,
cos t ≥ 0:
.
Vyjádřit arkkosinus přes arksinus:
.
Rozklad v čísle
S | x |< 1
Následující rozklad probíhá:
;
.
Reverzní funkce
Návrat do Arksinus a Arkkosinus jsou sinusové a kosinové, resp.
Následující vzorce platí v celé oblasti definice:
hřích (arcsin x) \u003d x
cos (arccos x) \u003d x .
Následující vzorce jsou platné pouze na sadě hodnot arcsinus a arcsinus:
arcsin (hřích x) \u003d x pro
aRCCOS (COS X) \u003d X na.
Reference:
V. Bronstein, K.A. Semendyaev, referenční kniha o matematice pro inženýry a studenty účastníků, "LAN", 2009.
