হাইপোপেনিউজ দ্বারা বাদ দেওয়া ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজের উচ্চতা সমান। সঠিক ত্রিভুজ

সঠিক ত্রিভুজ একটি ত্রিভুজ, একটি কোণ সোজা, অর্থাৎ এটি 90 ডিগ্রির সমান।

• ডান কোণের বিপরীত দিকটিকে অনুভূত বলা হয় (চিত্রটিতে এটি হিসাবে নির্দেশিত হয়েছে) গবা এবি)
• ডান কোণে সংলগ্ন পাশটিকে পা বলা হয়। প্রতিটি ডান কোণযুক্ত ত্রিভুজটির দুটি পা থাকে (চিত্রটিতে যেমন নির্দেশিত হয়) কএবং খ বা এসি এবং বিসি)

ডান ত্রিভুজ সূত্র এবং বৈশিষ্ট্য

সূত্রের পদবি:

(উপরের ছবিটি দেখুন)

ক, খ- একটি ডান ত্রিভুজ এর পা

গ- অনুমান

α, β - ত্রিভুজের তীব্র কোণ

এস- এলাকা

এইচ- উচ্চতা উপরে থেকে নেমে গেছে সমকোণঅনুমানের উপর

মি ক কবিপরীত কোণ থেকে ( α )

মি খপার্শ্ব আঁকা মাঝারি হয় খবিপরীত কোণ থেকে ( β )

মি গপার্শ্ব আঁকা মাঝারি হয় গবিপরীত কোণ থেকে ( γ )

ভিতরে সঠিক ত্রিভুজ কোনও পা এর অনুমানের চেয়ে কম হয় use(সূত্র 1 এবং 2)। এই সম্পত্তি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের একটি পরিণতি।

তীব্র কোণগুলির কোসাইনএকেরও কম (সূত্র 3 এবং 4)। এই সম্পত্তিটি আগেরটি থেকে অনুসরণ করে। যেহেতু পাগুলির কোনওটি হাইপোপেনিউজের চেয়ে কম, তাই লেগের অনুপাতটি সর্বদা একের চেয়ে কম থাকে।

অনুমানের বর্গক্ষেত্রটি পায়ে স্কোয়ারের সমষ্টি (পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য) এর সমান। (সূত্র 5)। সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় এই সম্পত্তিটি নিয়মিত ব্যবহৃত হয়।

ডান ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলপায়ে অর্ধেক পণ্য সমান (সূত্র 6)

মিডিয়ানদের বর্গাকার যোগফলপায়ে সমকোণের মধ্যস্থতার পাঁচটি স্কোয়ার এবং অনুমানের পাঁচটি স্কোয়ারের সমান, চারটি দ্বারা বিভক্ত (সূত্র 7)। উপরেরটি ছাড়াও রয়েছে আরও 5 টি সূত্রসুতরাং, এটি সুপারিশ করা হয় যে আপনি "একটি ডান ত্রিভুজটির মধ্যক" পাঠের সাথে নিজেকেও পরিচিত করুন, যা মধ্যের বৈশিষ্ট্যগুলিকে আরও বিশদে বর্ণনা করে।

উচ্চতাএকটি সমকোণী ত্রিভুজটি অনুমিতি দ্বারা বিভক্ত পায়ের পণ্যের সমান (সূত্র 8)

পায়ে স্কোয়ারগুলি হাইপোথিউনেসকে কমিয়ে দেওয়া উচ্চতার বর্গের বিপরীতে সমানুপাতিক (সূত্র 9)। এই পরিচয়টি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের অন্যতম পরিণতি।

হাইপোটেনজ দৈর্ঘ্যসংক্ষিপ্ত বৃত্ত (ফর্মুলা 10) এর ব্যাস (দুটি রেডিয়াই) এর সমান। ডান ত্রিভুজটির হাইপোটেনিউজ সংক্ষিপ্ত বৃত্তের ব্যাস... সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় এই সম্পত্তিটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়।

ব্যাসার্ধ ব্যতীতভিতরে সঠিক ত্রিভুজ চেনাশোনাএই ত্রিভুজের বিয়োগফলের দৈর্ঘ্য বিয়োগের পাগুলির যোগফলের অর্ধেক হিসাবে পাওয়া যায়। বা প্রদত্ত ত্রিভুজটির সমস্ত পক্ষের (ঘের) যোগফলের দ্বারা বিভক্ত পায়ের পণ্য হিসাবে। (সূত্র 11)
সাইন এঙ্গেল বিপরীত সম্পর্কএই কোণে হাইপোপেনস থেকে পা(সাইন সংজ্ঞা দ্বারা)। (সূত্র 12)। সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় এই সম্পত্তিটি ব্যবহৃত হয়। পক্ষের আকার জানার পরে আপনি যে কোণটি তৈরি করেছেন তা খুঁজে পেতে পারেন।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের কোণ A (α, আলফা) এর কোসাইন সমান হবে মনোভাব সংলগ্নএই কোণে হাইপোপেনস থেকে পা(সাইন সংজ্ঞা দ্বারা)। (সূত্র 13)

আসলে, এটি মোটেও ভীতিজনক নয়। অবশ্যই, সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোটজেন্টের "আসল" সংজ্ঞাগুলি নিবন্ধে পাওয়া উচিত। কিন্তু আপনি সত্যিই চান না, তাই না? আমরা আনন্দ করতে পারি: একটি সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে সমস্যাগুলি সমাধান করতে আপনি কেবল নিম্নলিখিত সাধারণ জিনিসগুলি পূরণ করতে পারেন:

এবং কোণার কি? কোন লেগ আছে যা কোণার বিপরীত, অর্থাৎ বিপরীত পা (কোণার জন্য)? অবশ্যই আছে! এই একটা পা!

তবে এঙ্গেল কী হবে? ভালোভাবে দেখো. কোন পাটি কোণে সংলগ্ন? অবশ্যই, পা। সুতরাং, কোণের জন্য, পাটি সংলগ্ন, এবং

এখন, মনোযোগ দিন! আমরা কী পেয়েছি দেখুন:

আপনি দেখতে কত দুর্দান্ত:

এখন আসুন ট্যানজেন্ট এবং কোটানজেন্টের দিকে এগিয়ে যাওয়া।

আমি এখন এটি কথায় কীভাবে লিখতে পারি? কোনার সাথে সম্পর্ক কী? বিপরীতে, অবশ্যই - এটি কোণার বিপরীতে "মিথ্যা"। আর পা? কোণে সংলগ্ন। তাহলে আমরা কী করলাম?

অঙ্ক এবং ডিনোমিনেটরটি বিপরীত হয় দেখুন?

এবং এখন আবার কোণ এবং বিনিময় করেছেন:

সারসংক্ষেপ

আসুন আমরা শিখেছি সমস্ত কিছু সংক্ষেপে লিখুন।

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য:

একটি সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে প্রধান উপপাদ্য হল পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য।

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য

যাইহোক, আপনি কী ভালভাবে মনে করতে পারেন পা এবং হাইপোথেনজ কী? যদি তা না হয় তবে ছবিটি দেখুন - আপনার জ্ঞানকে রিফ্রেশ করুন

এটা সম্ভব যে আপনি ইতিমধ্যে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি বহুবার ব্যবহার করেছেন, তবে আপনি কি কখনও ভেবে দেখেছেন যে এই ধরণের উপপাদ্যটি সত্য কেন? আমি কীভাবে এটি প্রমাণ করতে পারি? প্রাচীন গ্রীকদের মতো করা যাক। একটি পাশ দিয়ে একটি বর্গ আঁকুন।

আপনি দেখতে পান যে আমরা কত চতুরতার সাথে এর দিকগুলি দৈর্ঘ্যে বিভক্ত করেছি এবং!

এখন চিহ্নিত পয়েন্টগুলি সংযুক্ত করা যাক

এখানে আমরা তবে অন্য কিছু লক্ষ করেছি, তবে আপনি নিজেই অঙ্কনের দিকে তাকান এবং এটি কেন এমন তা নিয়ে ভাবেন।

বৃহত্তর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ঠিক,।

একটি ছোট এলাকা?

অবশ্যই,।

চার কোণার মোট ক্ষেত্রটি রয়ে গেছে। কল্পনা করুন যে আমরা একবারে দুজনকে নিয়েছিলাম এবং হাইপোপেনোসিস দিয়ে একে অপরের বিরুদ্ধে ঝুঁকেছি।

কি হলো? দুটি আয়তক্ষেত্র এর অর্থ হল "স্ক্র্যাপস" এর ক্ষেত্রফলের সমান।

এখন সব একসাথে রাখা যাক।

আসুন রূপান্তর করা যাক:

সুতরাং আমরা পাইথাগোরাস পরিদর্শন করেছি - আমরা তাঁর উপপাদ্যকে প্রাচীন উপায়ে প্রমাণ করেছি।

ডান ত্রিভুজ এবং ত্রিকোণমিতি

একটি সমকোণী ত্রিভুজটির জন্য, নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি ধরে রাখে:

তীব্র কোণের সাইন হ'ল হাইপোপেনিউজের সাথে বিপরীত লেগের অনুপাতের সমান

তীব্র কোণের কোসাইন সংলগ্ন লেগের অনুপাতের সমান।

তীব্র কোণের স্পর্শক সংলগ্ন লেগের সাথে বিপরীত পাটির অনুপাতের সমান।

তীব্র কোণের কোটেনজেন্টটি বিপরীত লেগের সংলগ্ন পাটির অনুপাতের সমান।

এবং আবারও, এটি সমস্ত একটি প্লেটের আকারে:

এটা খুব সুবিধাজনক!

সমকোণী ত্রিভুজগুলির জন্য সমতা পরীক্ষা

আই। দুই পায়ে

II। পা এবং অনুমানের উপর

III। হাইপোপেনস এবং তীব্র কোণ দ্বারা

চতুর্থ। একটি পা এবং একটি ধারালো কোণে

ক)

খ)

মনোযোগ! এখানে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ যে পাগুলি "উপযুক্ত"। উদাহরণস্বরূপ, যদি এটি এর মতো হয়:

তিনটি ট্র্যাঙ্গেল সমান নয়, তাদের একই তীব্র কোণগুলির একটি থাকা সত্ত্বেও।

প্রয়োজন উভয় ত্রিভুজ মধ্যে, পা সংলগ্ন ছিল, বা উভয় ত্রিভুজ মধ্যে, বিপরীত.

আপনি কি খেয়াল করেছেন যে সঠিক ত্রিভুজগুলির সাম্যের লক্ষণগুলি ত্রিভুজগুলির সাম্যের লক্ষণগুলির থেকে পৃথক কীভাবে?

বিষয়টিকে দেখুন এবং "সাধারণ" ত্রিভুজগুলির সমতার জন্য তাদের তিনটি উপাদানের সমতা প্রয়োজনীয়: দুটি দিক এবং তাদের মধ্যে একটি কোণ, দুটি কোণ এবং তাদের মধ্যে একটি দিক বা তিনটি পক্ষের দিকে মনোনিবেশ করুন ।

তবে ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজগুলির সমতার জন্য, কেবল দুটি অনুরূপ উপাদানই যথেষ্ট। দুর্দান্ত, তাই না?

ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজগুলির মিলের লক্ষণগুলির সাথে পরিস্থিতি প্রায় একই রকম।

সমকোণী ত্রিভুজগুলির সমানতার লক্ষণ

I. একটি ধারালো কোণে

II। দুই পায়ে

III। পা এবং অনুমানের উপর

একটি ডান ত্রিভুজ মধ্যে মাঝারি

কেন এমন হয়?

একটি সমকোণী ত্রিভুজের পরিবর্তে একটি পুরো আয়তক্ষেত্রটি বিবেচনা করুন।

আসুন একটি তির্যক আঁকুন এবং একটি বিন্দু বিবেচনা করুন - ত্রিভুজগুলির ছেদ বিন্দু। একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণগুলি সম্পর্কে কী জানা যায়?

এবং এর থেকে কি অনুসরণ করা হয়?

সুতরাং এটি যে পরিণত

1. - মধ্যমা:

এই ঘটনাটি মনে রাখবেন! অনেক সাহায্য করে!

এর চেয়েও আশ্চর্যের বিষয় হল কনভার্সটিও সত্য।

হাইপেনটেনিউজের প্রতি আকৃষ্ট মিডিয়ান হাইপেনটেনজের অর্ধেকের সমান যে বিষয়টি থেকে আপনি কী ভাল পেতে পারেন? আসুন ছবিটি দেখুন

ভালোভাবে দেখো. আমাদের রয়েছে:, অর্থাৎ ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষে বিন্দু থেকে দূরত্ব সমান হয়ে গেছে। তবে একটি ত্রিভুজের মধ্যে একটি মাত্র বিন্দু রয়েছে, যে দূরত্বগুলি থেকে ত্রিভুজের প্রায় তিনটি উল্লম্ব সমান এবং এটি হ'ল ডিজাইনের চক্রের কেন্দ্রবিন্দু। তাহলে কি হয়েছে?

আসুন এটি "এছাড়াও ..." দিয়ে শুরু করা যাক

আসুন এবং দেখুন।

কিন্তু এই জাতীয় ত্রিভুজগুলিতে সমস্ত কোণ সমান!

একই সম্পর্কে এবং সম্পর্কেও বলা যেতে পারে

এখন এটি একসাথে আঁকুন:

এই "ট্রিপল" মিল থেকে কী উপকার পাওয়া যাবে।

ঠিক আছে, উদাহরণস্বরূপ - ডান ত্রিভুজটির উচ্চতার জন্য দুটি সূত্র।

আসুন স্বতন্ত্র পক্ষের সম্পর্কটি লিখি:

উচ্চতা সন্ধান করতে, আমরা অনুপাতটি সমাধান করি এবং পাই প্রথম সূত্র "একটি ডান ত্রিভুজের উচ্চতা":

ঠিক আছে, এখন, এই জ্ঞানটিকে অন্যের সাথে প্রয়োগ ও সংযুক্ত করে, আপনি যে কোনও সমস্যা ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজ দিয়ে সমাধান করবেন!

সুতরাং, আসুন মিলটি প্রয়োগ করুন:।

এখন কি ঘটছে?

আবার আমরা অনুপাতটি সমাধান করি এবং দ্বিতীয় সূত্রটি পেয়েছি:

এই দুটি সূত্র অবশ্যই খুব ভালভাবে মনে রাখতে হবে এবং যেটি প্রয়োগ করতে আরও সুবিধাজনক।

এগুলি আবার লিখি

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য:

একটি সমকোণী ত্রিভুজগুলিতে, অনুমানের বর্গক্ষেত্রটি পায়ে স্কোয়ারের সমষ্টি :.

সমকোণী ত্রিভুজ সমান চিহ্ন:

• দুটি পায়ে:
• লেগ এবং অনুমান: বা
• লেগ এবং সংলগ্ন তীব্র কোণ বরাবর: বা
• লেগ এবং বিপরীত তীব্র কোণ সহ: বা
• হাইপোথেনজ এবং তীব্র কোণ দ্বারা: বা।

সমকোণী ত্রিভুজগুলির মিলের লক্ষণ:

• এক তীক্ষ্ণ কোণ: বা
• দুটি পায়ের আনুপাতিকতা থেকে:
• পা এবং অনুমানের আনুপাতিকতা থেকে: বা।

ডান ত্রিভুজটিতে সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট, কোটজেন্ট

• ডান ত্রিভুজের তীব্র কোণের সাইনটি হ'ল অনুমানের সাথে বিপরীত পাটির অনুপাত:
• ডান ত্রিভুজের তীব্র কোণের কোসাইন হ'ল অনুমানের সাথে সংলগ্ন পায়ের অনুপাত:
• ডান ত্রিভুজের তীব্র কোণের স্পর্শক সংলগ্ন একের সাথে বিপরীত পাটির অনুপাত:
• একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণের কোট্যানজেন্টটি বিপরীতটির সাথে সংলগ্ন পাটির অনুপাত:।

ডান ত্রিভুজটির উচ্চতা: বা।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যে, সমকোণীটি থেকে সমকোণ থেকে অঙ্কিত মধ্যমাটি অর্ধ অনুমান:।

ডান ত্রিভুজের ক্ষেত্র:

• পা দিয়ে:

(এবিসি)এবং এর বৈশিষ্ট্য, যা চিত্রে প্রদর্শিত হয়েছে। একটি সমকোণী ত্রিভুজটির একটি অনুমিতি রয়েছে - যে দিকটি ডান কোণের বিপরীতে রয়েছে।

টিপ 1: একটি ডান ত্রিভুজটিতে কীভাবে উচ্চতা সন্ধান করতে হবে

যে দিকগুলি একটি সমকোণ গঠন করে তাদের পা বলা হয়। চিত্রটি পাশের এডি, ডিসি এবং বিডি, ডিসি- পা এবং পাশ এএসএবং এসভি- অনুমান।

উপপাদ্য ১. 30 ° কোণ সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজে, এই কোণের বিপরীত পাটি অনুমানের অর্ধেক অংশ ভেঙে দেয়।

এইচসি

এবি- অনুমান;

বিজ্ঞাপনএবং ডিবি

ত্রিভুজ
একটি উপপাদ্য রয়েছে:
মন্তব্য সিস্টেম CACKLই

সমাধান: 1) যে কোনও আয়তক্ষেত্রের তির্যক সমান True সত্য 2) ত্রিভুজের মধ্যে যদি একটি তীব্র কোণ থাকে তবে এই ত্রিভুজটি তীব্র। সত্য না. ত্রিভুজ প্রকারের। একটি ত্রিভুজকে তীব্র-কোণযুক্ত বলা হয় যদি এর তিনটি কোণই তীব্র হয়, অর্থাৎ, 90 ° 3 এরও কম) যদি বিন্দুটি থাকে।

অথবা, অন্য প্রবেশে,

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য দ্বারা

একটি ডান ত্রিভুজ সূত্রে উচ্চতা কত

ডান ত্রিভুজটির উচ্চতা

হাইপোপেনিউসে আঁকানো ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজের উচ্চতা, সমস্যার বিবৃতিতে থাকা ডেটার উপর নির্ভর করে এক বা অন্য কোনও উপায়ে পাওয়া যাবে।

অথবা, অন্য প্রবেশে,

যেখানে বি কে এবং কেসি হ'ল অনুমানের জন্য পাগুলির অনুমান (যে অংশগুলিতে উচ্চতা অনুভূতিকে বিভক্ত করে) to

হাইপোপেনিউসে আঁকানো উচ্চতা একটি ডান ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের মধ্য দিয়ে পাওয়া যাবে। যদি আমরা একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্র খুঁজে পেতে সূত্রটি প্রয়োগ করি

(পার্শ্বের উত্পন্ন অর্ধেক অংশটি এর পাশ দিয়ে আঁকা উচ্চতা দ্বারা) অনুমিতি এবং উচ্চতা অনুমানের দিকে টানা, আমরা পাই:

এখান থেকে আমরা অনুভূমিকের দৈর্ঘ্যের ত্রিভুজের দ্বিগুণ ক্ষেত্রের অনুপাত হিসাবে উচ্চতাটি খুঁজে পেতে পারি:

যেহেতু একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল পায়ের অর্ধেক পণ্য:

এটি হ'ল হাইপোপেনিউসে আঁকানো উচ্চতার দৈর্ঘ্য অনুমানের সাথে পায়ের পণ্যের অনুপাতের সমান। যদি আমরা a এবং b এর মাধ্যমে পায়ের দৈর্ঘ্য, গ এর মাধ্যমে অনুমানের দৈর্ঘ্যকে চিহ্নিত করি তবে সূত্রটি আবার লিখতে পারে

যেহেতু একটি সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধটি অনুভূতির অর্ধেকের সমান, তাই উচ্চতা দৈর্ঘ্য পা এবং বৃত্তাকার বৃত্তের ব্যাসার্ধের সাথে প্রকাশ করা যেতে পারে:

যেহেতু হাইপোপেনুসে আঁকানো উচ্চতা আরও দুটি ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজ গঠন করে, তার দৈর্ঘ্যটি সমকোণী ত্রিভুজের অনুপাতের মাধ্যমে পাওয়া যায়।

ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজ ABK থেকে

ডান ত্রিভুজ এসি থেকে

একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতার দৈর্ঘ্য পায়ে দৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রে প্রকাশ করা যেতে পারে। যেমন

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য দ্বারা

যদি আপনি উভয় দিকের সাম্যকে বর্গক্ষেত্র করেন:

পা দিয়ে ডান কোণযুক্ত ত্রিভুজটির উচ্চতা সংযোগের জন্য আপনি অন্য একটি সূত্র পেতে পারেন:

একটি ডান ত্রিভুজ সূত্রে উচ্চতা কত

সঠিক ত্রিভুজ. গড় স্তর.

আপনি কী নিজের শক্তি পরীক্ষা করতে চান এবং ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা বা ওজিইয়ের জন্য আপনি কতটা প্রস্তুত তার ফলাফল জানতে চান?

একটি সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে প্রধান উপপাদ্য হল পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য।

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য

যাইহোক, আপনি কী ভালভাবে মনে করতে পারেন পা এবং হাইপোথেনজ কী? যদি তা না হয় তবে ছবিটি দেখুন - আপনার জ্ঞানকে রিফ্রেশ করুন

এটা সম্ভব যে আপনি ইতিমধ্যে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি বহুবার ব্যবহার করেছেন, তবে আপনি কি কখনও ভেবে দেখেছেন যে এই ধরণের উপপাদ্যটি সত্য কেন? আমি কীভাবে এটি প্রমাণ করতে পারি? প্রাচীন গ্রীকদের মতো করা যাক। একটি পাশ দিয়ে একটি বর্গ আঁকুন।

আপনি দেখতে পান যে আমরা কত চতুরতার সাথে এর দিকগুলি দৈর্ঘ্যে বিভক্ত করেছি এবং!

এখন চিহ্নিত পয়েন্টগুলি সংযুক্ত করা যাক

এখানে আমরা তবে অন্য কিছু লক্ষ করেছি, তবে আপনি নিজেই অঙ্কনের দিকে তাকান এবং এটি কেন এমন তা নিয়ে ভাবেন।

বৃহত্তর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত? ঠিক,। একটি ছোট এলাকা? অবশ্যই,। চার কোণার মোট ক্ষেত্রটি রয়ে গেছে। কল্পনা করুন যে আমরা একবারে দুজনকে নিয়ে গিয়ে একে অপরের বিরুদ্ধে হাইপোপেনস দিয়ে ঝুঁকেছি। কি হলো? দুটি আয়তক্ষেত্র এর অর্থ হল "স্ক্র্যাপস" এর ক্ষেত্রফলের সমান।

এখন সব একসাথে রাখা যাক।

সুতরাং আমরা পাইথাগোরাস পরিদর্শন করেছি - আমরা তাঁর উপপাদ্যকে প্রাচীন উপায়ে প্রমাণ করেছি।

ডান ত্রিভুজ এবং ত্রিকোণমিতি

একটি সমকোণী ত্রিভুজটির জন্য, নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি ধরে রাখে:

তীব্র কোণের সাইন হ'ল হাইপোপেনিউজের সাথে বিপরীত লেগের অনুপাতের সমান

তীব্র কোণের কোসাইন সংলগ্ন লেগের অনুপাতের সমান।

তীব্র কোণের স্পর্শক সংলগ্ন লেগের সাথে বিপরীত পাটির অনুপাতের সমান।

তীব্র কোণের কোটেনজেন্টটি বিপরীত লেগের সংলগ্ন পাটির অনুপাতের সমান।

এবং আবারও, এটি সমস্ত একটি প্লেটের আকারে:

আপনি একটি খুব সুবিধাজনক জিনিস লক্ষ্য করেছেন? সাইন সাবধানে দেখুন।

এটা খুব সুবিধাজনক!

সমকোণী ত্রিভুজগুলির জন্য সমতা পরীক্ষা

II। পা এবং অনুমানের উপর

III। হাইপোপেনস এবং তীব্র কোণ দ্বারা

চতুর্থ। একটি পা এবং একটি ধারালো কোণে

মনোযোগ! এখানে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ যে পাগুলি "উপযুক্ত"। উদাহরণস্বরূপ, যদি এটি এর মতো হয়:

তিনটি ট্র্যাঙ্গেল সমান নয়, তাদের একই তীব্র কোণগুলির একটি থাকা সত্ত্বেও।

প্রয়োজন উভয় ত্রিভুজ মধ্যে, পা সংলগ্ন ছিল, বা উভয় ত্রিভুজ মধ্যে, বিপরীত.

আপনি কি খেয়াল করেছেন যে সঠিক ত্রিভুজগুলির সাম্যের লক্ষণগুলি ত্রিভুজগুলির সাম্যের লক্ষণগুলির থেকে পৃথক কীভাবে? "ত্রিভুজ" বিষয়টি একবার দেখুন এবং এদিকে মনোযোগ দিন যে "সাধারণ" ত্রিভুজগুলির সমতার জন্য আপনার তিনটি উপাদানের সমতা প্রয়োজন: দুটি পক্ষ এবং তাদের মধ্যে একটি কোণ, দুটি কোণ এবং তাদের মধ্যে একটি পার্শ্ব বা তিন পক্ষই. তবে ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজগুলির সমতার জন্য, কেবলমাত্র দুটি অনুরূপ উপাদানই যথেষ্ট। দুর্দান্ত, তাই না?

ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজগুলির মিলের লক্ষণগুলির সাথে পরিস্থিতি প্রায় একই রকম।

সমকোণী ত্রিভুজগুলির সমানতার লক্ষণ

III। পা এবং অনুমানের উপর

একটি ডান ত্রিভুজ মধ্যে মাঝারি

একটি সমকোণী ত্রিভুজের পরিবর্তে একটি পুরো আয়তক্ষেত্রটি বিবেচনা করুন।

আসুন একটি তির্যক আঁকুন এবং ত্রিভুজগুলির ছেদচিহ্নটি বিবেচনা করুন। একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণগুলি সম্পর্কে কী জানা যায়?

কর্ণটির ছেদ বিন্দুটি অর্ধেক করা হয়েছে The

এবং এর থেকে কি অনুসরণ করা হয়?

সুতরাং এটি যে পরিণত

এই ঘটনাটি মনে রাখবেন! অনেক সাহায্য করে!

এর চেয়েও আশ্চর্যের বিষয় হল কনভার্সটিও সত্য।

হাইপেনটেনিউজের প্রতি আকৃষ্ট মিডিয়ান হাইপেনটেনজের অর্ধেকের সমান যে বিষয়টি থেকে আপনি কী ভাল পেতে পারেন? আসুন ছবিটি দেখুন

ভালোভাবে দেখো. আমাদের রয়েছে:, অর্থাৎ ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষে বিন্দু থেকে দূরত্ব সমান হয়ে গেছে। তবে একটি ত্রিভুজের মধ্যে একটি মাত্র বিন্দু রয়েছে, যে দূরত্বগুলি থেকে ত্রিভুজের প্রায় তিনটি উল্লম্ব সমান এবং এটি হ'ল ডিজাইনের চক্রের কেন্দ্রবিন্দু। তাহলে কি হয়েছে?

এর পাশাপাশি এটি শুরু করা যাক। "।

কিন্তু এই জাতীয় ত্রিভুজগুলিতে সমস্ত কোণ সমান!

একই সম্পর্কে এবং সম্পর্কেও বলা যেতে পারে

এখন এটি একসাথে আঁকুন:

একই ধারালো কোণ আছে!

এই "ট্রিপল" মিল থেকে কী উপকার পাওয়া যাবে।

ঠিক আছে, উদাহরণস্বরূপ - ডান ত্রিভুজটির উচ্চতার জন্য দুটি সূত্র।

আসুন স্বতন্ত্র পক্ষের সম্পর্কটি লিখি:

উচ্চতা সন্ধান করতে, আমরা অনুপাতটি সমাধান করি এবং পাই প্রথম "একটি ডান ত্রিভুজের উচ্চতা" সূত্র:

আপনি কিভাবে একটি দ্বিতীয় পেতে?

এবার আসুন ত্রিভুজগুলির মিল এবং প্রয়োগ করি।

সুতরাং, আসুন মিলটি প্রয়োগ করুন:।

এখন কি ঘটছে?

আবার আমরা অনুপাতটি সমাধান করি এবং দ্বিতীয় সূত্রটি পাই "একটি ডান ত্রিভুজের উচ্চতা":

এই দুটি সূত্র অবশ্যই খুব ভালভাবে মনে রাখতে হবে এবং যেটি প্রয়োগ করতে আরও সুবিধাজনক। এগুলি আবার লিখি

ঠিক আছে, এখন, এই জ্ঞানটিকে অন্যের সাথে প্রয়োগ এবং সংযুক্ত করে, আপনি কোনও ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজ দ্বারা যে কোনও সমস্যা সমাধান করবেন!

মন্তব্যসমূহ (1)

উত্স পৃষ্ঠায় একটি ডফলো লিংক থাকলে অনুমোদন ছাড়াই উপকরণ বিতরণ অনুমোদিত।

গোপনীয়তা নীতি

আপনার গোপনীয়তা আমাদের কাছে গুরুত্বপূর্ণ। এই কারণে, আমরা একটি গোপনীয়তা নীতি তৈরি করেছি যা বর্ণনা করে যে আমরা কীভাবে আপনার তথ্য ব্যবহার করি এবং সংরক্ষণ করি। দয়া করে আমাদের গোপনীয়তা নীতিটি পড়ুন এবং আপনার কোনও প্রশ্ন থাকলে আমাদের জানান know

সংগ্রহ এবং ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার

ব্যক্তিগত তথ্য ডেটা বোঝায় যা নির্দিষ্ট ব্যক্তিকে সনাক্ত করতে বা তার সাথে যোগাযোগ করতে ব্যবহৃত হতে পারে।

আপনি আমাদের সাথে যোগাযোগ করার সময় আপনাকে যে কোনও সময় আপনার ব্যক্তিগত তথ্য সরবরাহ করতে বলা হতে পারে।

নীচে আমরা সংগ্রহ করতে পারি এমন ব্যক্তিগত তথ্য এবং আমরা কীভাবে এই জাতীয় তথ্য ব্যবহার করতে পারি তার কয়েকটি উদাহরণ রয়েছে।

আমরা কোন ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি:

আপনি সাইটে কোনও অনুরোধ জমা দেওয়ার সময় আমরা আপনার নাম, ফোন নম্বর, ইমেল ঠিকানা ইত্যাদি সহ বিভিন্ন তথ্য সংগ্রহ করতে পারি

আমরা কীভাবে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করি:

আমাদের দ্বারা সংগৃহীত ব্যক্তিগত তথ্যআমাদের সাথে যোগাযোগ করতে এবং আপনাকে অনন্য অফার, প্রচার এবং অন্যান্য ইভেন্ট এবং আসন্ন ইভেন্টগুলির সম্পর্কে আপনাকে জানাতে অনুমতি দেয়। সময়ে সময়ে, আমরা আপনার ব্যক্তিগত তথ্য গুরুত্বপূর্ণ বিজ্ঞপ্তি এবং বার্তা প্রেরণে ব্যবহার করতে পারি। আমরা অভ্যন্তরীণ উদ্দেশ্যে যেমন ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি যেমন অডিট পরিচালনা করা, ডেটা বিশ্লেষণ এবং বিভিন্ন গবেষণা যাতে আমাদের সরবরাহ করা পরিষেবাগুলি উন্নত করতে এবং আমাদের পরিষেবাদি সম্পর্কিত আপনাকে সুপারিশ সরবরাহ করে।

হাইপোপেনিউজটি বাদ দিয়ে ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজটির উচ্চতার সম্পত্তি

আপনি যদি কোনও পুরষ্কার অঙ্কন, প্রতিযোগিতা বা অনুরূপ প্রচারমূলক ইভেন্টে অংশ নেন তবে আমরা এই জাতীয় প্রোগ্রামগুলি পরিচালনা করতে আপনার সরবরাহিত তথ্য ব্যবহার করতে পারি।

তৃতীয় পক্ষের কাছে তথ্য প্রকাশ

আমরা আপনার কাছ থেকে প্রাপ্ত তথ্য তৃতীয় পক্ষগুলিতে প্রকাশ করি না।

যদি এটি প্রয়োজনীয় হয় - আইন অনুসারে, আদালতের আদেশে, আদালতের কার্যক্রমে, এবং / অথবা রাশিয়ান ফেডারেশনের ভূখণ্ডে সরকারী কর্তৃপক্ষের কাছ থেকে পাবলিক অনুসন্ধান বা অনুরোধের ভিত্তিতে - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রকাশ করার জন্য। সুরক্ষা, আইন প্রয়োগকারী, বা অন্যান্য সামাজিকভাবে গুরুত্বপূর্ণ কারণে এই জাতীয় প্রকাশ প্রয়োজনীয় বা উপযুক্ত কিনা তা নির্ধারণ করে আমরা যদি আপনার সম্পর্কে তথ্য প্রকাশ করতে পারি। পুনর্গঠন, সংহতকরণ বা বিক্রয়ের ক্ষেত্রে, আমরা যে ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি তা উপযুক্ত তৃতীয় পক্ষ - আইনী উত্তরাধিকারীর কাছে স্থানান্তর করতে পারি।

ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষা

আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ক্ষতি, চুরি এবং অপব্যবহার থেকে অননুমোদিত অ্যাক্সেস, প্রকাশ, পরিবর্তন এবং ধ্বংস থেকে রক্ষা করতে আমরা প্রশাসনিক, প্রযুক্তিগত এবং শারীরিক সহ - সাবধানতা অবলম্বন করি।

সংস্থা পর্যায়ে আপনার গোপনীয়তার জন্য সম্মান করুন

আপনার ব্যক্তিগত তথ্য নিরাপদ রয়েছে তা নিশ্চিত করার জন্য, আমরা আমাদের কর্মীদের কাছে গোপনীয়তা এবং সুরক্ষার নিয়মগুলি নিয়ে আসি এবং গোপনীয়তা ব্যবস্থাগুলির প্রয়োগ কঠোরভাবে পর্যবেক্ষণ করি।

বার্তার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ!

আপনার মন্তব্য গ্রহণ করা হয়েছে, সংযমের পরে এটি এই পৃষ্ঠায় প্রকাশিত হবে।

আপনি কি কাটের আড়ালে লুকানো আছে তা জানতে এবং পরীক্ষা এবং পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য একচেটিয়া উপকরণ গ্রহণ করতে চান? আপনার ইমেইল ছেড়ে দিন

ডান ত্রিভুজ বৈশিষ্ট্য

একটি সঠিক ত্রিভুজ বিবেচনা করুন (এবিসি)এবং এর বৈশিষ্ট্য, যা চিত্রে প্রদর্শিত হয়েছে। একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি অনুমিতি রয়েছে - যে দিকটি ডান কোণের বিপরীতে রয়েছে। যে দিকগুলি একটি সমকোণ গঠন করে তাদের পা বলা হয়। চিত্রটি পাশের এডি, ডিসি এবং বিডি, ডিসি- পা এবং পাশ এএসএবং এসভি- অনুমান।

একটি সমকোণী ত্রিভুজ সমতা চিহ্ন:

উপপাদ্য ১. যদি একটি ডান ত্রিভুজটির অনুমান এবং পাটি অন্য ত্রিভুজটির অনুমান এবং লেগের সমান হয়, তবে এই জাতীয় ত্রিভুজ সমান হয়।

উপপাদ্য ২. যদি ডান ত্রিভুজের দুটি পা অন্য ত্রিভুজের দুটি পা সমান হয়, তবে এই জাতীয় ত্রিভুজ সমান হয়।

উপপাদ্য ৩. যদি ডান ত্রিভুজের অনুভূতি এবং তীব্র কোণটি অনুভূতি এবং অন্য ত্রিভুজের তীব্র কোণের মতো হয় তবে এই জাতীয় ত্রিভুজ সমান হয়।

উপপাদ্য ৪. যদি একটি পা এবং ডান ত্রিভুজটির সংলগ্ন (বিপরীত) তীব্র কোণটি একটি পা এবং অন্য ত্রিভুজের সংলগ্ন (বিপরীত) তীব্র কোণের সমান হয়, তবে এই জাতীয় ত্রিভুজ সমান হয়।

30 ° কোণের বিপরীতে পায়ের বৈশিষ্ট্য:

উপপাদ্য ঘ।

ডান ত্রিভুজটিতে উচ্চতা

30 an কোণ সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজগুলিতে, এই কোণের বিপরীত পাটি অনুমানের অর্ধেক অংশ ভেঙে দেয়।

উপপাদ্য ২. যদি ডান কোণযুক্ত ত্রিভুজের কোনও পা যদি অর্ধ অনুমান হয়, তবে বিপরীত কোণটি 30 ° হয় °

উচ্চতাটি যদি একটি সমকোণের দিক থেকে একটি সমকোণের শীর্ষ থেকে অঙ্কিত হয়, তবে এই জাতীয় ত্রিভুজ দুটি ছোট ছোট ভাগে বিভক্ত হয়, বহির্গামী এবং একে অপরের সাথে সমান। এটি নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তে নিয়ে যায়:

1. উচ্চতা হ'ল দুটি হাইপেনটেনজ বিভাগের জ্যামিতিক গড় (আনুপাতিক গড়)।
2. ত্রিভুজের প্রতিটি লেগ হাইপোপেনজ এবং সংলগ্ন অংশগুলির গড় আনুপাতিক।

একটি সমকোণী ত্রিভুজটিতে, পাগুলি উচ্চতা হিসাবে কাজ করে। অর্থোসেন্টারটি সেই বিন্দুতে যেখানে ত্রিভুজ উচ্চতাগুলির ছেদ ঘটে। এটি আকৃতির ডান কোণার প্রান্তিকের সাথে একত্রিত হয়।

এইচসি- ত্রিভুজটির ডান কোণ থেকে বহির্গামী উচ্চতা;

এবি- অনুমান;

বিজ্ঞাপনএবং ডিবি- উচ্চতা দ্বারা অনুভূতিকে ভাগ করার সময় যে বিভাগগুলি উত্থিত হয়েছিল।

"জ্যামিতি" শৃঙ্খলার জন্য দেখার রেফারেন্সগুলিতে ফিরে যান

ত্রিভুজএকটি জ্যামিতিক চিত্র যা তিনটি পয়েন্ট (শীর্ষে) নিয়ে থাকে যা একই সরলরেখায় নয় এবং এই পয়েন্টগুলিকে সংযুক্ত করে তিনটি বিভাগে থাকে। একটি সমকোণী ত্রিভুজ একটি ত্রিভুজ যা 90 ° (ডান কোণ) এর একটি কোণ করে।
একটি উপপাদ্য রয়েছে:একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণগুলির যোগফল 90 ° হয় °
মন্তব্য সিস্টেম CACKLই

কীওয়ার্ড:ত্রিভুজ, সমকোণী, পা, অনুমান, পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য, বৃত্ত

ত্রিভুজ বলা হয় আয়তক্ষেত্রাকারযদি এর একটি সমকোণ থাকে
একটি সমকোণী ত্রিভুজটির দুটি পারস্পরিক লম্ব দিক রয়েছে, যাকে বলে পাগুলো; এর তৃতীয় পক্ষ বলা হয় অনুমান।

• লম্ব এবং তির্যক বৈশিষ্ট্য অনুসারে, হাইপোপেনজ প্রতিটি পায়ের চেয়ে দীর্ঘ (তবে তাদের যোগফলের চেয়ে কম)।
• একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি তীব্র কোণের যোগফল সমকোণ সমান।
• ডান কোণযুক্ত ত্রিভুজের দুটি উচ্চতা এর পাগুলির সাথে মিলে যায়। অতএব, চারটি উল্লেখযোগ্য পয়েন্টগুলির মধ্যে একটি ত্রিভুজটির ডান কোণের কোণে পড়েছে।
• একটি সমকোণী ত্রিভুজের বৃত্তের কেন্দ্রবিন্দুটি অনুমানের মাঝখানে অবস্থিত।
• সমকোণী কোণে সমকোণ কোণের শীর্ষ থেকে অঙ্কিত একটি সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যকটি এই ত্রিভুজটির বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

একটি নির্বিচারে ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজটি এবিসি বিবেচনা করুন এবং এর ডান কোণের শীর্ষক সি থেকে উচ্চতা সিডি = এইচসি আঁকুন।

এটি এই ত্রিভুজটি দুটি ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজগুলি এসিডি এবং বিসিডিতে বিভক্ত করবে; এই ত্রিভুজগুলির প্রতিটিটির ত্রিভুজ ABC সহ একটি সাধারণ তীব্র কোণ রয়েছে এবং তাই ত্রিভুজটি ABC এর মতো।

তিনটি ত্রিভুজ এবিসি, এসিডি এবং বিসিডি একে অপরের সাথে সমান।

ত্রিভুজগুলির মিল থেকে নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি নির্ধারিত হয়:

• $$ h = \ sqrt (a_ (c) \ cdot b_ (c)) = \ frac (a \ cdot b) (c) $$;
• সি = এসি + বিসি;
• $$ a = q sqrt (a_ (c) \ cdot c), b = \ sqrt (b_ (c) \ cdot c) $$;
• $$ (\ frac (a) (b)) ^ (2) = \ frac (a_ (c)) (b_ (c)) $$।

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির অন্যতম মৌলিক উপপাদ্য, একটি সমকোণী ত্রিভুজটির পক্ষের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে।

জ্যামিতিক সূত্র।একটি সমকোণী ত্রিভুজগুলিতে, অনুমানের উপর নির্মিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পায়ে নির্মিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলগুলির যোগফলের সমান।

বীজগণিত সূত্র।একটি সমকোণী ত্রিভুজগুলিতে, অনুমানের বর্গক্ষেত্রটি পায়ের স্কোয়ারের সমান।
এটি সি এর মাধ্যমে ত্রিভুজের অনুমিতি দৈর্ঘ্য এবং a এবং b এর মাধ্যমে পায়ের দৈর্ঘ্যকে বোঝায়:
a2 + b2 = c2

পাইথাগোরাস এর রূপান্তর উপপাদ্য।

ডান ত্রিভুজটির উচ্চতা

ধনাত্মক সংখ্যার যেকোন ট্রিপল এর জন্য এ, বি এবং সি
a2 + b2 = c2,
পায়ে a এবং b এবং একটি হাইপোেনিউজ সি সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজ রয়েছে।

সমকোণী ত্রিভুজ সমান চিহ্ন:

• পা এবং অনুমান বরাবর;
• দুটি পায়ে;
• পা এবং ধারালো কোণে বরাবর;
• হাইপোথেনজ এবং তীব্র কোণ দ্বারা।

আরো দেখুন:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, সমকোণী ত্রিভুজ, সমবাহু ত্রিভুজ

জ্যামিতি. 8 ক্লাস পরীক্ষা 4. বিকল্প 1 .

বিজ্ঞাপন : সিডি = সিডি : বিডি। অতএব সিডি 2 = এডি ∙ বিডি। তারা বলে:

বিজ্ঞাপন : এসি = এসি : এবি। অতএব AC2 = AB ∙ বিজ্ঞাপন. তারা বলে:

বিডি : বিসি = খ্রিস্টপূর্ব : এবি। অতএব বিসি 2 = এবি ∙ বিডি।

কাজগুলি সমাধান করুন:

1.

ক) 70 সেমি; খ) 55 সেমি; গ) 65 সেমি; ঘ) 45 সেমি; ঙ) 53 সেমি।

2. হাইপোপেনিউজে আঁকানো একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা অনুমানকে 9 এবং 36 বিভাগে বিভক্ত করে।

এই উচ্চতার দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করুন।

ক) 22,5; খ) 19; গ) 9; ঘ) 12; ঙ) 18.

4.

ক) 30,25; খ) 24,5; গ) 18,45; ঘ) 32; ঙ) 32,25.

5.

ক) 25; খ) 24; গ) 27; ঘ) 26; ঙ) 21.

6.

ক) 8; খ) 7; গ) 6; ঘ) 5; ঙ) 4.

7.

8. একটি সমকোণী ত্রিভুজটির পা 30।

আমি একটি ডান ত্রিভুজটিতে কীভাবে উচ্চতা পাব?

এই ত্রিভুজের বিষয়ে বৃত্তের ব্যাসার্ধটি 17 হয়, তবে অনুভূমিকের সমান কোণ থেকে সমান দূরত্বটি সন্ধান করুন।

ক) 17; খ) 16; গ) 15; ঘ) 14; ঙ) 12.

10.

ক) 15; খ) 18; গ) 20; ঘ) 16; ঙ) 12.

ক) 80; খ) 72; গ) 64; ঘ) 81; ঙ) 75.

12.

ক) 7,5; খ) 8; গ) 6,25; ঘ) 8,5; ঙ) 7.

আপনার উত্তর পরীক্ষা করুন!

D8.04.1। একটি ডান ত্রিভুজটিতে আনুপাতিক লাইন বিভাগ

জ্যামিতি. 8 ক্লাস পরীক্ষা 4. বিকল্প 1 .

° Δ АВС ∠АСВ = 90 °। এসি এবং বিসি পা, এভি হাইপোথেনজ।

সিডি হ'ল হাইপোপেনিউসে আঁকানো ত্রিভুজের উচ্চতা।

হাইপোথেনুজে এসি লেগের AD প্রজেকশন,

হাইপোপেনুসে বিসি লেগের বিডি প্রজেকশন।

উচ্চতা সিডি দুটি ত্রিভুজগুলিতে ত্রিভুজ এবিসি বিভক্ত করে: Δ এডিসি এবং Δ সিডিবি।

পক্ষগুলির আনুপাতিকতা থেকে like এডিসি এবং Δ সিডিবি এর মতো:

বিজ্ঞাপন : সিডি = সিডি : বিডি।

হাইপোপেনিউজটি বাদ দিয়ে ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজটির উচ্চতার সম্পত্তি।

অতএব সিডি 2 = এডি ∙ বিডি। তারা বলে: হাইপোপেনিউসে আঁকানো একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা,অনুমানের উপর পা অনুমানের মধ্যে গড় আনুপাতিক মান থাকে value

Follows এডিসি এবং Δ এসিবির মধ্যে মিল থেকে এটি নিম্নলিখিত:

বিজ্ঞাপন : এসি = এসি : এবি। অতএব AC2 = AB ∙ বিজ্ঞাপন. তারা বলে: প্রতিটি লেগ হ'ল হাইপোপেনজ এবং এই লেগের অনুমানের মধ্যকার গড় অনুপাতের মান।

একইভাবে, follows СDВ এবং Δ BCB এর মধ্যে মিল থেকে এটি নিম্নলিখিত:

বিডি : বিসি = খ্রিস্টপূর্ব : এবি। অতএব বিসি 2 = এবি ∙ বিডি।

কাজগুলি সমাধান করুন:

1. হাইপোপেনিউজটি 25 সেমি এবং 81 সেমি অংশে বিভক্ত করা হয় যদি অনুভূমিকের দিকে টানা একটি ডান কোণযুক্ত ত্রিভুজের উচ্চতা সন্ধান করুন।

ক) 70 সেমি; খ) 55 সেমি; গ) 65 সেমি; ঘ) 45 সেমি; ঙ) 53 সেমি।

2. হাইপোপেনিউসে আঁকানো ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজের উচ্চতা হাইপেনটেনজটি 9 এবং 36 বিভাগগুলিতে বিভক্ত করে this এই উচ্চতার দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করুন।

ক) 22,5; খ) 19; গ) 9; ঘ) 12; ঙ) 18.

4. অনুমানের দিকে টানা ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজের উচ্চতা 22, পাগুলির একটির প্রক্ষেপণ 16 হয় the অন্য পাটির প্রক্ষেপণটি সন্ধান করুন।

ক) 30,25; খ) 24,5; গ) 18,45; ঘ) 32; ঙ) 32,25.

5. একটি সমকোণী ত্রিভুজের লেগটি 18 এবং অনুমানের উপরে এর প্রক্ষেপণ 12 অনুমানের সন্ধান করুন।

ক) 25; খ) 24; গ) 27; ঘ) 26; ঙ) 21.

6. অনুমানটি 32. লেগটি আবিষ্কার করুন, অনুমানের উপর 2 এর প্রক্ষেপণ।

ক) 8; খ) 7; গ) 6; ঘ) 5; ঙ) 4.

7. একটি সমকোণী ত্রিভুজের হাইপোপেনজ 45 টি। লেগটি আবিষ্কার করুন, অনুমান 9 এর প্রক্ষেপণ।

8. একটি সমকোণী ত্রিভুজের লেগটি 30. এই ত্রিভুজের বিষয়ে বৃত্তের ব্যাসার্ধটি 17 হলে অনুভূমিকের সমান কোণ থেকে দূরত্ব নির্ণয় করুন।

ক) 17; খ) 16; গ) 15; ঘ) 14; ঙ) 12.

10. একটি সমকোণী ত্রিভুজের হাইপোপেনজ 41, এবং একটি পা এর প্রক্ষেপণ 16 হয়। ডান কোণের শীর্ষবিন্দু থেকে অনুভূমিকের দিকে টানা উচ্চতার দৈর্ঘ্য সন্ধান করুন।

ক) 15; খ) 18; গ) 20; ঘ) 16; ঙ) 12.

ক) 80; খ) 72; গ) 64; ঘ) 81; ঙ) 75.

12. অনুমানের উপর পাগুলির অনুমানের মধ্যে পার্থক্য 15, এবং অনুভূতির ডান কোণের শীর্ষবিন্দু থেকে দূরত্ব 4 circum অবধি বৃত্তের ব্যাসার্ধটি সন্ধান করুন।

ক) 7,5; খ) 8; গ) 6,25; ঘ) 8,5; ঙ) 7.

ত্রিভুজ।

মৌলিক ধারণা.

ত্রিভুজতিনটি রেখাংশ এবং তিনটি পয়েন্ট সমন্বিত একটি চিত্র যা একটি সরলরেখায় থাকে না।

বিভাগগুলি বলা হয় দলগুলি, এবং পয়েন্ট - শিখর.

কোণগুলির যোগফলত্রিভুজটির 180 is হয় º

ত্রিভুজটির উচ্চতা।

ত্রিভুজের উচ্চতাউপরের দিক থেকে বিপরীত দিকে আঁকা একটি লম্ব।

তীব্র-কোণযুক্ত ত্রিভুজটিতে, উচ্চতাটি ত্রিভুজের মধ্যে থাকে (চিত্র 1)।

একটি সমকোণী ত্রিভুজটিতে, পাগুলি ত্রিভুজের উচ্চতা (চিত্র 2)।

একটি অবরুদ্ধ ত্রিভুজটিতে, উচ্চতাটি ত্রিভুজটির বাইরে (চিত্র 3)।

ত্রিভুজ উচ্চতা বৈশিষ্ট্য:

ত্রিভুজের দ্বিখণ্ডক।

একটি ত্রিভুজ এর দ্বিখণ্ডকএটি একটি রেখাংশ যা খণ্ডের কোণটি দ্বিখণ্ডিত করে এবং বিপরীত দিকের একটি বিন্দুর সাথে শীর্ষটি সংযোগ করে (চিত্র 5)।

বাইসেক্টর বৈশিষ্ট্য:

ত্রিভুজের মাঝারি।

একটি ত্রিভুজ এর মিডিয়ানবিপরীত পার্শ্বের মাঝখানের সাথে শীর্ষস্থানটি সংযোগকারী একটি রেখাংশ (চিত্র 9a)।

সূত্রটি ব্যবহার করে মধ্যকের দৈর্ঘ্য গণনা করা যায়: 2খ 2 + 2গ 2 - ক 2 মি ক 2 = —————— 4 কোথায় মি কপার্শ্ব আঁকা মাঝারি হয় কিন্তু. একটি সমকোণী ত্রিভুজগুলিতে, হাইপোপেনিউসে আঁকানো মিডিয়ানটি অর্ধেক হাইপোপেনিউজ: গ মি গ = — 2 কোথায় মি গ- মধ্যকটি অনুমানের দিকে টানা গ(চিত্র 9 সি) একটি ত্রিভুজটির মধ্যকরা একটি বিন্দুতে ছেদ করে (ত্রিভুজের ভর কেন্দ্রে) এবং এই বিন্দু দ্বারা 2: 1 অনুপাতে বিভক্ত হয়, শীর্ষটি থেকে গণনা করা হয়। অর্থাৎ, শীর্ষটি থেকে কেন্দ্র পর্যন্ত বিভাগটি কেন্দ্র থেকে ত্রিভুজের পাশের অংশ (চিত্র 9 সি) এর দ্বিগুণ। একটি ত্রিভুজের তিনটি মাঝারি এটি ছয়টি সমান ত্রিভুজগুলিতে বিভক্ত করে।

ত্রিভুজের মাঝের রেখা।

একটি ত্রিভুজের মিডলাইনএটি একটি উভয় পক্ষের মিডপয়েন্টগুলি সংযুক্ত একটি বিভাগ (চিত্র 10)।

ত্রিভুজটির মাঝের রেখাটি তৃতীয় পক্ষের সমান্তরাল এবং এটির অর্ধেকের সমান

ত্রিভুজের বাইরের কোণা।

বাইরের কোণেত্রিভুজটি দুটি অ-সংলগ্ন অভ্যন্তর কোণগুলির সমান (চিত্র 11)।

ত্রিভুজের বাইরের কোণটি কোনও অ-সংলগ্ন কোণের চেয়ে বড়।

সঠিক ত্রিভুজ.

সঠিক ত্রিভুজএকটি সমকোণী (ডুমুর 12) সমেত একটি ত্রিভুজ।

একটি সমকোণের বিপরীতে ডান ত্রিভুজের দিকটি বলা হয় অনুমান.

অন্য দুটি দলকে ডাকা হয় পাগুলো.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যে আনুপাতিক লাইন বিভাগ।

1) একটি সমকোণী ত্রিভুজটিতে, ডান কোণ থেকে আঁকা উচ্চতা তিনটি অনুরূপ ত্রিভুজ গঠন করে: এবিসি, এসিএচ এবং এইচসিবি (ডুমুর। 14 ক)। তদনুসারে, উচ্চতা দ্বারা গঠিত কোণগুলি এ এবং বি কোণগুলির সমান are

চিত্র 14 এ

দ্বিসমত্রিভুজ.

দ্বিসমত্রিভুজদুটি দিক সমান ত্রিভুজ (চিত্র 13)।

এই সমান পক্ষ বলা হয় পার্শ্বীয় দিকএবং তৃতীয়টি হ'ল ভিত্তিত্রিভুজ

একটি সমকোণী ত্রিভুজে, বেসের কোণগুলি সমান। (আমাদের ত্রিভুজের মধ্যে কোণ A সমান কোণের সমান)।

আইসোসিলস ত্রিভুজের মধ্যে, বেসকে টানা মিডিয়ানটি দ্বিখণ্ডক এবং ত্রিভুজের উচ্চতা উভয়ই।

সমবাহু ত্রিভুজ.

সমভূমিক ত্রিভুজ একটি ত্রিভুজ যাতে সমস্ত দিক সমান (চিত্র 14)।

সমপরিমাণ ত্রিভুজ বৈশিষ্ট্য:

ত্রিভুজগুলির লক্ষণীয় বৈশিষ্ট্য।

ত্রিভুজগুলির মূল বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা আপনাকে এই আকারগুলির সাথে সমস্যাগুলি সফলভাবে সমাধান করতে সহায়তা করবে। এর মধ্যে কয়েকটি বৈশিষ্ট্য উপরে বর্ণিত রয়েছে। তবে আমরা তাদের আরও কয়েকবার দুর্দান্ত বৈশিষ্ট্য যুক্ত করে তাদের আরও একবার পুনরাবৃত্তি করলাম:

1) 90º, 30º এবং 60º লেগ কোণ সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজে খ 30º কোণের বিপরীতে থাকা সমান অনুমানের অর্ধেক এবং পাক আরও পাখ Times3 বার (চিত্র 15 কিন্তু)। উদাহরণস্বরূপ, লেগ বি যদি 5 হয়, তবে অনুমিতি গঅগত্যা 10 এবং পা সমান কিন্তু 5-3 সমান। 2) 90º, 45º এবং 45º কোণ সহ একটি সমকোণী সমকোণী ত্রিভুজে, অনুভূতিটি পায়ে √2 গুণ হয় (চিত্র 15 খ)। উদাহরণস্বরূপ, যদি পাগুলি 5 হয় তবে অনুমান 5-2 হয়। 3) ত্রিভুজের মাঝের রেখাটি সমান্তরাল পাশের অর্ধেকের সমান (চিত্র 15) থেকে)। উদাহরণস্বরূপ, যদি ত্রিভুজের দিকটি 10 ​​হয় তবে সমান্তরাল মিডলাইনটি 5 হয়। 4) একটি সমকোণী ত্রিভুজটিতে, হাইপোপেনিউসে আঁকানো মাঝারিটি অর্ধ হাইপোপেনিউজের সমতুল্য (চিত্র 9 সি): মি গ= এস / 2 5) একটি ত্রিভুজের মধ্যকরা, এক পর্যায়ে ছেদ করে, 2: 1 অনুপাতের মধ্যে এই বিন্দু দ্বারা বিভক্ত হয়। অর্থাত্, মধ্যবর্তীদের ছেদ বিন্দু থেকে খণ্ডটি দ্বিগুণ হয় মধ্যভাগের ছেদ বিন্দু থেকে ত্রিভুজের পাশের চিত্র (চিত্র 9 সি) )) একটি সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যে হাইপোপেনিউজের মাঝের অংশটি বৃত্তের কেন্দ্রবিন্দু (চিত্র 15) d).

ত্রিভুজগুলির জন্য সমতা পরীক্ষা.

সাম্যের প্রথম লক্ষণ: যদি দুটি ত্রিভুজ এবং একটি ত্রিভুজের মধ্যবর্তী কোণ দুটি পক্ষের সমান হয় এবং অন্য ত্রিভুজের মধ্যবর্তী কোণ থাকে তবে এই জাতীয় ত্রিভুজ সমান হয়।

সাম্যের দ্বিতীয় লক্ষণ: যদি একটি ত্রিভুজটির সাথে সংলগ্ন পাশ এবং কোণগুলি সমান এবং অন্য ত্রিভুজের সাথে সংযুক্ত কোণগুলি হয় তবে এই জাতীয় ত্রিভুজ সমান হবে।

সাম্যের তৃতীয় চিহ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি দিক অন্য ত্রিভুজের তিনটি অংশের সমান হয় তবে এই জাতীয় ত্রিভুজ সমান হবে are

ত্রিভুজ বৈষম্য।

যে কোনও ত্রিভুজটিতে প্রতিটি পক্ষই অন্য দুটি পক্ষের যোগফলের চেয়ে কম হয়।

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য।

একটি সমকোণী ত্রিভুজগুলিতে, অনুমানের বর্গক্ষেত্রটি পায়ের স্কোয়ারের সমান:

গ 2 = ক 2 + খ 2 .

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।

1) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলটি এর পাশের উচ্চতার দ্বারা তার পাশের অর্ধেকের সমান হয়:

আহ
এস = ——
2

২) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এর মধ্যবর্তী কোণের দ্বারা তার যে কোনও দুটি পক্ষের উত্পাদনের অর্ধেক সমান:

1
এস = — এবি এসি · পাপ ক
2

একটি ত্রিভুজ একটি বৃত্ত সম্পর্কে অবতীর্ণ।

একটি চেনাশোনাটিকে ত্রিভুজটিতে খালি বলা হয় যদি এটি এর সমস্ত দিক স্পর্শ করে (চিত্র 16) কিন্তু).

একটি বৃত্তে লিখিত একটি ত্রিভুজ।

একটি ত্রিভুজটিকে একটি বৃত্তে লিপিবদ্ধ বলা হয় যদি এটি তার সমস্ত শিখরের সাথে স্পর্শ করে (চিত্র 17) ক).

সাইন, কোসাইন, স্পর্শক, ডান ত্রিভুজের তীব্র কোণের কোটজেন্ট (চিত্র 18)।

সাইনাসতীব্র কোণ এক্স বিরোধীঅনুমানের পা।
এটি এইভাবে বোঝানো হয়েছে: পাপএক্স.

কোসিনতীব্র কোণ এক্সডান ত্রিভুজটি অনুপাত সংলগ্নঅনুমানের পা।
এটি এর মতো বোঝানো হয়েছে: কোস এক্স.

স্পর্শকাতরতীব্র কোণ এক্সসংলগ্ন লেগের বিপরীত পায়ের অনুপাত।
এটি এর মতো বোঝানো হয়: টিজিএক্স.

কোটজেন্টতীব্র কোণ এক্সবিপরীত একের সাথে সংলগ্ন লেগের অনুপাত।
এটি এটির মতো বোঝানো হয়েছে: সিটিজিএক্স.

বিধি:

কোণার বিপরীতে পা এক্স, অনুমান এবং পাপের গুণফলের সমান এক্স:

খ = গপাপ এক্স

কোণ সংলগ্ন লেগ এক্স, হাইপোপেনজ এবং কোসের পণ্য সমান এক্স:

a = গকস এক্স

কোণার বিপরীতে লেগ এক্স, দ্বিতীয় লেগ এবং tg এর পণ্যের সমান এক্স:

খ = কটিজি এক্স

কোণ সংলগ্ন লেগ এক্স, দ্বিতীয় লেগ এবং সিটিজির পণ্যের সমান এক্স:

a = খসিটিজি এক্স.

যে কোনও তীক্ষ্ণ কোণের জন্য এক্স:

পাপ (90 ° - এক্স) = cos এক্স

কোস (90 ° - এক্স) = পাপ এক্স

সম্পত্তি: ১।যে কোনও সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, উচ্চ কোণটি সমকোণী ত্রিভুজকে তিনটি অনুরূপ ত্রিভুজের মধ্যে ভাগ করে দেয়

সম্পত্তি: 2।অনুভূমিকের উপর ফেলে দেওয়া একটি ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজের উচ্চতা, অনুমানের দিকে পা অনুমানের জ্যামিতিক গড়ের সমান (বা সেই বিভাগগুলির জ্যামিতিক গড় যেখানে হাইপোপেনিউজটি ভেঙে যায়)।

সম্পত্তি: 3।লেগটি অনুমানের জ্যামিতিক গড়ের সমান এবং এই পাটির অনুমানের প্রক্ষেপণের জন্য।

সম্পত্তি: 4। 30 ডিগ্রি কোণের বিপরীতে পা অর্ধ অনুমানের সমান।

1 নং সূত্র.

সূত্র 2।অনুমানটি কোথায়; , পাগুলো.

সম্পত্তি: 5।একটি সমকোণী ত্রিভুজগুলিতে, হাইপোপেনজকে আঁকানো মাঝারিটি তার অর্ধের সমান এবং বৃত্তাকার বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।

বৈশিষ্ট্য: right. একটি সমকোণী ত্রিভুজটির পক্ষ এবং কোণগুলির মধ্যে নির্ভরতা:

44. কোসিনগুলির উপপাদ্য। ফলাফল: ত্রিভুজ এবং একটি সমান্তরাল পক্ষের মধ্যে সংযোগ; ত্রিভুজ প্রকারের নির্ধারণ; একটি ত্রিভুজটির মধ্যম দৈর্ঘ্য গণনা করার সূত্র; ত্রিভুজের কোণটির কোসাইন গণনা করা হচ্ছে।

কাজের শেষ -

এই বিষয়টি বিভাগটির অন্তর্গত:

ক্লাস কলিগিয়াম প্ল্যানমেট্রি প্রোগ্রামের মূল বিষয়গুলি

সংলগ্ন কোণগুলির সম্পত্তি .. দুটি পাশের সংলগ্ন কোণগুলির সংকল্প যদি এক পক্ষের সাথে অন্য দুটি অংশের সাথে একটি সরলরেখার গঠন সাধারণ থাকে তবে ..

এই বিষয়ে আপনার যদি অতিরিক্ত সামগ্রীর প্রয়োজন হয় বা আপনি যা সন্ধান করছেন তা খুঁজে পাননি, আমরা আমাদের কাজের ডাটাবেসে অনুসন্ধানটি ব্যবহারের পরামর্শ দিচ্ছি:

আমরা প্রাপ্ত জিনিসগুলি কী করব:

যদি এই উপাদানটি আপনার পক্ষে কার্যকর হিসাবে পরিণত হয় তবে আপনি এটি সোশ্যাল নেটওয়ার্কে আপনার পৃষ্ঠায় সংরক্ষণ করতে পারেন: