কিভাবে একটি এমনকি ফাংশন খুঁজে বের করতে বা. জোড় এবং বিজোড় ফাংশন

পিছনে এগিয়ে

মনোযোগ! স্লাইড প্রিভিউ শুধুমাত্র তথ্যগত উদ্দেশ্যে এবং সমস্ত উপস্থাপনা বিকল্পের প্রতিনিধিত্ব নাও করতে পারে। আপনি যদি এই কাজটিতে আগ্রহী হন তবে দয়া করে সম্পূর্ণ সংস্করণটি ডাউনলোড করুন।

লক্ষ্য:

• একটি ফাংশনের সমানতা এবং অদ্ভুততার ধারণা তৈরি করতে, এই বৈশিষ্ট্যগুলিকে সংজ্ঞায়িত করার এবং ব্যবহার করার ক্ষমতা শেখানোর জন্য যখন ফাংশন অন্বেষণ, চার্টিং;
• শিক্ষার্থীদের সৃজনশীল কার্যকলাপ, যৌক্তিক চিন্তাভাবনা, তুলনা করার ক্ষমতা, সাধারণীকরণের বিকাশ;
• কঠোর পরিশ্রম, গাণিতিক সংস্কৃতি শিক্ষিত করা; যোগাযোগ দক্ষতা বিকাশ .

সরঞ্জাম:মাল্টিমিডিয়া ইনস্টলেশন, ইন্টারেক্টিভ হোয়াইটবোর্ড, হ্যান্ডআউটস।

কাজের ফর্ম:অনুসন্ধান এবং গবেষণা কার্যক্রমের উপাদান সহ ফ্রন্টাল এবং গ্রুপ।

তথ্য সূত্র:

1. বীজগণিত 9 ক্লাস এ.জি. মর্ডকোভিচ। পাঠ্যপুস্তক।
2.বীজগণিত গ্রেড 9 এজি মর্ডকোভিচ। সমস্যা বই।
3. বীজগণিত গ্রেড 9। ছাত্র শেখার এবং উন্নয়নের জন্য অ্যাসাইনমেন্ট। বেলেনকোভা ই.ইউ. লেবেডিন্টসেভা ই.এ.

ক্লাস চলাকালীন

1. সাংগঠনিক মুহূর্ত

পাঠের লক্ষ্য ও উদ্দেশ্য নির্ধারণ করা।

2. হোমওয়ার্ক চেক

নং 10.17 (সমস্যা বই 9kl. A. G. Mordkovich)।

ক) এ = চ(এনএস), চ(এনএস) =

খ) চ (–2) = –3; চ (0) = –1; চ(5) = 69;

গ) 1.D ( চ) = [– 2; + ∞)
2. ই ( চ) = [– 3; + ∞)
3. চ(এনএস) = 0 এর জন্য এনএস ~ 0,4
4. চ(এনএস)> 0 এর জন্য এনএস > 0,4 ; চ(এনএস) < 0 при – 2 < এনএস < 0,4.
5. এর সাথে ফাংশন বৃদ্ধি পায় এনএস € [– 2; + ∞)
6. ফাংশন নীচে থেকে সীমিত.
7. এনাইম =- ৩, এনায়েবের অস্তিত্ব নেই
8. ফাংশন ক্রমাগত হয়.

(আপনি কি ফাংশন গবেষণা অ্যালগরিদম ব্যবহার করেছেন?) স্লাইড

2. স্লাইডে আপনাকে যে টেবিলটি জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল তা দেখুন।

টেবিল পূরণ করুন
	ডোমেইন	ফাংশন শূন্য	স্থিরতার ব্যবধান		Oy এর সাথে গ্রাফের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক
		x = –5, x = 2	х € (–5; 3) উ U (2; ∞)	х € (–∞; –5) U U (–3; 2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		х € (–5; 3) উ U (2; ∞)	х € (–∞; –5) U U (–3; 2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		х € (–∞; –5) U U (2; ∞)	x € (–5; 2)

3. জ্ঞান আপডেট

- দেওয়া ফাংশন.
- প্রতিটি ফাংশনের সুযোগ নির্দিষ্ট করুন।
- আর্গুমেন্ট মানের প্রতিটি জোড়ার জন্য প্রতিটি ফাংশনের মান তুলনা করুন: 1 এবং - 1; 2 এবং - 2।
- সংজ্ঞার ডোমেনে এই ফাংশনগুলির কোনটির জন্য সমতাগুলি পূর্ণ হয় চ(– এনএস) = চ(এনএস), চ(– এনএস) = – চ(এনএস)? (টেবিলে প্রাপ্ত ডেটা প্রবেশ করান) স্লাইড

		চ(1) এবং চ(– 1)	চ(2) এবং চ(– 2)	চার্ট	চ(– এনএস) = –চ(এনএস)	চ(– এনএস) = চ(এনএস)
1. চ(এনএস) =
2. চ(এনএস) = এনএস 3
3. চ(এনএস) = | এনএস |
4.চ(এনএস) = 2এনএস – 3
5. চ(এনএস) =	এনএস ≠ 0
6. চ(এনএস)=	এনএস > –1		এবং সংজ্ঞায়িত নয়।

4. নতুন উপাদান

- এই কাজটি চালানোর সময়, বন্ধুরা, আমরা একটি ফাংশনের আরও একটি বৈশিষ্ট্য চিহ্নিত করেছি যা আপনার কাছে অপরিচিত, তবে অন্যদের থেকে কম গুরুত্বপূর্ণ নয় - এটি হল জোড় এবং বিজোড় ফাংশন। পাঠের বিষয়টি লিখুন: "জোড় এবং বিজোড় ফাংশন", আমাদের কাজ হল কীভাবে একটি ফাংশনের জোড় এবং অদ্ভুততা নির্ধারণ করা যায়, ফাংশন এবং প্লটিংয়ের অধ্যয়নে এই বৈশিষ্ট্যটির তাত্পর্য খুঁজে বের করা।
সুতরাং, আসুন পাঠ্যপুস্তকে সংজ্ঞাগুলি খুঁজে বের করি এবং পড়ি (পৃ. 110) ... স্লাইড

ডিফ 1ফাংশন এ = চ (এনএস) সেটে দেওয়া X বলা হয় এমন কিযদি কোন মূল্যের জন্য এনএসЄ X কার্যকর করা হয় সমতা f (–x) = f (x)। উদাহরণ দাও.

ডিফ 2ফাংশন y = f (x)সেটে দেওয়া X বলা হয় অস্বাভাবিকযদি কোন মূল্যের জন্য এনএসЄ এক্স সমতা f (–x) = –f (x) ধারণ করে। উদাহরণ দাও.

আমরা কোথায় "জোড়" এবং "বিজোড়" শব্দের সম্মুখীন হয়েছি?
এই ফাংশনগুলির মধ্যে কোনটি আপনি সমান হবে বলে মনে করেন? কেন? বিজোড় কি? কেন?
ফর্মের যেকোনো কাজের জন্য এ= x n, কোথায় n- একটি পূর্ণসংখ্যার জন্য এটি যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে ফাংশনটি বিজোড় n- বিজোড় এবং ফাংশনটি জোড়ের জন্য n- এমন কি.
- ফাংশন দেখুন এ= এবং এ = 2এনএস- 3 জোড় বা বিজোড় নয়, যেহেতু সমতা সন্তুষ্ট নয় চ(– এনএস) = – চ(এনএস), চ(– এনএস) = চ(এনএস)

একটি ফাংশন জোড় বা বিজোড় এই প্রশ্নের অধ্যয়নকে সমতার জন্য একটি ফাংশনের অধ্যয়ন বলা হয়।স্লাইড

সংজ্ঞা 1 এবং 2 x এবং - x এর জন্য ফাংশনের মানগুলি নিয়ে কাজ করে, এইভাবে ধারণা করা হয় যে ফাংশনটিও মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এনএস, এবং এ - এনএস.

Def 3.যদি একটি সংখ্যাসূচক সেট, তার প্রতিটি উপাদান x এর সাথে, বিপরীত উপাদান -xও থাকে, তাহলে সেটটি এনএসএকটি প্রতিসম সেট বলা হয়।

উদাহরণ:

(–২; ২), [–৫; ৫]; (∞; ∞) হল প্রতিসম সেট, এবং [–5; 4] অপ্রতিসম।

- জোড় ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন কি একটি প্রতিসম সেট? অদ্ভুত বেশী?
- যদি ডি ( চ) একটি অপ্রতিসম সেট, তাহলে কি ফাংশন?
- এইভাবে, যদি ফাংশন এ = চ(এনএস) জোড় বা বিজোড়, তাহলে এর সংজ্ঞার ডোমেন হল D ( চ) একটি প্রতিসম সেট। কথোপকথনটি কি সত্য, যদি একটি ফাংশনের ডোমেন একটি প্রতিসম সেট হয়, তাহলে এটি জোড় বা বিজোড়?
- তাই সংজ্ঞার ডোমেনগুলির একটি প্রতিসম সেটের উপস্থিতি একটি প্রয়োজনীয় শর্ত, কিন্তু যথেষ্ট নয়।
- তাহলে আপনি কিভাবে সমতার জন্য একটি ফাংশন তদন্ত করবেন? আসুন একটি অ্যালগরিদম রচনা করার চেষ্টা করি।

স্লাইড

সমতার জন্য একটি ফাংশন বিশ্লেষণের জন্য অ্যালগরিদম

1. ফাংশন ডোমেন সিমেট্রিক কিনা তা নির্ধারণ করুন। যদি না হয়, তাহলে ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়। যদি হ্যাঁ, তাহলে অ্যালগরিদমের ধাপ 2 এ যান।

2. জন্য একটি অভিব্যক্তি লিখুন চ(–এনএস).

3. তুলনা করুন চ(–এনএস).এবং চ(এনএস):

• যদি চ(–এনএস).= চ(এনএস), তারপর ফাংশন সমান হয়;
• যদি চ(–এনএস).= – চ(এনএস), তাহলে ফাংশনটি বিজোড়;
• যদি চ(–এনএস) ≠ চ(এনএস) এবং চ(–এনএস) ≠ –চ(এনএস), তাহলে ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়।

উদাহরণ:

সমতার জন্য ফাংশন তদন্ত ক) এ= x 5 +; খ) এ=; v) এ= .

সমাধান।

ক) h (x) = x 5 +,

1) D (h) = (–∞; 0) U (0; + ∞), প্রতিসম সেট।

2) h (- x) = (–x) 5 + - x5 - = - (x 5 +),

3) h (- x) = - h (x) => ফাংশন h (x)= x 5 + বিজোড়।

খ) y =,

এ = চ(এনএস), D (f) = (–∞; –9)? (–9; + ∞), একটি অপ্রতিসম সেট, তাই ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়।

v) চ(এনএস) =, y = f (x),

1) ডি ( চ) = (–∞; 3] ≠; খ) (∞; –2), (–4; 4]?

বিকল্প 2

1. প্রদত্ত সেটটি কি প্রতিসম: ক) [–2; 2]; খ) (∞; 0], (0; 7)?

a); খ) y = x · (5 - x 2)। 2. সমতার জন্য ফাংশন তদন্ত করুন:

a) y = x 2 (2x - x 3), b) y =

3. ডুমুর মধ্যে. চক্রান্ত করা এ = চ(এনএস), সবার জন্য এনএসশর্ত সন্তুষ্ট এনএস? 0.
একটি ফাংশন গ্রাফ প্লট করুন এ = চ(এনএস), যদি এ = চ(এনএস) একটি সমান ফাংশন।

3. ডুমুর মধ্যে. চক্রান্ত করা এ = চ(এনএস), সব x জন্য শর্ত x সন্তুষ্ট? 0
একটি ফাংশন গ্রাফ প্লট করুন এ = চ(এনএস), যদি এ = চ(এনএস) একটি অদ্ভুত ফাংশন।

এর পারস্পরিক যাচাইকরণ স্লাইড

6. বাড়িতে অ্যাসাইনমেন্ট: №11.11, 11.21,11.22;

সমতা সম্পত্তির জ্যামিতিক অর্থের প্রমাণ।

*** (USE বিকল্প সেট করা)।

1. বিজোড় ফাংশন y = f (x) সম্পূর্ণ সংখ্যা লাইনে সংজ্ঞায়িত করা হয়। x ভেরিয়েবলের যেকোনো অ-নেতিবাচক মানের জন্য, এই ফাংশনের মান ফাংশনের মানের সাথে মিলে যায় ( এনএস) = এনএস(এনএস + 1)(এনএস + 3)(এনএস- 7)। h ফাংশনের মান খুঁজুন ( এনএস) = জন্য এনএস = 3.

7. সংক্ষিপ্তকরণ

একটি ফাংশনকে বলা হয় জোড় (বিজোড়) যদি কোনো এবং সমতার জন্য

.

একটি জোড় ফাংশনের গ্রাফ অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম
.

একটি বিজোড় ফাংশনের গ্রাফ উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম।

উদাহরণ 6.2।একটি ফাংশনের সমতা বা অদ্ভুততার জন্য তদন্ত করুন

1)
; 2)
; 3)
.

সমাধান.

1) ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয় এ
... অনুসন্ধান
.

সেগুলো.
... এর মানে হল যে এই ফাংশনটি সমান।

2) ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয় এ

সেগুলো.
... সুতরাং, এই ফাংশন অদ্ভুত.

3) ফাংশন এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যেমন জন্য

,
... অতএব, ফাংশনটি জোড় বা বিজোড়ও নয়। এর একটি সাধারণ ফাংশন কল করা যাক.

3. একঘেয়েমি জন্য ফাংশন অধ্যয়ন.

ফাংশন
একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে বৃদ্ধি (হ্রাস) বলা হয়, যদি এই ব্যবধানে আর্গুমেন্টের প্রতিটি বড় মান ফাংশনের একটি বড় (ছোট) মানের সাথে মিলে যায়।

একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে ফাংশন বৃদ্ধি (হ্রাস) কে একঘেয়ে বলা হয়।

যদি ফাংশন
ব্যবধানে পার্থক্যযোগ্য
এবং একটি ইতিবাচক (নেতিবাচক) ডেরিভেটিভ আছে
, তারপর ফাংশন
এই ব্যবধানে বৃদ্ধি (হ্রাস)।

উদাহরণ 6.3... ফাংশনের একঘেয়েতার ব্যবধান নির্ণয় কর

1)
; 3)
.

সমাধান.

1) এই ফাংশনটি সম্পূর্ণ সংখ্যা অক্ষের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়। এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক.

ডেরিভেটিভ যদি শূন্য হয়
এবং
... সংজ্ঞা এলাকা - সাংখ্যিক অক্ষ, বিন্দু দ্বারা বিভক্ত
,
অন্তর. আসুন প্রতিটি ব্যবধানে ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করি।

ব্যবধানে
ডেরিভেটিভ নেতিবাচক, এই ব্যবধানে ফাংশন হ্রাস পায়।

ব্যবধানে
ডেরিভেটিভ ইতিবাচক, তাই এই ব্যবধানে ফাংশন বৃদ্ধি পায়।

2) এই ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি
বা

.

প্রতিটি ব্যবধানে বর্গাকার ত্রিনামীর চিহ্ন নির্ণয় কর।

সুতরাং, ফাংশনের ডোমেইন

ডেরিভেটিভ খুঁজুন
,
, যদি
, অর্থাৎ
, কিন্তু
... ব্যবধানে ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করা যাক
.

ব্যবধানে
ডেরিভেটিভ নেতিবাচক, তাই, ব্যবধানে ফাংশন হ্রাস পায়
... ব্যবধানে
ডেরিভেটিভ ইতিবাচক, ব্যবধানে ফাংশন বৃদ্ধি পায়
.

4. একটি extremum জন্য ফাংশন তদন্ত.

বিন্দু
ফাংশনের সর্বোচ্চ (সর্বনিম্ন) বিন্দু বলা হয়
যদি বিন্দুর এমন একটি প্রতিবেশী থাকে যে সবার জন্য
এই প্রতিবেশী থেকে অসমতা

.

একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন বিন্দুকে চরম বিন্দু বলে।

যদি ফাংশন
বিন্দুতে একটি extremum আছে, তাহলে এই পয়েন্টে ফাংশনের ডেরিভেটিভ শূন্য বা বিদ্যমান নেই (একটি এক্সট্রিমামের অস্তিত্বের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত)।

যে সকল বিন্দুতে ডেরিভেটিভ শূন্য বা বিদ্যমান নেই তাদেরকে ক্রিটিকাল বলে।

5. একটি extremum অস্তিত্বের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত.

নিয়ম 1... যদি, ক্রিটিক্যাল পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় (বাম থেকে ডানে) অমৌলিক
চিহ্নটিকে "+" থেকে "-" এ পরিবর্তন করে, তারপর বিন্দুতে ফাংশন
সর্বোচ্চ আছে; যদি "-" থেকে "+" হয়, তাহলে সর্বনিম্ন; যদি
চিহ্ন পরিবর্তন করে না, তাহলে কোন চরমপন্থা নেই।

নিয়ম 2... বিন্দুতে যাক
একটি ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ
শূন্য
, এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ বিদ্যমান এবং অশূন্য। যদি
, তারপর যদি সর্বোচ্চ পয়েন্ট হয়
, তারপর ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু।

উদাহরণ 6.4 ... সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন ফাংশন অন্বেষণ করুন:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

সমাধান।

1) ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত এবং বিরতিতে অবিচ্ছিন্ন
.

ডেরিভেটিভ খুঁজুন
এবং সমীকরণ সমাধান করুন
, অর্থাৎ
.এখান থেকে
- সমালোচনামূলক পয়েন্ট.

আসুন বিরতিতে ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করি,
.

পয়েন্ট অতিক্রম করার সময়
এবং
ডেরিভেটিভ পরিবর্তন চিহ্ন "-" থেকে "+" পর্যন্ত, তাই, নিয়ম 1 অনুযায়ী
- সর্বনিম্ন পয়েন্ট।

একটি বিন্দু অতিক্রম করার সময়
ডেরিভেটিভ পরিবর্তন চিহ্ন "+" থেকে "-" পর্যন্ত, তাই
সর্বোচ্চ পয়েন্ট।

,
.

2) ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত এবং বিরতিতে অবিচ্ছিন্ন
... ডেরিভেটিভ খুঁজুন
.

সমীকরণ সমাধান
, অনুসন্ধান
এবং
- সমালোচনামূলক পয়েন্ট. হর হলে
, অর্থাৎ
, তাহলে ডেরিভেটিভের অস্তিত্ব নেই। তাই,
- তৃতীয় গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট। ব্যবধানে ডেরিভেটিভের চিহ্ন নির্ধারণ করা যাক।

ফলস্বরূপ, ফাংশন বিন্দুতে একটি সর্বনিম্ন আছে
, পয়েন্ট সর্বোচ্চ
এবং
.

3) ফাংশন সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন যদি
, অর্থাৎ এ
.

ডেরিভেটিভ খুঁজুন

.

আসুন সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করা যাক:

পয়েন্ট পাড়া
সংজ্ঞার ডোমেনের অন্তর্গত নয়, তাই তারা এত চরম নয়। সুতরাং, আসুন সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি অন্বেষণ করি
এবং
.

4) ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত এবং বিরতিতে অবিচ্ছিন্ন
... আমরা নিয়ম 2 ব্যবহার করি। ডেরিভেটিভ খুঁজুন
.

আসুন সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করা যাক:

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজুন
এবং পয়েন্টে এর চিহ্ন সংজ্ঞায়িত করুন

পয়েন্টে
ফাংশন একটি সর্বনিম্ন আছে.

পয়েন্টে
ফাংশন একটি সর্বোচ্চ আছে.

ফাংশন অধ্যয়ন.

1) D (y) - ডোমেন: চলকের x এর সমস্ত মানের সেট। যার জন্য বীজগণিতীয় রাশি f (x) এবং g (x) অর্থপূর্ণ।

যদি একটি ফাংশন একটি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়, তাহলে ডোমেনে স্বাধীন ভেরিয়েবলের সমস্ত মান থাকে যার জন্য সূত্রটি বোঝা যায়।

2) ফাংশনের বৈশিষ্ট্য: জোড়/বিজোড়, পর্যায়ক্রমিকতা:

অস্বাভাবিকএবং এমন কিফাংশনগুলিকে বলা হয়, যেগুলির গ্রাফগুলির আর্গুমেন্টের চিহ্ন পরিবর্তনের ক্ষেত্রে প্রতিসাম্য রয়েছে৷

অদ্ভুত ফাংশন- একটি ফাংশন যা তার মানকে বিপরীতে পরিবর্তন করে যখন স্বাধীন পরিবর্তনশীলের চিহ্ন পরিবর্তন হয় (স্থানাঙ্কের কেন্দ্র সম্পর্কে প্রতিসম)।

এমনকি ফাংশন- একটি ফাংশন যা তার মান পরিবর্তন করে না যখন স্বাধীন পরিবর্তনশীলের চিহ্ন পরিবর্তিত হয় (অর্ডিনেট সম্পর্কে প্রতিসম)।

জোড় বা বিজোড় ফাংশনও নয় (সাধারণ ফাংশন)- একটি ফাংশন যার প্রতিসাম্য নেই। এই বিভাগে এমন ফাংশন রয়েছে যা পূর্ববর্তী 2টি বিভাগের সাথে খাপ খায় না।

যে ফাংশনগুলি উপরের কোনও বিভাগের অন্তর্গত নয় তাকে বলা হয় জোড় বা বিজোড়ও নয়(বা সাধারণ ফাংশন)।

অদ্ভুত ফাংশন

বিজোড় শক্তি যেখানে একটি নির্বিচারে পূর্ণসংখ্যা।

এমনকি ফাংশন

এমনকি ডিগ্রি যেখানে একটি নির্বিচারে পূর্ণসংখ্যা।

পর্যায়ক্রমিক ফাংশন- একটি ফাংশন যা আর্গুমেন্টের একটি নির্দিষ্ট নিয়মিত ব্যবধানে তার মানগুলির পুনরাবৃত্তি করে, অর্থাৎ, যখন কিছু নির্দিষ্ট অশূন্য সংখ্যা যুক্তিতে যোগ করা হয় তখন তার মান পরিবর্তন করে না ( সময়কালফাংশন) সংজ্ঞার পুরো ডোমেন জুড়ে।

3) একটি ফাংশনের শূন্য (মূল) হল সেই বিন্দু যেখানে এটি অদৃশ্য হয়ে যায়।

একটি অক্ষ সহ একটি গ্রাফের ছেদ বিন্দু খুঁজে বের করা ওয়... এটি করার জন্য, আপনাকে মান গণনা করতে হবে চ(0)। অক্ষের সাথে গ্রাফের ছেদ বিন্দুগুলিও খুঁজুন বলদ, কেন সমীকরণের শিকড় সন্ধান করুন চ(এক্স) = 0 (বা নিশ্চিত করুন যে কোন শিকড় নেই)।

যে বিন্দুতে গ্রাফটি অক্ষ অতিক্রম করে তাকে বলা হয় ফাংশন শূন্য... একটি ফাংশনের শূন্য খুঁজে পেতে, আপনাকে সমীকরণটি সমাধান করতে হবে, অর্থাৎ, খুঁজুন এই মান "x"যেখানে ফাংশনটি অদৃশ্য হয়ে যায়।

4) চিহ্নের স্থিরতার ব্যবধান, তাদের মধ্যে চিহ্ন।

ফাঁক যেখানে f (x) সাইন-সংরক্ষণ করছে।

স্থিরতার ব্যবধান হল ব্যবধান যার প্রতিটি বিন্দুতেফাংশনটি ইতিবাচক বা নেতিবাচক।

অ্যাবসিসা উপরে।

অক্ষের নীচে।

5) ধারাবাহিকতা (ব্রেক পয়েন্ট, ব্রেক ক্যারেক্টার, অ্যাসিম্পটোটস)।

ক্রমাগত ফাংশন- "জাম্পস" ছাড়াই একটি ফাংশন, অর্থাৎ, যেটিতে আর্গুমেন্টের ছোট পরিবর্তন ফাংশনের মানের ছোট পরিবর্তন ঘটায়।

অপসারণযোগ্য বিরতি পয়েন্ট

যদি ফাংশনের সীমা থাকে বিদ্যমান, কিন্তু ফাংশন এই সময়ে সংজ্ঞায়িত করা হয় না, বা সীমা এই সময়ে ফাংশনের মানের সাথে মিলে না:

,

তারপর বিন্দু বলা হয় অপসারণযোগ্য বিচ্ছিন্নতার বিন্দুফাংশন (জটিল বিশ্লেষণে, একটি অপসারণযোগ্য একবচন বিন্দু)।

যদি আমরা একটি অপসারণযোগ্য বিচ্ছিন্নতার বিন্দুতে ফাংশনটিকে "সঠিক" করি এবং রাখি , তাহলে আপনি একটি ফাংশন পাবেন যা এই সময়ে অবিচ্ছিন্ন। একটি ফাংশন উপর এই ধরনের একটি অপারেশন বলা হয় একটি ক্রমাগত একটি ফাংশন সংজ্ঞা প্রসারিত দ্বারাবা ধারাবাহিকতা দ্বারা একটি ফাংশনের সংজ্ঞা প্রসারিত করে, যা বিন্দুর নামটিকে একটি বিন্দু হিসাবে ন্যায়সঙ্গত করে নিষ্পত্তিযোগ্যবিরতি

প্রথম এবং দ্বিতীয় ধরণের ব্রেকপয়েন্ট

যদি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি ফাংশনের একটি বিচ্ছিন্নতা থাকে (অর্থাৎ, একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি ফাংশনের সীমা অনুপস্থিত থাকে বা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি ফাংশনের মানের সাথে মেলে না), তাহলে সাংখ্যিক ফাংশনের জন্য দুটি সম্ভাব্য বিকল্প রয়েছে সংখ্যাসূচক ফাংশনের অস্তিত্বের সাথে যুক্ত একতরফা সীমা:

যদি উভয় একতরফা সীমা বিদ্যমান এবং সসীম হয়, তাহলে এই ধরনের বিন্দু বলা হয় প্রথম ধরনের ব্রেক পয়েন্ট... অপসারণযোগ্য বিরতি পয়েন্ট হল প্রথম ধরনের ব্রেক পয়েন্ট;

যদি অন্তত একটি একতরফা সীমা বিদ্যমান না থাকে বা একটি সীমিত মান না হয়, তাহলে এই ধরনের বিন্দু বলা হয় দ্বিতীয় ধরণের ব্রেক পয়েন্ট.

অ্যাসিম্পটোট - সোজাএই বৈশিষ্ট্যের সাথে বক্ররেখার একটি বিন্দু থেকে এই দূরত্ব সোজাবিন্দুটি শাখা বরাবর অনন্তে সরে যাওয়ার সাথে সাথে শূন্যের দিকে ঝোঁক।

উল্লম্ব

উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট - সীমার রেখা .

একটি নিয়ম হিসাবে, উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোটগুলি নির্ধারণ করার সময়, তারা একটি সীমা নয়, দুটি একতরফা (বাম এবং ডান) সন্ধান করে। এটি বিভিন্ন দিক থেকে উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোটের কাছে যাওয়ার সময় ফাংশনটি কীভাবে আচরণ করে তা নির্ধারণ করার জন্য এটি করা হয়। উদাহরণ স্বরূপ:

অনুভূমিক

অনুভূমিক উপসর্গ - সোজাপ্রজাতির অস্তিত্ব সাপেক্ষে সীমা

.

তির্যক

তির্যক অ্যাসিম্পটোট - সোজাপ্রজাতির অস্তিত্ব সাপেক্ষে সীমা

দ্রষ্টব্য: একটি ফাংশনে সর্বাধিক দুটি তির্যক (অনুভূমিক) উপসর্গ থাকতে পারে।

দ্রষ্টব্য: যদি উপরের দুটি সীমার মধ্যে অন্তত একটি বিদ্যমান না থাকে (বা এর সমান), তাহলে (বা) এ তির্যক অ্যাসিম্পটোটটি বিদ্যমান নেই।

যদি আইটেম 2.), তারপর, এবং সীমা অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়, .

6) একঘেয়েতার ব্যবধান খোঁজা।একটি ফাংশনের একঘেয়েতার ব্যবধান নির্ণয় কর চ(এক্স) (অর্থাৎ, বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধান)। এটি ডেরিভেটিভের চিহ্ন পরীক্ষা করে করা হয় চ(এক্স) এটি করতে, ডেরিভেটিভ খুঁজুন চ(এক্স) এবং অসমতা সমাধান করুন চ(এক্স) 0। ব্যবধানে যেখানে এই অসমতা সন্তুষ্ট হয়, ফাংশন চ(এক্স) বৃদ্ধি পায়। যেখানে বিপরীত অসমতা ধারণ করে চ(এক্স) 0, ফাংশন চ(এক্স) কমে যায়।

একটি স্থানীয় extremum খোঁজা.একঘেয়েতার ব্যবধান খুঁজে পাওয়ার পরে, আমরা অবিলম্বে স্থানীয় চরমের বিন্দুগুলি নির্ধারণ করতে পারি যেখানে বৃদ্ধি হ্রাস দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, স্থানীয় ম্যাক্সিমা অবস্থিত এবং যেখানে হ্রাস বৃদ্ধি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় - স্থানীয় মিনিমা। এই পয়েন্টগুলিতে ফাংশনের মান গণনা করুন। যদি ফাংশনের ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট থাকে যা স্থানীয় এক্সট্রিম পয়েন্ট না হয়, তাহলে এই পয়েন্টগুলিতেও ফাংশনের মান গণনা করা কার্যকর।

একটি অংশে y = f (x) ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি সন্ধান করা(চলবে)

1. একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন: চ(এক্স). 2. যে পয়েন্টে ডেরিভেটিভ শূন্য তা খুঁজুন: চ(এক্স)=0এক্স 1, এক্স 2 ,... 3. কোন পয়েন্ট অন্তর্গত নির্ধারণ করুন এনএস 1 ,এনএস 2 , … অংশটি [ ক; খ]: হতে দিন এক্স 1ক;খ, ক এক্স 2ক;খ . 4. নির্বাচিত পয়েন্টে এবং সেগমেন্টের শেষে ফাংশনের মানগুলি খুঁজুন: চ(এক্স 1), চ(এক্স 2),..., চ(এক্স ক),চ(এক্স খ), 5. যেগুলি পাওয়া গেছে তার থেকে ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলির নির্বাচন। মন্তব্য করুন। যদি সেগমেন্টে [ ক; খ] ব্রেক পয়েন্ট রয়েছে, তাদের মধ্যে একতরফা সীমা গণনা করা প্রয়োজন এবং তারপরে ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি বেছে নেওয়ার ক্ষেত্রে তাদের মানগুলিকে বিবেচনায় নেওয়া উচিত।

7) উত্তল এবং অবতলতার ব্যবধান খুঁজে বের করা... এটি দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের চিহ্ন পরীক্ষা করে করা হয় চ(এক্স) উত্তল এবং অবতল ব্যবধানের সংযোগস্থলে প্রবর্তন বিন্দুগুলি খুঁজুন। ইনফ্লেকশন পয়েন্টে ফাংশনের মান গণনা করুন। যদি ফাংশনের ধারাবাহিকতার অন্যান্য পয়েন্ট থাকে (ইনফ্লেকশন পয়েন্ট ব্যতীত), যেখানে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি 0 এর সমান হয় বা বিদ্যমান না থাকে, তবে এই পয়েন্টগুলিতে ফাংশনের মান গণনা করাও কার্যকর। খুঁজে পেয়ে চ(এক্স), আমরা বৈষম্য সমাধান করি চ(এক্স) 0। প্রতিটি সমাধান অন্তরে, ফাংশনটি নিচের দিকে উত্তল হবে। বিপরীত অসমতা সমাধান চ(এক্স) 0, আমরা ব্যবধানগুলি খুঁজে পাই যেখানে ফাংশনটি ঊর্ধ্বমুখী উত্তল (অর্থাৎ অবতল)। আমরা ইনফ্লেকশন পয়েন্টগুলিকে সেই বিন্দু হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি যেখানে ফাংশনটি উত্তলতার দিক পরিবর্তন করে (এবং অবিচ্ছিন্ন)।

ফাংশন ইনফ্লেকশন পয়েন্টযে বিন্দুতে ফাংশন ক্রমাগত থাকে এবং যা দিয়ে যাওয়ার পরে ফাংশন উত্তলতার দিক পরিবর্তন করে।

অস্তিত্বের শর্ত

একটি ইনফ্লেকশন পয়েন্টের অস্তিত্বের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত:যদি বিন্দুর কিছু ছিদ্রযুক্ত আশেপাশে ফাংশনটি দ্বিগুণ পার্থক্যযোগ্য হয়, তবে হয় .

আড়াল শো

একটি ফাংশন সেট করার পদ্ধতি

ফাংশনটি সূত্র দ্বারা দেওয়া যাক: y = 2x ^ (2)-3। স্বাধীন ভেরিয়েবল x-এ যেকোনো মান নির্ধারণ করে, আপনি এই সূত্রটি ব্যবহার করে নির্ভরশীল ভেরিয়েবল y-এর সংশ্লিষ্ট মানগুলি গণনা করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, যদি x = -0.5, তাহলে সূত্রটি ব্যবহার করে, আমরা পাই যে y এর সংশ্লিষ্ট মান হল y = 2 \ cdot (-0.5) ^ (2) -3 = -2.5।

y = 2x ^ (2) -3 সূত্রে x আর্গুমেন্ট দ্বারা গৃহীত যেকোনো মান নিয়ে, আপনি শুধুমাত্র একটি ফাংশন মান গণনা করতে পারেন যা এটির সাথে মিলে যায়। ফাংশনটি একটি টেবিল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

এক্স	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

এই টেবিলটি ব্যবহার করে, আপনি বুঝতে পারবেন যে আর্গুমেন্ট −1-এর মানের জন্য, −3 ফাংশনের মান মিলবে; এবং x = 2 মানটি y = 0 এর সাথে মিলে যাবে এবং আরও অনেক কিছু। এটা জানাও গুরুত্বপূর্ণ যে শুধুমাত্র একটি ফাংশন মান টেবিলের আর্গুমেন্টের প্রতিটি মানের সাথে মিলে যায়।

গ্রাফ ব্যবহার করে ফাংশন সংজ্ঞায়িত করাও সম্ভব। গ্রাফের সাহায্যে, ফাংশনের কোন মানটি x এর একটি নির্দিষ্ট মানের সাথে মিলে যায় তা প্রতিষ্ঠিত হয়। প্রায়শই, এটি ফাংশনের আনুমানিক মান হবে।

জোড় এবং বিজোড় ফাংশন

ফাংশন হল এমনকি ফাংশনযখন ডোমেইন থেকে যেকোনো x এর জন্য f (-x) = f (x)। এই ধরনের একটি ফাংশন Oy অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম হবে।

ফাংশন হল অদ্ভুত ফাংশনযখন f (-x) = - ডোমেইন থেকে যেকোনো x এর জন্য f (x)। এই ধরনের একটি ফাংশন উৎপত্তি O (0; 0) সম্পর্কে প্রতিসম হবে।

ফাংশন হল এমনকি না, বা অদ্ভুত নাএবং কল সাধারণ ফাংশনযখন এটি একটি অক্ষ বা উত্স সম্পর্কে প্রতিসম নয়।

আসুন সমতার জন্য নীচের ফাংশনটি পরীক্ষা করি:

f (x) = 3x ^ (3) -7x ^ (7)

D (f) = (- \ infty; + \ infty) উৎপত্তির চারপাশে প্রতিসম ডোমেন সহ। f(-x) = 3 \ cdot (-x) ^ (3) -7 \ cdot (-x) ^ (7) = -3x ^ (3) + 7x ^ (7) = - (3x ^ (3) -7x ^ (7)) = -f (x).

সুতরাং, ফাংশন f (x) = 3x ^ (3) -7x ^ (7) বিজোড়।

পর্যায়ক্রমিক ফাংশন

ফাংশন y = f (x), যে ডোমেনে সমতা f (x + T) = f (x-T) = f (x) যেকোন x এর জন্য ধরে, তাকে বলা হয় পর্যায়ক্রমিক ফাংশনপিরিয়ড T \ neq 0 সহ।

অ্যাবসিসা অক্ষের যেকোনো অংশে একটি ফাংশনের গ্রাফের পুনরাবৃত্তি, যার দৈর্ঘ্য T আছে।

ব্যবধান যেখানে ফাংশনটি ধনাত্মক, অর্থাৎ, f (x)> 0 হল অ্যাবসিসা অক্ষের সেগমেন্ট, যা অ্যাবসিসা অক্ষের উপরে থাকা ফাংশন গ্রাফের বিন্দুগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

f(x)>0 অন (x_ (1); x_ (2)) \ কাপ (x_ (3); + \ infty)

ফাঁক যেখানে ফাংশন নেতিবাচক, যেমন f (x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

চ (এক্স)< 0 на (- \ infty; x_ (1)) \ কাপ (x_ (2); x_ (3))

সীমিত ফাংশন

নিচ থেকে আবদ্ধএটি একটি ফাংশন y = f (x), x \ এ কল করার প্রথাগত যখন একটি সংখ্যা A থাকে যার জন্য অসমতা f (x) \ geq A যে কোনো x এর জন্য ধারণ করে।

নিচে থেকে আবদ্ধ একটি ফাংশনের উদাহরণ: y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) যেহেতু y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) \ geq 1 যেকোনো x এর জন্য।

উপরে আবদ্ধএকটি ফাংশন y = f (x), x \ in X বলা হয় যদি একটি সংখ্যা B থাকে যার জন্য অসমতা f (x) \ neq B যে কোনো x এর জন্য X ধারণ করে।

নীচে থেকে আবদ্ধ একটি ফাংশনের একটি উদাহরণ: y = \ sqrt (1-x ^ (2)), x \ in [-1; 1]যেহেতু y = \sqrt (1 + x ^ (2)) \neq 1 যেকোনো x এর জন্য \ in [-1; 1]।

লিমিটেডএটি একটি ফাংশন y = f (x), x \ এ কল করার প্রথাগত যখন একটি সংখ্যা K> 0 থাকে যার জন্য অসমতা \ বাম | f (x) \ ডান | X-এ যেকোনো x এর জন্য \neq K।

একটি আবদ্ধ ফাংশনের একটি উদাহরণ: y = \ sin x সম্পূর্ণ সংখ্যা অক্ষের উপর আবদ্ধ, যেহেতু \ বাম | \sin x \ right | \neq 1.

ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাস ফাংশন

এটি একটি ফাংশন কথা বলতে প্রথাগত যা বিবেচনাধীন ব্যবধানে বৃদ্ধি পায় ক্রমবর্ধমান ফাংশনতারপর, যখন x এর একটি বড় মান y = f (x) ফাংশনের একটি বড় মানের সাথে মিলবে। সুতরাং এটি অনুসরণ করে যে বিবেচনাধীন ব্যবধান থেকে যুক্তি x_ (1) এবং x_ (2), এবং x_ (1)> x_ (2) এর দুটি স্বেচ্ছাচারী মান গ্রহণ করলে y (x_ (1))> y হবে (x_ (2))।

বিবেচনাধীন ব্যবধানে যে ফাংশন হ্রাস পায় তাকে বলা হয় ফাংশন হ্রাসতারপর, যখন x এর বড় মান y (x) ফাংশনের ছোট মানের সাথে মিলে যাবে। সুতরাং এটি অনুসরণ করে যে বিবেচনাধীন ব্যবধান থেকে যুক্তি x_ (1) এবং x_ (2), এবং x_ (1)> x_ (2) এর দুটি স্বেচ্ছাচারী মান গ্রহণ করলে y (x_ (1)) হবে< y(x_{2}) .

রুটেড ফাংশনযে বিন্দুতে F = y (x) ফাংশনটি অ্যাবসিসা অক্ষকে ছেদ করে সেগুলিকে কল করার প্রথাগত (এগুলি y (x) = 0 সমীকরণের সমাধানের ফলে প্রাপ্ত হয়)।

ক) যদি x> 0 এর জন্য একটি জোড় ফাংশন বৃদ্ধি পায়, তবে এটি x এর জন্য হ্রাস পায়< 0

b) যখন একটি জোড় ফাংশন x> 0 এর জন্য হ্রাস পায়, তখন এটি x এর জন্য বৃদ্ধি পায়< 0

c) কখন x>0 এর জন্য অদ্ভুত ফাংশনবৃদ্ধি পায়, তারপর এটি x এর জন্যও বৃদ্ধি পায়< 0

d) যখন x> 0 এর জন্য একটি বিজোড় ফাংশন হ্রাস পায়, তখন এটি x এর জন্য হ্রাস পায়< 0

ফাংশন চরম

ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু y = f (x) একটি বিন্দুকে x = x_ (0) বলা প্রথাগত, যেখানে এর আশেপাশে অন্যান্য বিন্দু থাকবে (বিন্দু x = x_ (0) ব্যতীত), এবং তাদের জন্য তখন অসমতা f (x) )> f (x_ (0))। y_ (মিনিট) - বিন্দু মিনিটে ফাংশনের উপাধি।

ফাংশনের সর্বোচ্চ বিন্দু y = f (x) এমন একটি বিন্দুকে x = x_ (0) বলা প্রথাগত, যেখানে এর আশেপাশে অন্যান্য বিন্দু থাকবে (বিন্দু x = x_ (0) ব্যতীত), এবং তাদের জন্য তখন অসমতা f ( এক্স)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

প্রয়োজনীয় শর্ত

ফার্মাটের উপপাদ্য অনুসারে: f "(x) = 0 যদি ফাংশন f (x), যা x_ (0) বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য, এই বিন্দুতে একটি এক্সট্রিমাম থাকে।

যথেষ্ট শর্ত

1. যখন ডেরিভেটিভের চিহ্ন প্লাস থেকে বিয়োগে পরিবর্তিত হয়, তখন x_ (0) হবে সর্বনিম্ন বিন্দু;
2. x_ (0) - একটি সর্বাধিক বিন্দু হবে যখন ডেরিভেটিভ পরিবর্তনগুলি স্থির বিন্দু x_ (0) এর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় বিয়োগ থেকে প্লাসে চিহ্ন দেয়।

ব্যবধানে ফাংশনের সবচেয়ে বড় এবং ক্ষুদ্রতম মান

গণনার ধাপ:

1. ডেরিভেটিভ f "(x) খুঁজছি;
2. ফাংশনের স্থির এবং সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি পাওয়া যায় এবং সেগমেন্টের অন্তর্গতগুলি নির্বাচন করা হয়;
3. f (x) ফাংশনের মানগুলি স্থির এবং সমালোচনামূলক বিন্দু এবং সেগমেন্টের প্রান্তে পাওয়া যায়। প্রাপ্ত ফলাফল কম হবে ক্ষুদ্রতম মানফাংশন, এবং আরো - সর্বশ্রেষ্ঠ.

এমন কিযদি সবার জন্য \ (x \) এর সংজ্ঞার ডোমেন থেকে এটি সত্য হয়: \ (f (-x) = f (x) \)।

একটি জোড় ফাংশনের গ্রাফটি \ (y \) অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম:

উদাহরণ: ফাংশন \ (f (x) = x ^ 2 + \ cos x \) জোড়, কারণ \ (f (-x) = (- x) ^ 2 + \ cos ((- x)) = x ^ 2 + \ cos x = f (x) \).

\ (\ blacktriangleright \) \ (f (x) \) ফাংশনটিকে বলা হয় অস্বাভাবিকযদি তার ডোমেন থেকে \ (x \) সকলের জন্য এটি সত্য হয়: \ (f (-x) = - f (x) \)।

একটি বিজোড় ফাংশনের গ্রাফটি উত্স সম্পর্কে প্রতিসম:

উদাহরণ: ফাংশন \ (f (x) = x ^ 3 + x \) বিজোড় কারণ \ (f (-x) = (- x) ^ 3 + (- x) = - x ^ 3-x = - (x ^ 3 + x) = - f (x) \).

\ (\ blacktriangleright \) যে ফাংশনগুলি জোড় বা বিজোড় নয় তাকে জেনেরিক ফাংশন বলে। এই ধরনের একটি ফাংশন সর্বদা অনন্যভাবে একটি জোড় এবং একটি বিজোড় ফাংশনের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন \ (f (x) = x ^ 2-x \) একটি জোড় ফাংশনের যোগফল \ (f_1 = x ^ 2 \) এবং একটি বিজোড় \ (f_2 = -x \)।

\ (\ কালো ট্রায়াঙ্গেলরাইট \) কিছু বৈশিষ্ট্য:

1) একই প্যারিটির দুটি ফাংশনের গুণফল এবং ভাগফল একটি জোড় ফাংশন।

2) ভিন্ন সমতার দুটি ফাংশনের গুণফল এবং ভাগফল একটি বিজোড় ফাংশন।

3) জোড় ফাংশনের যোগফল এবং পার্থক্য একটি জোড় ফাংশন।

4) বিজোড় ফাংশনের যোগফল এবং পার্থক্য একটি বিজোড় ফাংশন।

5) যদি \ (f (x) \) একটি জোড় ফাংশন হয়, তাহলে সমীকরণ \ (f (x) = c \ (c \ in \ mathbb (R) \)) একটি অনন্য মূল আছে যদি এবং শুধুমাত্র যদি, যখন \ (x = 0 \)।

6) যদি \ (f (x) \) একটি জোড় বা বিজোড় ফাংশন হয় এবং \ (f (x) = 0 \) সমীকরণটির একটি মূল \ (x = b \) থাকে, তাহলে এই সমীকরণটিতে অবশ্যই একটি সেকেন্ড থাকবে root \ (x = -b \)।

\ (\ blacktriangleright \) একটি ফাংশন \ (f (x) \) কে পর্যায়ক্রমিক বলা হয় \ (X \) যদি \ (f (x) = f (x + T) \), যেখানে \ (x, x + T) \ in X \)। ক্ষুদ্রতম \ (T \) যার জন্য এই সমতা ধারণ করে তাকে ফাংশনের প্রধান (প্রধান) সময়কাল বলা হয়।

একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনে \ (nT \) ফর্মের যে কোনও সংখ্যা থাকে, যেখানে \ (n \ in \ mathbb (Z) \) একটি পর্যায়ও হবে।

উদাহরণ: যেকোনো ত্রিকোণমিতিক ফাংশনপর্যায়ক্রমিক;
ফাংশনের জন্য \ (f (x) = \ sin x \) এবং \ (f (x) = \ cos x \), প্রধান সময়কাল হল \ (2 \ pi \), ফাংশনের জন্য \ (f (x) = \ mathrm ( tg) \, x \) এবং \ (f (x) = \ mathrm (ctg) \, x \) প্রধান সময়কাল \ (\ pi \)।

একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের একটি গ্রাফ প্লট করার জন্য, আপনি দৈর্ঘ্য \ (T \) (প্রধান সময়কাল) এর যেকোনো অংশে এর গ্রাফ প্লট করতে পারেন; তারপর সম্পূর্ণ ফাংশনের গ্রাফটি একটি পূর্ণসংখ্যা পিরিয়ড দ্বারা নির্মিত অংশটিকে ডান এবং বামে স্থানান্তর করার মাধ্যমে সম্পন্ন হয়:

\ (\ blacktriangleright \) একটি ফাংশনের ডোমেন \ (D (f) \) \ (f (x) \) হল একটি সেট যা \ (x \) আর্গুমেন্টের সমস্ত মান নিয়ে গঠিত যার জন্য ফাংশনটি অর্থপূর্ণ (সংজ্ঞায়িত)।

উদাহরণ: ফাংশন \ (f (x) = \ sqrt x + 1 \) এর সুযোগ রয়েছে: \ (x \ in

টাস্ক 1 # 6364

টাস্ক লেভেল: পরীক্ষার সমান

প্যারামিটারের কোন মানের জন্য \ (a \) সমীকরণ

একমাত্র সমাধান আছে?

মনে রাখবেন যেহেতু \ (x ^ 2 \) এবং \ (\ cos x \) জোড় ফাংশন, তাহলে যদি সমীকরণটির একটি রুট \ (x_0 \) থাকে, তাহলে এটিরও একটি রুট \ (- x_0 \) থাকবে।
প্রকৃতপক্ষে, ধরুন \ (x_0 \) একটি মূল, অর্থাৎ সমতা \ (2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \)অধিকার বিকল্প \ (- x_0 \): \ (2 (-x_0) ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos (-x_0)) + a ^ 2 = 2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \).

এইভাবে, যদি \ (x_0 \ ne 0 \), তাহলে সমীকরণটির অন্তত দুটি মূল থাকবে। অতএব, \ (x_0 = 0 \)। তারপর:

আমরা \ (a \) প্যারামিটারের জন্য দুটি মান পেয়েছি। মনে রাখবেন যে আমরা এই সত্যটি ব্যবহার করেছি যে \ (x = 0 \) মূল সমীকরণের ঠিক মূল। কিন্তু আমরা কখনই এই সত্যটি ব্যবহার করিনি যে তিনিই একমাত্র। তাই, মূল সমীকরণে পরামিতি \ (a \) এর ফলের মানগুলি প্রতিস্থাপন করা প্রয়োজন এবং কোনটির জন্য \ (a \) মূল \ (x = 0 \) সত্যিই অনন্য হবে তা পরীক্ষা করা প্রয়োজন।

1) যদি \ (a = 0 \), তাহলে সমীকরণটি \ (2x ^ 2 = 0 \) রূপ নেয়। স্পষ্টতই, এই সমীকরণের একটি মাত্র মূল \ (x = 0 \) আছে। অতএব, মান \ (a = 0 \) আমাদের জন্য উপযুক্ত।

2) যদি \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \), তাহলে সমীকরণটি রূপ নেয় \ আমরা সমীকরণটি হিসাবে পুনরায় লিখি \ কারণ \ (- 1 \ leqslant \ cos x \ leqslant 1 \), তারপর \ (- \ mathrm (tg) \, 1 \ leqslant \ mathrm (tg) \, (\ cos x) \ leqslant \ mathrm (tg) \, 1 \)... ফলস্বরূপ, সমীকরণ (*) এর ডানদিকের মানগুলি সেগমেন্টের অন্তর্গত \ ([- \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1; \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1] \).

যেহেতু \ (x ^ 2 \ geqslant 0 \), সমীকরণের বাম দিক (*) \ (0+ \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \) এর চেয়ে বড় বা সমান।

সুতরাং, সমতা (*) তখনই ধরে রাখতে পারে যখন সমীকরণের উভয় দিকই \ (\ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \) হয়। এই যে মানে \ [\ begin (cases) 2x ^ 2 + \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \\ \ mathrm (tg) \, 1 \ cdot \ mathrm (tg) \ , (\ cos x) = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ begin (cases) x = 0 \\ \ mathrm (tg) \, (\ cos x) = \ mathrm (tg) \, 1 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad x = 0 \]অতএব, মান \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \) আমাদের জন্য উপযুক্ত।

উত্তর:

\ (a \ in \ (- \ mathrm (tg) \, 1; 0 \) \)

কোয়েস্ট 2 # 3923

টাস্ক লেভেল: পরীক্ষার সমান

পরামিতি \ (a \) এর সমস্ত মান খুঁজুন, যার প্রতিটির জন্য ফাংশনের গ্রাফ \

উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম।

যদি একটি ফাংশনের গ্রাফ উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম হয়, তাহলে এই ধরনের একটি ফাংশন বিজোড়, অর্থাৎ, \ (f (-x) = - f (x) \) এর ডোমেইন থেকে যেকোনো \ (x \) এর জন্য ধারণ করে। ফাংশন সুতরাং, প্যারামিটারের সেই মানগুলি খুঁজে বের করতে হবে যার জন্য \ (f (-x) = - f (x)। \)

\ [\ begin (সারিবদ্ধ) & 3 \ mathrm (tg) \, \ left (- \ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ left (3 \ mathrm (tg) \, \ left (\ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ quad \ Rightarrow \ quad -3 \ mathrm (tg) \ , \ dfrac (ax) 5 + 2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ left (3 \ mathrm (tg) \, \ left (\ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ quad \ Rightarrow \\ \ Rightarrow \ quad & \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ sin \ dfrac (8 \ pi a - 3x) 4 = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad2 \ sin \ dfrac12 \ left (\dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ cdot \ cos \ dfrac12 \ left (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4- \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ sin (2 \ pi a) \ cdot \ cos \ frac34 x = 0 \ end (সারিবদ্ধ) \]

শেষ সমীকরণটি অবশ্যই ডোমেইন থেকে \ (x \) সকলের জন্য সন্তুষ্ট হতে হবে \ (f (x) \), তাই, \ (\ sin (2 \ pi a) = 0 \ Rightarrow a = \ dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \).

উত্তর:

\ (\ dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \)

কোয়েস্ট 3 # 3069

টাস্ক লেভেল: পরীক্ষার সমান

পরামিতি \ (a \) এর সমস্ত মান খুঁজুন, যার প্রতিটির জন্য সমীকরণ \-এর 4টি সমাধান রয়েছে, যেখানে \ (f \) পর্যায়ক্রম সহ একটি জোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন \ (T = \ dfrac (16) 3 \) সম্পূর্ণ সংখ্যা লাইনে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং \ (f (x) = ax^ 2 \) এর জন্য \ (0 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83। \)

(সাবস্ক্রাইবারদের থেকে চ্যালেঞ্জ)

কোয়েস্ট 4 # 3072

টাস্ক লেভেল: পরীক্ষার সমান

সমস্ত মান খুঁজুন \ (a \), যার প্রতিটির জন্য সমীকরণ \

অন্তত একটি রুট আছে.

(সাবস্ক্রাইবারদের থেকে চ্যালেঞ্জ)

আমরা সমীকরণটি হিসাবে পুনরায় লিখি \ এবং দুটি ফাংশন বিবেচনা করুন: \ (g (x) = 7 \ sqrt (2x ^ 2 + 49) \) এবং \ (f (x) = 3 | x-7a | -6 | x | -a ^ 2 + 7a \ )
ফাংশন \ (g (x) \) সমান, একটি ন্যূনতম বিন্দু আছে \ (x = 0 \) (এছাড়াও, \ (g (0) = 49 \))।
\ (x> 0 \) এর জন্য \ (f (x) \) ফাংশনটি হ্রাস পাচ্ছে এবং \ (x) এর জন্য<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
প্রকৃতপক্ষে, \ (x> 0 \) দ্বিতীয় মডিউলটি ইতিবাচকভাবে প্রসারিত হয় (\ (| x | = x \)), অতএব, প্রথম মডিউলটি যেভাবে প্রসারিত হোক না কেন, \ (f (x) \) \ এর সমান হবে ( kx + A \), যেখানে \ (A \) \ (a \) থেকে একটি রাশি এবং \ (k \) হয় \ (- 9 \) বা \ (- 3 \)। জন্য \ (x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
সর্বোচ্চ বিন্দুতে \ (f \) মান খুঁজুন: \

সমীকরণের অন্তত একটি সমাধানের জন্য, \ (f \) এবং \ (g \) ফাংশনের গ্রাফগুলিতে অন্তত একটি ছেদ বিন্দু থাকতে হবে। অতএব, আপনার প্রয়োজন: \ সিস্টেমের এই সেটটি সমাধান করে, আমরা উত্তর পাই: \\]

উত্তর:

\ (a \ in \ (- 7 \) \ কাপ \)

টাস্ক 5 # 3912

টাস্ক লেভেল: পরীক্ষার সমান

পরামিতি \ (a \) এর সমস্ত মান খুঁজুন, যার প্রতিটির জন্য সমীকরণ \

ছয়টি ভিন্ন সমাধান আছে।

প্রতিস্থাপন করা যাক \ ((\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t \), \ (t> 0 \)। তারপর সমীকরণ রূপ নেয় \ আমরা ধীরে ধীরে লিখব যে শর্তগুলির অধীনে মূল সমীকরণের ছয়টি সমাধান থাকবে।
লক্ষ্য করুন দ্বিঘাত সমীকরণ\ ((*) \) সর্বাধিক দুটি সমাধান থাকতে পারে। যেকোনো ঘন সমীকরণ \ (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0 \) সর্বাধিক তিনটি সমাধান থাকতে পারে। অতএব, যদি \ ((*) \) সমীকরণের দুটি ভিন্ন সমাধান থাকে (ধনাত্মক!, যেহেতু \ (t \) অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে) \ (t_1 \) এবং \ (t_2 \), তারপর, বিপরীতটি তৈরি করে পরিবর্তন, আমরা পাই: \ [\ left [\ begin (acthered) \ begin (aligned) & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t_1 \\ & (\sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 +4) = t_2 \ শেষ (সারিবদ্ধ) \ শেষ (সংগৃহীত) \ ডান। \]যেহেতু যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যাকে কিছু পরিমাণে \ (\ sqrt2 \) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, \ (t_1 = (\ sqrt2) ^ (\ log _ (\ sqrt2) t_1) \), তারপর সেটের প্রথম সমীকরণটি হিসাবে পুনরায় লেখা হবে \ আমরা আগেই বলেছি, যেকোনো ঘন সমীকরণের সর্বাধিক তিনটি সমাধান থাকে, তাই, সেট থেকে প্রতিটি সমীকরণের সর্বাধিক তিনটি সমাধান থাকবে। এর মানে হল যে পুরো সেটটিতে ছয়টির বেশি সমাধান থাকবে না।
এর মানে হল যে মূল সমীকরণের ছয়টি সমাধানের জন্য, দ্বিঘাত সমীকরণ \ ((*) \) এর দুটি ভিন্ন সমাধান থাকতে হবে এবং প্রতিটি প্রাপ্ত ঘন সমীকরণের (সেট থেকে) তিনটি ভিন্ন সমাধান থাকতে হবে (তাছাড়া, একটির কোনো সমাধান নেই) সমীকরণ অবশ্যই কোনটির সাথে মিলবে - বা দ্বিতীয়টির সিদ্ধান্তের দ্বারা!)
স্পষ্টতই, দ্বিঘাত সমীকরণ \ ((*) \) এর একটি সমাধান থাকলে, আমরা মূল সমীকরণের ছয়টি সমাধান পাব না।

সুতরাং, সমাধান পরিকল্পনা পরিষ্কার হয়ে যায়। আসুন যে শর্তগুলি পূরণ করতে হবে তা লিখুন, পয়েন্ট বাই পয়েন্ট।

1) সমীকরণের জন্য \ ((*) \) দুটি ভিন্ন সমাধান থাকতে, এর বৈষম্য অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে: \

2) ধনাত্মক হওয়ার জন্য আপনার উভয় মূলেরও প্রয়োজন (যেহেতু \ (t> 0 \))। যদি দুটি মূলের গুণফল ধনাত্মক হয় এবং তাদের যোগফল ধনাত্মক হয়, তাহলে মূলগুলি নিজেই ধনাত্মক হবে। অতএব, আপনার প্রয়োজন: \ [\ begin (cases) 12-a> 0 \\ - (a-10)> 0 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad a<10\]

এইভাবে, আমরা ইতিমধ্যেই দুটি ভিন্ন ইতিবাচক মূল \ (t_1 \) এবং \ (t_2 \) দিয়েছি।

3) এমন একটি সমীকরণ দেখে নেওয়া যাক \ কোনটির জন্য \(t \) এর তিনটি ভিন্ন সমাধান থাকবে?
ফাংশনটি বিবেচনা করুন \ (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \)।
ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে: \ অতএব, এর শূন্য হল \ (x = -1; 2 \)।
যদি আমরা ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই \(f "(x) = 3x ^ 2-6x \), তাহলে আমরা দুটি চরম বিন্দু পাব \ (x_ (সর্বোচ্চ) = 0, x_ (মিনিট) = 2 \)।
সুতরাং, গ্রাফটি এইরকম দেখায়:


আমরা দেখি যে কোন অনুভূমিক রেখা \ (y = k \), যেখানে \ (0 \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t \)তিনটি ভিন্ন সমাধান ছিল, এটি প্রয়োজনীয় যে \ (0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
সুতরাং, আপনার প্রয়োজন: \ [\ শুরু (কেস) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] আসুন অবিলম্বে লক্ষ্য করি যে যদি সংখ্যাগুলি \ (t_1 \) এবং \ (t_2 \) ভিন্ন হয়, তাহলে সংখ্যাগুলি \ (\ log _ (\ sqrt2) t_1 \) এবং \ (\ log _ (\ sqrt2) t_2 \) ভিন্ন হবে, তাই, সমীকরণ \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_1 \)এবং \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_2 \)অমিল শিকড় থাকবে।
\ ((**) \) সিস্টেমটি নিম্নরূপ পুনর্লিখন করা যেতে পারে: \ [\ শুরু (মামলা) 1

এইভাবে, আমরা স্থির করেছি যে \ ((*) \) সমীকরণের উভয় মূলই অবশ্যই ব্যবধানে থাকবে \ ((1; 4) \)। আপনি এই শর্ত কিভাবে লিখবেন?
আমরা শিকড়গুলি স্পষ্টভাবে লিখব না।
ফাংশনটি বিবেচনা করুন \ (g (t) = t ^ 2 + (a-10) t + 12-a \)। এর গ্রাফটি ঊর্ধ্বগামী শাখা সহ একটি প্যারাবোলা, যেটির আবসিসা অক্ষের সাথে দুটি ছেদ বিন্দু রয়েছে (আমরা এই শর্তটি বিন্দু 1) এ লিখেছি)। এর গ্রাফটি কেমন হওয়া উচিত যাতে অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দুগুলি \ ((1; 4) \) ব্যবধানে থাকে? তাই:


প্রথমে, \ (1 \) এবং \ (4 \) বিন্দুতে ফাংশনের \ (g (1) \) এবং \ (g (4) \) মানগুলি অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে এবং দ্বিতীয়ত, এর শীর্ষবিন্দু প্যারাবোলা \ (t_0 \ ) অবশ্যই \ ((1; 4) \) পরিসরে থাকতে হবে। অতএব, আমরা সিস্টেম লিখতে পারি: \ [\ শুরু (কেস) 1 + a-10 + 12-a> 0 \\ 4 ^ 2 + (a-10) \ cdot 4 + 12-a> 0 \\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4

এইভাবে, আমাদের 1ম, 2য় এবং 3য় বিন্দুতে পাওয়া \(a \) প্যারামিটারের মানগুলিকে ছেদ করতে হবে এবং আমরা উত্তরটি পাই: \ [\ শুরু (কেস) a \ in (- \ infty; 8-2 \ sqrt3) \ cup (8 + 2 \ sqrt3; + \ infty) \\ a<10\\ 4