İkitərəfli üçbucaq. Nümunələrlə ətraflı nəzəriyyə (2020)
İkitərəfli üçbucağın xassələri aşağıdakı teoremləri ifadə edir.
Teorem 1. İkitərəfli üçbucaqda təməldəki bucaqlar bərabərdir.
Teorem 2. İkitərəfli üçbucaqda bazaya olan bissektrisa median və hündürlükdür.
Teorem 3. İkitərəfli üçbucaqda bazaya çəkilmiş median bissektrisa və hündürlükdür.
Teorem 4. İkitərəfli üçbucaqda bazaya çəkilmiş hündürlük bissektrisa və mediana bərabərdir.
Onlardan birini isbat edək, məsələn, Teorem 2.5.
Sübut. Əsası BC olan ikitərəfli ABC üçbucağına nəzər salın və sübut edin ki, ∠ B = ∠ C. AD ABC üçbucağının bissektrisa olsun (şək. 1). ABD və ACD üçbucaqları üçbucaqların bərabərliyinin birinci əlaməti ilə bərabərdir (AB = AC şərtlə, AD ümumi tərəfdir, ∠ 1 = ∠ 2, çünki AD bisektrisadır). Bu üçbucaqların bərabərliyindən belə çıxır ki, ∠ B = ∠ C. Teorem isbat olunur.
Teorem 1-dən istifadə edərək aşağıdakı teorem qurulur.
Teorem 5. Üçbucaqların bərabərliyinin üçüncü meyarı. Əgər bir üçbucağın üç tərəfi müvafiq olaraq digər üçbucağın üç tərəfinə bərabərdirsə, belə üçbucaqlar bərabərdir (şək. 2).
Şərh. 1 və 2-ci misallarda verilmiş cümlələr xətt seqmentinə perpendikulyar olan orta nöqtənin xassələrini ifadə edir. Bu cümlələrdən belə çıxır ki üçbucağın tərəflərinə orta perpendikulyarlar bir nöqtədə kəsişir.
Misal 1. Sübut edin ki, seqmentin uclarından bərabər məsafədə olan müstəvi nöqtəsi bu seqmentə perpendikulyardır.
Həll. M nöqtəsi AB seqmentinin uclarından bərabər məsafədə olsun (şəkil 3), yəni AM = BM.
Onda Δ AMB ikitərəflidir. AB seqmentinin M nöqtəsindən və orta O nöqtəsindən p düz xətti çəkək. Quruluşuna görə MO seqmenti AMB ikitərəfli üçbucağının medianıdır və buna görə də (Teorem 3), hündürlüyü, yəni MO düz xətti isə AB seqmentinə perpendikulyar medianı təşkil edir.
Misal 2. Seqmentə perpendikulyar olan hər bir nöqtənin onun uclarından bərabər məsafədə olduğunu sübut edin.
Həll. p AB seqmentinə perpendikulyar orta nöqtə və O nöqtəsi - AB seqmentinin orta nöqtəsi olsun (şək. 3-ə baxın).
p xəttində yerləşən ixtiyari M nöqtəsini nəzərdən keçirək. AM və VM seqmentlərini çəkək. AOM və PTO üçbucaqları bərabərdir, çünki onların O zirvəsində düz bucaqları var, ayaq OM ümumidir və ayaq OA şərti ilə OB ayağına bərabərdir. AOM və PTO üçbucaqlarının bərabərliyindən belə çıxır ki, AM = BM.
Misal 3. ABC üçbucağında (şək. 4-ə bax) AB = 10 sm, BC = 9 sm, AC = 7 sm; üçbucaqda DEF DE = 7 sm, EF = 10 sm, FD = 9 sm.
ABC və DEF üçbucaqlarını müqayisə edin. Müvafiq olaraq tapın bərabər açılar.
Həll. Bu üçbucaqlar üçüncü atributda bərabərdir. Müvafiq olaraq, bərabər bucaqlar: A və E (BC və FD bərabər tərəflərinin qarşısında yerləşir), B və F (AC və DE bərabər tərəflərinin qarşısında yerləşir), C və D (AB və EF bərabər tərəflərinin qarşısında yerləşir).
Misal 4.Şəkil 5-də AB = DC, BC = AD, ∠B = 100 °.
D bucağını tapın.
Həll. ABC və ADC üçbucaqlarını nəzərdən keçirək. Onlar üçüncü meyarda bərabərdirlər (Şərtlə AB = DC, BC = AD və AC tərəfi ümumidir). Bu üçbucaqların bərabərliyindən belə çıxır ki, ∠ В = ∠ D, lakin V bucağı 100 ° -ə bərabərdir, bu da D bucağının 100 ° -ə bərabər olduğunu bildirir.
Misal 5.Əsası AC olan ABC ikitərəfli üçbucağında C təpəsindəki xarici bucaq 123 °-dir. ABC bucağını tapın. Cavabınızı dərəcələrlə verin.
Video həlli.
Sivilizasiyamızın ilk tarixçiləri – qədim yunanlar Misiri həndəsənin vətəni kimi qeyd edirlər. Fironların nəhəng məzarlarının necə heyrətamiz dəqiqliklə ucaldıldığını bilə-bilə onlarla razılaşmamaq çətindir. Piramidaların müstəvilərinin qarşılıqlı düzülüşü, onların nisbətləri, kardinal nöqtələrə yönəldilməsi - belə mükəmməlliyə nail olmaq həndəsənin əsaslarını bilmədən ağlasığmaz olardı.
“Həndəsə” sözünün özü “yerin ölçülməsi” kimi tərcümə oluna bilər. Üstəlik, "yer" sözü bir planet - hissə rolunu oynamır Günəş sistemi, lakin təyyarə kimi. Baxım üçün ərazilərin işarələnməsi Kənd təsərrüfatı, çox güman ki, həndəsi fiqurlar, onların növləri və xassələri elminin çox orijinal əsasıdır.
Üçbucaq planimetriyanın ən sadə fəza fiqurudur, yalnız üç nöqtəni - təpələri (heç vaxt az deyil) ehtiva edir. Vəqflərin əsası, bəlkə də, onda sirli və qədim bir şeyin görünməsidir. Üçbucağın içindəki hər şeyi görən göz, məlum olan ən erkən gizli əlamətlərdən biridir və onun yayılma coğrafiyası və zaman çərçivəsi sadəcə heyrətamizdir. Qədim Misir, Şumer, Aztek və digər sivilizasiyalardan tutmuş, dünyaya səpələnmiş daha müasir gizli icmalara qədər.
Üçbucaqlar nədir
Adi çox yönlü üçbucaq qapalıdır həndəsi fiqur, müxtəlif uzunluqlu üç seqmentdən və heç biri düz olmayan üç bucaqdan ibarətdir. Ona əlavə olaraq bir neçə xüsusi növ var.
Kəskin bucaqlı üçbucağın bütün bucaqları 90 dərəcədən azdır. Başqa sözlə, belə bir üçbucağın bütün küncləri kəskindir.
Məktəblilərin hər zaman teoremlərin bolluğundan ağladığı düzbucaqlı üçbucağın 90 dərəcə böyüklüyü olan bir bucağı və ya deyildiyi kimi, düz bir xətt var.
Küt üçbucaq onun künclərindən birinin küt olması, yəni böyüklüyünün 90 dərəcədən çox olması ilə fərqlənir.
Bərabərtərəfli üçbucağın eyni uzunluqda üç tərəfi var. Belə bir rəqəm üçün bütün bucaqlar da bərabərdir.
Və nəhayət, bir isosceles üçbucağında üç tərəf ikisi bərabərdir.
Fərqli xüsusiyyətlər
İkitərəfli üçbucağın xüsusiyyətləri də onun əsas, əsas fərqini - iki tərəfin bərabərliyini müəyyənləşdirir. Bu bərabər tərəflər adətən itburnu (yaxud daha tez-tez yanlar) adlanır, üçüncü tərəf isə "əsas" adlanır.
Baxılan şəkildə a = b.
İkitərəfli üçbucaq üçün ikinci meyar sinuslar teoremindən irəli gəlir. a və b tərəfləri bərabər olduğundan, onların əks bucaqlarının sinusları da bərabərdir:
a / sin γ = b / sin α, haradan əldə edirik: sin γ = sin α.
Sinusların bərabərliyi bucaqların bərabərliyini nəzərdə tutur: γ = α.
Beləliklə, ikitərəfli üçbucağın ikinci əlaməti bazaya bitişik olan iki bucağın bərabərliyidir.
Üçüncü işarə. Üçbucaqda hündürlük, bissektrisa və median kimi elementlər fərqlənir.
Əgər məsələnin həlli prosesində məlum olarsa ki, nəzərdən keçirilən üçbucaqda bu elementlərdən hər hansı ikisi üst-üstə düşür: bissektrisa ilə hündürlük; median ilə bisektor; hündürlüyü olan median - üçbucağın isosceles olduğu qənaətinə gələ bilərik.
Fiqurun həndəsi xassələri
1. İkitərəfli üçbucağın xassələri. Fiqurun fərqləndirici keyfiyyətlərindən biri bazaya bitişik bucaqların bərabərliyidir:
<ВАС = <ВСА.
2. Yuxarıda daha bir xassə nəzərdən keçirilir: ikitərəfli üçbucaqda median, bissektrisa və hündürlük onun yuxarısından bazaya qədər tikildikdə üst-üstə düşür.
3. Bazadakı təpələrdən çəkilmiş bissektrisaların bərabərliyi:
Əgər AE BAC bucağının, CD isə BCA bucağının bissektrisasıdırsa, onda: AE = DC.
4. İkitərəfli üçbucağın xassələri həm də təməldəki təpələrdən çəkilən hündürlüklərin bərabərliyini təmin edir.
ABC üçbucağının hündürlüklərini (burada AB = BC) A və C təpələrindən qursaq, onda alınan CD və AE seqmentləri bərabər olacaqdır.
5. Bazadakı künclərdən çəkilmiş medianlar da bərabər olacaqdır.
Deməli, AE və DC medianlardırsa, yəni AD = DB və BE = EC, onda AE = DC.
İkitərəfli üçbucağın hündürlüyü
Tərəflərin və onlarda bucaqların bərabərliyi sözügedən fiqurun elementlərinin uzunluqlarının hesablanmasında bəzi xüsusiyyətlər təqdim edir.
İkitərəfli üçbucağın hündürlüyü fiquru tərəfləri hipotenuzlarla birlikdə çıxan 2 simmetrik düzbucaqlı üçbucağa bölür. Bu vəziyyətdə hündürlük ayaq kimi Pifaqor teoreminə əsasən müəyyən edilir.
Üçbucağın hər üç tərəfi bərabər ola bilər, onda ona bərabərtərəfli deyilir. Bərabər üçbucağın hündürlüyü eyni şəkildə müəyyən edilir, yalnız hesablamalar üçün yalnız bir dəyəri bilmək kifayətdir - bu üçbucağın tərəfinin uzunluğunu.
Hündürlüyü başqa bir şəkildə təyin edə bilərsiniz, məsələn, baza və ona bitişik bucağı bilmək.
İkitərəfli üçbucağın medianı
Nəzərə alınan üçbucağın növü, həndəsi xüsusiyyətlərinə görə, ilkin məlumatların minimum dəsti ilə olduqca sadə şəkildə həll olunur. İkitərəfli üçbucaqda median həm hündürlüyünə, həm də bissektrisasına bərabər olduğundan, onun təyin edilməsi alqoritmi bu elementlərin hesablanması ardıcıllığından heç də fərqlənmir.
Məsələn, medianın uzunluğunu məlum yanal tərəfə və zirvə bucağının dəyərinə görə təyin edə bilərsiniz.
Perimetri necə təyin etmək olar
Nəzərə alınan planimetrik fiqurun iki tərəfi həmişə bərabər olduğundan, perimetri təyin etmək üçün əsasın uzunluğunu və tərəflərdən birinin uzunluğunu bilmək kifayətdir.
Üçbucağın perimetrini məlum bazadan və hündürlükdən təyin etmək lazım olduqda bir nümunə nəzərdən keçirin.
Perimetr bazanın cəminə və tərəfin uzunluğunun iki qatına bərabərdir. Yan tərəf, öz növbəsində, Pifaqor teoremindən istifadə edərək düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası kimi müəyyən edilir. Onun uzunluğu hündürlüyün kvadratının və təməlin yarısının kvadratının cəminin kvadrat kökünə bərabərdir.
İkitərəfli üçbucağın sahəsi
Bir qayda olaraq, ikitərəfli üçbucağın sahəsini hesablamaq çətin deyil. Üçbucağın sahəsini baza məhsulunun yarısı və hündürlüyü kimi təyin etmək üçün universal qayda, əlbəttə ki, bizim vəziyyətimizə aiddir. Bununla belə, ikitərəfli üçbucağın xüsusiyyətləri işi yenidən asanlaşdırır.
Tutaq ki, bazaya bitişik hündürlük və bucaq məlumdur. Fiqurun sahəsini müəyyən etmək lazımdır. Bunu bu şəkildə edə bilərsiniz.
İstənilən üçbucağın bucaqlarının cəmi 180 ° olduğu üçün bucağın qiymətini təyin etmək çətin deyil. Sonra sinuslar teoreminə uyğun olaraq qurulan nisbətdən istifadə edərək üçbucağın əsasının uzunluğu müəyyən edilir. Hər şey, baza və hündürlük - ərazini müəyyən etmək üçün kifayət qədər məlumat mövcuddur.
İkitərəfli üçbucağın digər xüsusiyyətləri
İkitərəfli üçbucaq ətrafında çevrələnmiş dairənin mərkəzinin mövqeyi zirvə bucağının böyüklüyündən asılıdır. Beləliklə, ikitərəfli üçbucaq iti bucaqlıdırsa, dairənin mərkəzi fiqurun içərisində yerləşir.
Küt ikitərəfli üçbucaq ətrafında çevrələnmiş dairənin mərkəzi onun xaricində yerləşir. Və nəhayət, zirvədəki bucaq 90 ° olarsa, mərkəz tam olaraq bazanın ortasında yerləşir və dairənin diametri bazanın özündən keçir.
İkitərəfli üçbucaq ətrafında çevrələnmiş çevrənin radiusunu təyin etmək üçün yan tərəfin uzunluğunu zirvə bucağının dəyərinin yarısının kosinusunun iki qatına bölmək kifayətdir.
Bütün üçbucaqlar arasında iki xüsusi növ var: düzbucaqlı üçbucaqlar və ikitərəfli üçbucaqlar. Bu üçbucaq növləri niyə bu qədər xüsusidir? Yaxşı, birincisi, bu cür üçbucaqlar çox vaxt birinci hissədə USE tapşırıqlarının əsas personajları olur. İkincisi, düzbucaqlı və ikitərəfli üçbucaqlarla bağlı məsələlərin həlli həndəsənin digər məsələlərinə nisbətən daha asandır. Sadəcə bir neçə qayda və xassələri bilməlisiniz. Ən maraqlılarının hamısı müvafiq mövzuda müzakirə olunur, lakin indi biz isosceles üçbucaqlarını nəzərdən keçirəcəyik. Və hər şeydən əvvəl, ikitərəfli üçbucaq nədir. Yaxud, riyaziyyatçıların dediyi kimi, ikitərəfli üçbucağın tərifi nədir?
Görün necə görünür:
Düzbucaqlı üçbucaq kimi, ikitərəfli üçbucağın da tərəfləri üçün xüsusi adlar var. İki bərabər tərəf deyilir yan tərəflər və üçüncü tərəfdir əsas.
Və yenə də şəkilə diqqət yetirin:
Bu, əlbəttə ki, belə ola bilər:
Buna görə diqqətli olun: yan - iki bərabər tərəfdən biri ikitərəfli üçbucaqda və baza üçüncü tərəfdir.
Niyə ikitərəfli üçbucaq bu qədər yaxşıdır? Bunu başa düşmək üçün hündürlüyü bazaya çəkək. Hündürlüyün nə olduğunu xatırlayırsan?
Bəs nə baş verdi? Bir ikitərəfli üçbucaqdan iki düzbucaqlı çıxdı.
Bu, artıq yaxşıdır, amma hər hansı, ən "koosbral" üçbucaqda bu şəkildə çıxacaq.
İkitərəfli üçbucaq üçün şəkil arasındakı fərq nədir? Yenidən baxın:
Yaxşı, ilk növbədə, əlbəttə ki, bu qəribə riyaziyyatçıların sadəcə olaraq görmələri kifayət deyil - onlar mütləq sübut etməlidirlər. Və sonra birdən bu üçbucaqlar bir az fərqlidir və biz onları eyni hesab edəcəyik.
Ancaq narahat olmayın: bu vəziyyətdə sübut etmək, demək olar ki, görmək qədər asandır.
Gəlin başlayaq? Diqqətlə baxın, bizdə:
Və bu o deməkdir ki! Niyə? Bəli, biz sadəcə və, və Pifaqor teoremindən tapırıq (eyni zamanda bunu xatırlayırıq)
Əmin olmusan? Yaxşı, indi bizdə var
Və üç tərəfdən - üçbucaqların bərabərliyinin ən asan (üçüncü) əlaməti.
Yaxşı, bizim ikitərəfli üçbucağımız iki eyni düzbucaqlıya bölündü.
Görün nə qədər maraqlıdır? Məlum oldu ki:
Riyaziyyatçılar arasında bu barədə danışmaq necə adətdir? Gəlin ardıcıllıqla gedək:
(Burada unutmayın ki, median tərəfi yarıya bölən təpədən çəkilmiş xətt, bissektrisa isə bucaqdır.)
Yaxşı, burada ikitərəfli üçbucaq verilsə nəyin yaxşı görünə biləcəyini müzakirə etdik. Biz belə nəticəyə gəldik ki, ikitərəfli üçbucağın təməlindəki bucaqlar bərabərdir və bazaya çəkilmiş hündürlük, bissektrisa və median üst-üstə düşür.
İndi başqa bir sual yaranır: ikitərəfli üçbucağını necə tanımaq olar? Yəni, riyaziyyatçıların dediyi kimi, nədir ikitərəfli üçbucağın əlamətləri?
Və belə çıxır ki, sadəcə olaraq bütün ifadələri əksinə "çevirmək" lazımdır. Bu, əlbəttə ki, həmişə belə deyil, lakin ikitərəfli üçbucaq hələ də əla bir şeydir! “Avrılma”dan sonra nə baş verir?
Yaxşı, bax:
Hündürlük və median üst-üstə düşürsə, onda:
Hündürlük və bissektrisa üst-üstə düşürsə, onda: 
Əgər bissektrisa və median üst-üstə düşürsə, onda:
Yaxşı, unutmayın və istifadə edin:
- Əgər sizə ikitərəfli üçbucaqlı üçbucaq verilirsə, hündürlüyü çəkin, iki düzbucaqlı alın və düz üçbucaqla bağlı problemi həll edin.
- Verilsə iki bucaq bərabərdir sonra üçbucaq tam olaraq isosceles və siz hündürlüyü tuta bilərsiniz və .... (Cekin tikdiyi ev ...).
- Hündürlüyün yan tərəfdə iki dəfə azaldığı ortaya çıxarsa, üçbucaq bütün sonrakı bonuslarla bərabərdir.
- Hündürlüyün bucağı mərtəbələrə böldüyü ortaya çıxarsa - isosceles də!
- Əgər bisektor tərəfi yarıya bölürsə və ya median bucaqdırsa, bu da baş verir yalnız ikitərəfli üçbucaqda
Tapşırıqlarda necə göründüyünü görək.
Problem 1(ən sadə)
Üçbucaqda və tərəfləri bərabərdir və. tapın.
Qərar veririk:
Əvvəlcə rəsm.
Burada təməl nədir? Əlbəttə, .
Biz xatırlayırıq ki, əgər, onda və.
Yenilənmiş rəsm:
ilə işarə edək. Oradakı üçbucağın bucaqlarının cəmi neçəyə bərabərdir? ?
Biz istifadə edirik:
budur cavab: .
Çətin deyil, elə deyilmi? Hətta hündürlük lazım deyildi.
Tapşırıq 2(Həmçinin çox çətin deyil, amma mövzunu təkrarlamaq lazımdır)
Üçbucaqda,. tapın.
Qərar veririk:
Üçbucaq ikitərəflidir! Hündürlüyü çəkirik (bu, indi hər şeyin həll olunacağı hiylədir).
İndi biz "həyatdan silirik", yalnız nəzərdən keçirəcəyik.
Beləliklə, bizdə:
Kosinusların cədvəl dəyərlərini xatırlamaq (yaxşı və ya fırıldaqçı vərəqə baxmaq ...)
Tapmaq qalır:.
Cavab: .
Qeyd edək ki, burada bizdə var çox düzbucaqlı üçbucaq və "cədvəl" sinuslar və kosinuslar haqqında bilik tələb olunur. Çox tez-tez belə olur: mövzular, "isosceles üçbucağı" və bulmacalar paketlərdə gedir, lakin digər mövzularla çox dost deyillər.
İkitərəfli üçbucaq. Orta səviyyə.
Bunlar iki bərabər tərəf cağırılır yan tərəflər, a üçüncü tərəf ikitərəfli üçbucağın əsasıdır.
Şəkilə baxın: və - tərəflər, - ikitərəfli üçbucağın əsası.
Bunun niyə belə olduğunu bir şəkildə anlayaq. Nöqtədən hündürlüyü çəkək.
Bu o deməkdir ki, onların bütün uyğun elementləri bərabərdir.
Hər şey! Bir çırpıda (boyu) bütün ifadələri bir anda sübut etdilər.
Və unutmayın: ikitərəfli üçbucaq problemini həll etmək üçün hündürlüyü ikitərəfli üçbucağın bazasına endirmək və onu iki bərabər düzbucaqlı üçbucağa bölmək çox vaxt çox faydalıdır.
İkitərəfli üçbucağın əlamətləri
Qarşılıqlı ifadələr də doğrudur:
Bu ifadələrin demək olar ki, hamısını bir daha “bir zərbə ilə” sübut etmək olar.
1. Beləliklə, qoy in və bərabər idi.
Gəlin hündürlüyü çəkək. Sonra
2.a) İndi bir neçə üçbucaq daxil edək hündürlük və bisektor uyğunluğu.
2.b) Əgər hündürlük və median üst-üstə düşürsə? Hər şey demək olar ki, eynidir, daha mürəkkəb deyil!
 |
- iki ayaqda |
2.c) Lakin hündürlük yoxdursa, ikitərəfli üçbucağın bazasına endirilirsə, onda ilkin düzbucaqlı üçbucaqlar yoxdur. Pis!
Ancaq bir çıxış yolu var - onu növbəti nəzəriyyə səviyyəsində oxuyun, çünki burada sübut daha mürəkkəbdir, amma hələlik yalnız unutmayın ki, median və bissektrisa üst-üstə düşürsə, üçbucaq da bərabərhüquqlu olacaq və hündürlük hələ də qalacaq. bu bissektrisa və mediana ilə üst-üstə düşür.
Ümumiləşdirək:
- Üçbucaq ikitərəflidirsə, təməldəki bucaqlar bərabərdir və bazaya çəkilmiş hündürlük, bissektrisa və median üst-üstə düşür.
- Əgər hansısa üçbucaqda iki bərabər bucaq varsa və ya üç xətdən bəziləri (bissektrisa, median, hündürlük) üst-üstə düşürsə, belə üçbucaq ikitərəflidir.
İkitərəfli üçbucaq. Qısa təsvir və əsas düsturlar
İkitərəfli üçbucaq iki bərabər tərəfi olan üçbucaqdır.
İkitərəfli üçbucağın əlamətləri:
- Əgər bəzi üçbucaqda iki bucaq bərabərdirsə, deməli bu, ikitərəflidir.
- Əgər hansısa üçbucaq üst-üstə düşürsə:
a) hündürlük və bissektrisa və ya
b) hündürlük və orta və ya
v) median və bisektor,
bir tərəfə çəkilir, onda belə bir üçbucaq isosceles olur.
QALAN 2/3 MƏQALƏLƏR YALNIZ SİZİN AĞIR TƏLƏBƏLƏRİN İÇİNDİR!
YouClever tələbəsi olun,
OGE-yə hazırlaşın və ya "ayda bir fincan qəhvə" qiymətinə riyaziyyatda istifadə edin,
Həm də "YouClever" dərsliyinə, "100gia" təlim proqramına (reshebnik), limitsiz sınaq USE və OGE, həllərin təhlili ilə bağlı 6000 problem və digər YouClever və 100gia xidmətlərinə məhdudiyyətsiz giriş əldə edin.
