Funksiyalar qrafikası. Arksinus, Arkkosinus - Xüsusiyyətlər, Qrafiklər, Düsturlar Chart Arcsin x 2

Tərs trigonometrik funksiyalarla əlaqəli vəzifələr tez-tez məktəb final imtahanlarında və bəzi universitetlərdə qəbul imtahanlarında təklif olunur. Bu mövzunun ətraflı bir araşdırması yalnız seçmə dərslərində və ya seçmə kurslarda əldə edilə bilər. Təklif olunan kurs hər bir tələbənin qabiliyyətini inkişaf etdirmək, riyazi hazırlığını artırmaq üçün mümkün qədər tam olaraq hazırlanmışdır.

Kurs 10 saat ərzində hazırlanmışdır:

1. Funksiyalar Arcsin X, Arccos X, Arctg X, Arcctg x (4 saat).

2. Tərs trigonometrik funksiyalar üzərində əməliyyatlar (4 saat).

3. Triqonometrik funksiyalardakı moda trigonometrik əməliyyatlar (2 saat).

Dərs 1 (2 saat) Mövzu: Funksiyalar Y \u003d Arcsin X, Y \u003d arctg x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctt x.

Məqsəd: bu məsələnin tam əhatə dairəsi.

1. Y \u003d Arcsin x funksiyası.

a) Y \u003d Sin X seqmentində Sin X üçün Arxinusun çağırıldığı və işarələndiyi tərs (birmənalı) funksiyası var: y \u003d arcsin x. Əks funksiya qrafiki, bisector I - III koordinat açılarına nisbətən əsas funksiyanın qrafiki ilə simmetrikdir.

Funksiyanın xüsusiyyətləri y \u003d arcsin x.

1) tərif sahəsi: seqment [-1; bir];

2) Dəyişiklik sahəsi: seqment;

3) funksiyası Y \u003d Arcsin x təkdir: Arcsin (-X) \u003d - Arcsin x;

4) Y \u003d Arcsin x monotonik olaraq artan funksiyası;

5) Cədvəl ox, OHIS-i koordinatların başında OU-ya keçir.

Misal 1. A \u003d Arcsin tapın. Bu nümunə detallı şəkildə formalaşdırıla bilər: sinusa bərabər olan bir dibli bir arqument tapmaq üçün.

Qərar. Saysız-hesabsız arqumentlər var, bu da sinus bərabərdir, məsələn: və s. Ancaq biz yalnız seqmentdə olan mübahisə ilə maraqlanırıq. Bu mübahisə olacaq. Belə ki, .

Misal 2. Tapın .Qərar. Misal 1-də eyni şəkildə mübahisə edirik, biz əldə edirik .

b) şifahi məşqlər. Tapın: Arcsin 1, Arcsin (-1), Arcsin, Arcsin (), Arcsin, Arcsin (), Arcsin, Arcsin (), Arcsin (), Arcsin (), Arcsin () çünki . İfadə hissi deməkdir :; Arcsin 1.5; ?

c) artan qaydada artım yerləşdirin: Arcsin, Arcsin (-0.3), Arcsin 0.9.

II. Funksiyaları Y \u003d arccos x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctt x (oxşar).

Dərs 2 (2 H) Mövzu: Tərs trigonometrik funksiyalar, onların qrafikləri.

Məqsəd: Bu dərsdə dəyərləri müəyyənləşdirmək üçün bacarıqların işləməsi lazımdır triqonometrik funksiyalar, d (y), e (y) və zəruri dəyişikliklərdən istifadə edərək tərs trigonometrik funksiyaların qrafiklərinin qurulmasında.

Bu dərsdə, tərif sahəsinin təməlinin, tip funksiyalarının dəyərlərinin dəyərləri daxil olmaqla məşqlər edin: Y \u003d Arcsin, Y \u003d Arccos (X-2), Y \u003d ARCTG (TG X), Y \u003d arccos.

Funksiya qrafikləri qurulmalıdır: a) y \u003d arcsin 2x; b) y \u003d 2 Arcsin 2x; c) y \u003d arcsin;

d) y \u003d arcsin; e) y \u003d arcsin; e) y \u003d arcsin; g) y \u003d | Arcsin | .

Misal.Bir qrafik y \u003d arccos qururuq

Ev tapşırığında aşağıdakı məşqlər daxil edilə bilər: funksiyaların qrafikləri yaradın: Y \u003d arccos, y \u003d 2 arcctg x, y \u003d arcos | X | .

Tərs funksiya qrafikləri

Dərs sayı 3 (2 saat) Mövzu:

Tərs trigonometrik funksiyalar üzərində əməliyyatlar.

Məqsəd: Riyazi biliklərin genişləndirilməsi (bu, tərs trigonometrik funksiyalar üçün əsas münasibətləri tətbiq etməklə riyazi hazırlıq üçün ixtisas ərizəçiləri üçün vacibdir).

Dərs üçün material.

Tərs trigonometrik funksiyalar üzərində bəzi sadə trigonometrik əməliyyatlar: günah (Arcsin X) \u003d X, i XI? biri; COS (ASCOS X) \u003d X, i XI? biri; TG (arctg x) \u003d x, x i r; Ctg. (Arcctg x) \u003d X, X i R.

Məşqlər.

a) TG (1.5 + arctg 5) \u003d - Ctg (arctg 5) \u003d .

ctg (arctg x) \u003d; TG (arcctg x) \u003d.

b) COS (+ Arcsin 0.6) \u003d - COS (Arcsin 0.6). Arcsin 0,6 \u003d a, günah a \u003d 0,6;

cos (arcsin x) \u003d; Günah (Arccos X) \u003d.

Qeyd: Kökdən əvvəl "+" işarəsini götürün, çünki a \u003d arcsin x ödəyir.

c) günah (1.5 + arcsin). Cavab :;

d) CTG (+ arctg 3). Cavab :;

e) TG (- arcctg 4). Cavab:.

e) cos (0,5 + arccos). Cavab :.

Hesablayın:

a) günah (2 arct 5).

Arctg 5 \u003d a, sonra günah 2 a \u003d və ya günah (2 arctg 5) \u003d ;

b) COS (+ 2 Arcsin 0.8). Cavab: 0.28.

c) arctg + arctg.

A \u003d arctg, b \u003d arctg,

sonra TG (A + B) \u003d .

d) günah (Arcsin + Arcsin).

e) bütün x i [-1; 1] Həqiqi Arcsin x + Arccos X \u003d.

Sübut:

arcsin x \u003d - arccos x

günah (Arcsin X) \u003d Günah (- arccos x)

x \u003d cos (arccos x)

Self həllər üçün:sin (Arccos), Cos (Arcsin), Cos (Arcsin ()), Sin (Arctg (- 3)), TG (Arccos), CTG (Arccos), CTG (Arccos).

Evin həlli üçün: 1) günah (Arcsin 0.6 + arctg 0); 2) Arcsin + Arcsin; 3) CTG (- arccos 0.6); 4) COS (2 arcct 5); 5) Günah (1.5 - Arcsin 0.8); 6) Arctg 0.5 - arctg 3.

Dərs sayı 4 (2H.) Mövzu: Tərs trigonometrik funksiyalar üzərində əməliyyatlar.

Məqsəd: Bu dərsdə nisbətlərin daha mürəkkəb ifadələrin dəyişdirilməsində istifadə edilməsidir.

Dərs üçün material.

Şifahi:

a) günah (arccos 0.6), cos (Arcsin 0.8);

b) TG (arcstg 5), CTG (arctg 5);

c) günah (arctg -3), cos (arcstg ());

d) tg (arccos), CTG (Arccos ()).

Yazı:

1) COS (Arcsin + Arcsin + Arcsin).

2) COS (arctg 5-arccos 0.8) \u003d cos (arctg 5) cos (arccos 0.8) + günah (arct 5) günah (arccos 0.8) \u003d

3) TG (- arcsin 0,6) \u003d - TG (Arcsin 0.6) \u003d

4)

Müstəqil iş materialın mənimsənilməsinin səviyyəsini müəyyənləşdirməyə kömək edəcəkdir

1) TG (arctg 2 - arctg) 2) COS (- arctg2) 3) Arcsin + Arccos	1) COS (Arcsin + Arcsin) 2) günah (1.5 - arctg 3) 3) Arcctg3 - arctg 2

Ev tapşırığı üçün təklif edə bilərsiniz:

1) CTG (arctg + arctg + arctg); 2) Günah 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) günah (2 arctg + TG (Arcsin)); 4) günah (2 arctg); 5) TG ((Arcsin))

Dərs sayı 5 (2H) Mövzu: Triqonometrik funksiyalardakı tərs trigonometrik əməliyyatlar.

Məqsəd: Trigonometrik funksiyalar üzərində tərs trigonometrik əməliyyatlar barədə tələbələrin təqdimatını yaratmaq, diqqət mərkəzində olan nəzəriyyənin mənalı artımına yönəldilmişdir.

Bu mövzunu öyrənərkən, nəzəri materialın həcmini yadda saxlaya biləcəyi güman edilir.

Dərs üçün material:

Yeni materialın öyrənilməsi Y \u003d Arcsin (SIN X) funksiyasından və cədvəlini yaratmaqdan başlaya bilər.

3. Hər x i r, y I, i.E-yə uyğun olaraq qoyulur.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Funksiya qəribədir: günah (-x) \u003d - günah x; Arcsin (Sin (x)) \u003d - Arcsin (SIN X).

6. Cədvəl Y \u003d Arcsin (SIN X):

a) 0.<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sIN Y \u003d SIN (- X) \u003d SINX, 0<= - x <= .

Belə ki,

Buing y \u003d Arcsin (SIN X), koordinatların başlanğıcına nisbətən simmetrik olaraq davam edəcəkdir [-; 0], bu funksiyanın düzgünlüyünü nəzərə alaraq. Tezliyindən istifadə edərək, bütün rəqəmli oxa davam edəcəyik.

Sonra bəzi nisbətləri yazın: arcsin (günah a) \u003d a əgər<= a <= ; arccos (cos A. ) \u003d a 0<= a <= Açıqlayır; arctg (tg a) \u003d a əgər< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Və aşağıdakı məşqləri yerinə yetirin: a) Arccos (Sin 2). Nəticə: 2 -; b) Arcsin (cos 0,6). Nəticə: - 0,1; c) ARCTG (TG 2). Cavab: 2 -;

d) Arcctg (TG 0.6). Cavab: 0.9; e) Arccos (cos (- 2)). Cavab: 2 -; e) Arcsin (Günah (- 0.6)). Cavab: - 0.6; g) arctg (tg 2) \u003d arctg (tg (2 -)). Cavab: 2 -; h) Arcctg (TG 0.6). Cavab: - 0.6; - arctg x; e) arcos + arcos

Funksiyalar qrafikası

Sinus funksiyası

- çoxlu R.bütün etibarlı nömrələr.

Bir çox funksiya dəyərləri - seqment [-1; 1], i.E. Sinus funksiyası - məhdud.

Funksiya qəribə: Günah (-x) \u003d - Bütün X üçün Günah X ∈ R..

Dövri funksiya

günah (x + 2π · k) \u003d sin x, burada k ∈ Z. Bütün x ∈ üçün R..

günah X \u003d 0 x \u003d π · k, k ∈ ilə Z..

günah X\u003e 0 (müsbət) hamısı üçün x ∈ (2π · K, π + 2π · K), K ∈ Z..

günah X.< 0 (Mənfi) Hamısı üçün X ∈ (π + 2π · K, 2π + 2π · K), K ∈ Z..

Kosin funksiyası

Funksiya tərifi sahəsi- çoxlu R.bütün etibarlı nömrələr.

Bir çox funksiya dəyərləri - seqment [-1; 1], i.E. Cosine funksiyası - məhdud.

Funksiya belə: COS (-X) \u003d COS X üçün X ∈ R..

Dövri funksiya Ən kiçik müsbət dövrü ilə 2π:

cos (x + 2π · k.) \u003d COS X, harada k. ∈ Z. Bütün x ∈ üçün R..

cos x \u003d 0üçün
cos x\u003e 0 hamı üçün
cOS X.< 0 hamı üçün
Funksiya artır Interval ilə -1-dən 1-ə qədər:
Funksiya azalır Interval ilə -1-dən 1-ə qədər:
Sin X \u003d 1 funksiyasının ən böyük dəyəri Xallar:
Sin x \u003d -1 funksiyasının ən kiçik dəyəri Xallar:

Tangent xüsusiyyəti

Bir çox funksiya dəyərləri - Bütün rəqəmli düz, I.E. Tangent - funksiya məhdudiyyətsiz.

Funksiya qəribə: TG (-x) \u003d - TG X
Funksiyanın qrafiki OY oxuna simmetrik qohumdur.

Dövri funksiya Ən kiçik müsbət dövrü ilə π, i.E. TG (x + π · k.) \u003d TG X, k. ∈ Z. Tərif sahəsindən bütün x üçün.

Kottanika xüsusiyyəti

Bir çox funksiya dəyərləri - Bütün rəqəmli düz, I.E. KoTangent - funksiya məhdudiyyətsiz.

Funksiya qəribə: CTG (-X) \u003d - tərif sahəsindəki bütün x üçün Ctg x.
Funksiyanın qrafiki OY oxuna simmetrik qohumdur.

Dövri funksiya Ən kiçik müsbət dövrü ilə π, i.E. CTG (X + π · k.) \u003d CTG X, k. ∈ Z. Tərif sahəsindən bütün x üçün.

Arksinus xüsusiyyəti

Funksiya tərifi sahəsi- seqment [-1; bir]

Bir çox funksiya dəyərləri - Kəsmə / 2 Arcsin X π / 2, I.E. Arksinus - funksiya məhdud.

Funksiya qəribə: Arcsin (-X) \u003d - Bütün X üçün Arcsin x R..
Funksiyanın qrafiki koordinatların başlanğıcında simmetrikdir.

Bütün tərif sahəsində.

Arkkozinus funksiyası

Funksiya tərifi sahəsi- seqment [-1; bir]

Bir çox funksiya dəyərləri - 0 arccos x π, i.E. Arkkosinus - funksiya məhdud.

Funksiya artır Bütün tərif sahəsində.

Funksiyası arctgernes

Funksiya tərifi sahəsi- çoxlu R.bütün etibarlı nömrələr.

Bir çox funksiya dəyərləri - 0 π, yəni kəsin. Artdannance - funksiya məhdud.

Funksiya qəribə: ARCTG (-X) \u003d - Bütün X üçün arctg x R..
Funksiyanın qrafiki koordinatların başlanğıcında simmetrikdir.

Funksiya artır Bütün tərif sahəsində.

Funksiya arkkothengiya

Funksiya tərifi sahəsi- çoxlu R.bütün etibarlı nömrələr.

Bir çox funksiya dəyərləri - 0 π, yəni kəsin. Arkotangent - funksiya məhdud.

Funksiya nə, nə də qəribə deyil.
Funksiyanın qrafiki asimmetrik və ya koordinatların başlanğıcına və ya OY oxuna nisbətən qohumudur.

Funksiya enməkdir Bütün tərif sahəsində.

Tərif və Notation

Arksinus (y \u003d arcsin X.) - Bu bir funksiya, sinus üçün tərsdir (x \u003d günah Y. -1 ≤ x ≤ 1 və bir çox dəyər - / 2 ≤ Y ≤ π / 2.
günah (Arcsin x) \u003d X ;
arcsin (SIN X) \u003d X .

Arksinus bəzən işarələnir:
.

Arksinusun funksiyalarının qrafiki

Cədvəl funksiyası Y \u003d arcsin X.

Arksinus cədvəli, abscissa və əsas ox yerlərini dəyişdirsəniz, sinus qrafikindən alınır. Çox şüurluğunu aradan qaldırmaq üçün, dəyərlərin çeşidi monotonun funksiyasını məhdudlaşdırır. Belə bir tərif Arksinusun əsas dəyəri deyilir.

Arkkozinus, Arcos.

Tərif və Notation

Arkkosinus (Y \u003d arccos X.) kosine üçün tərs bir funksiyasıdır (x \u003d cOS Y.). Tərif sahəsi var -1 ≤ x ≤ 1 və bir çox dəyər 0 ≤ y ≤ π.
cos (arccos x) \u003d x ;
arcos (cos x) \u003d x .

Arkkosinus bəzən göstərir:
.

Arkkozinus funksiyasının cədvəli

Cədvəl funksiyası Y \u003d arccos X.

Arkkozinusun qrafiki, abscissa və astar ox yerlərini dəyişdirsəniz, kosin qrafikindən əldə edilir. Çox şüurluğunu aradan qaldırmaq üçün, dəyərlərin çeşidi monotonun funksiyasını məhdudlaşdırır. Belə bir tərif Arkkozinusun əsas dəyəri deyilir.

Titrəmə

Arksinus funksiyası təkdir:
arcsin (- X) \u003d arcsin (-sin arcsin x) \u003d arcsin (Günah (-Arcsin X)) \u003d - Arcsin X.

ArcCowinusun funksiyası hətta və ya tək deyildir:
arcos (- x) \u003d arccos (-cos arcos x) \u003d arccos (cos (π-arccos x)) \u003d π - arccos x ≠ ± arccos x

Xüsusiyyətlər - həddindən artıq, qalxan, tərksilah

Arksinus və Arkskosinusun funksiyaları öz tərifi sahəsində davamlıdır (davamlılığın sübutu). Arksinus və Arkkozinusun əsas xüsusiyyətləri cədvəldə təqdim olunur.

	y \u003d. arcsin X.	y \u003d. arccos X.
Tərif və davamlılıq sahəsi	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Dəyərlər bölgəsi
Artan, enən	Monoton olaraq artmaq	Monoton olaraq azalır
Maksimal
Minima
Sıfır, y \u003d 0	x \u003d. 0	x \u003d. 1
Sertifikatlı oxlarla kəsişmə nöqtəsi, x \u003d 0	y \u003d. 0	y \u003d π / 2

Arksinin və Arkkosinusovun cədvəli

Bu cədvəl, arqumentin bəzi dəyərləri ilə, arjsinus və arjsinusların dəyərlərini, dərəcə və radianların dəyərlərini göstərir.

X.	arcsin X.		arccos X.
	Grad.	sevindi.	Grad.	sevindi.
- 1	- 90 °	-	180 °	π
-	- 60 °	-	150 °
-	- 45 °	-	135 °
-	- 30 °	-	120 °
0	0°	0	90 °
	30 °		60 °
	45 °		45 °
	60 °		30 °
1	90 °		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Düsturlar

Həmçinin bax: Tərs trigonometrik funksiyaların düsturlarının çıxışı

Cəm və fərqin düsturları

at və ya

Mən də.

Mən də.

at və ya

Mən də.

Mən də.

üçün

üçün

üçün

üçün

Loqarifm, mürəkkəb nömrələr vasitəsilə ifadələr

Həmçinin bax: Düsturların nəticəsi

Hiperbolik funksiyalar vasitəsilə ifadələr

Törəmələri

;
.
Arksinus və Arkkozinus törəmələrinin törəmələrinə baxın \u003e\u003e\u003e

Daha yüksək sifarişlərin törəmələri:
,
bir polinomial dərəcəsi haradadır. Düsturlar tərəfindən müəyyən edilir:
;
;
.

Arksinus və Arkkosinusun ən yüksək sifarişlərinin törəmələrinə baxın \u003e\u003e\u003e

İnteqrallar

Əvəz etmə x \u003d sin T.. Bunu nəzərə alaraq hissələrə inteqrasiya edirik 2 ≤ t ≤ π / 2, cos t ≥ 0:
.

Arkkozinus Arksinus vasitəsilə ifadə edin:
.

Bir sıra parçalanma

İlə | x |< 1 Aşağıdakı parçalanma baş verir:
;
.

Tərs funksiyaları

Arksinus və Arkkozinusa qayıdın, müvafiq olaraq sinus və kosinadır.

Aşağıdakı düsturlar bütün tərif sahəsi boyunca etibarlıdır:
günah (Arcsin x) \u003d X
cos (arccos x) \u003d x .

Aşağıdakı düsturlar yalnız Arcsinus və Arcsinus dəyərlərində etibarlıdır:
arcsin (SIN X) \u003d X üçün
arcos (cos x) \u003d x at.

İstinadlar:
I.n. Bronstein, K.A. Semendyaev, "LAN", 2009-cu ildə iştirakçıların mühəndis və tələbələri üçün riyaziyyat haqqında bir məlumat kitabı.

Həmçinin bax: