الرئيسية الفيزياء العمل الإبداعي "تطبيق صيغة الذروة". هندسة

العمل الإبداعي "تطبيق صيغة الذروة". هندسة

اختيار الفورمولا

1 المقدمة

2. ذروة الصيغة. إثبات I.

برهان الثاني.

برهان sh.

3. المهام.

4. صيغة منطقة المضلع من خلال إحداثيات القمم.

5. المهام.

6. الأدب

ذروة الصيغة.

1 المقدمة.

في القصة التي نسلفها الحكمة،

في الشعر - الطرافة،

في الرياضيات - البصيرة.

F. لحم الخنزير المقدد

سوف تتكشف المؤامرة على قطعة واحدة من الورق متقلب.

تشكل الخطوط التي تمشي على جوانب الخلايا شبكة، ورؤوس الخلايا هي عقد من هذه الشبكة. نرسم مضلعا على الورقة مع القمم في العقد وإيجاد منطقتها.

يمكنك البحث عن ذلك بطرق مختلفة. على سبيل المثال، يمكنك قطع مضلع على أرقام بسيطة إلى حد ما، وتجد لهم منطقة وأضعف.

ولكن هنا نحن في انتظار الكثير من المتاعب. يتم تقسيم الرقم بسهولة إلى مستطيلات، شبه منحرف، مثلثات، ومنطقتها تحسب دون جهد.

على الرغم من أن المضلع يبدو بسيطا بما فيه الكفاية، إلا أن يجب أن تكون لحساب منطقتها بشدة. وإذا كان مضلع بدا أكثر غريبة؟ اتضح أن مساحة المضلعات، ويمكن حساب القمم التي تقع في العقد الشبكية، أكثر بساطة: هناك صيغة تربطها منطقة مع عدد العقد الكذبة في الداخل وعلى حدود المضلع وبعد وتسمى هذه الصيغة الرائعة والبسيطة صيغة الذروة.

2. ذروة الصيغة.

توجد قمم المضلع (غير محدب بالضرورة) في عقد شعرية عدد صحيح. تقع داخلها في العقد الشبكة، وعلى حدود العقد. نثبت أن منطقتها تساوي + - 1 (ذروة الصيغة).

إثبات I.

النظر في مضلع من رؤوسه في عقد شبكة عدد صحيح، وهذا هو، لديه إحداثيات عدد صحيح.

سوف ينكسر المضلع مثلثات مع رؤوس في العقد الشبكة التي لا تحتوي على عقد إما داخل أو على الجانبين.

دل:

ن. - عدد الأطراف في المضلع،

م. - عدد المثلثات مع القمم في العقد الشبكة التي لا تحتوي على عقد إما داخل أو على الجانبين،

ب - عدد العقد داخل المضلع،

م هو عدد العقد على الجانبين، بما في ذلك القمم.

منطقة كل هذه المثلثات هي نفسها ومتساوية.

وبالتالي، فإن منطقة المضلع تساوي
.

180 0 م. .

العثور الآن على هذا المبلغ بطريقة أخرى.

مجموع الزوايا مع قمة الرأس في أي عقدة داخلية هو 360 0.

ثم مجموع الزوايا مع القمم في جميع العقد الداخلية هو 360 0 V.

الكمية الإجمالية للزوايا في العقد على الجانبين، ولكن ليس في القمم 180 0 (G - ن.).

مجموع الزوايا في قمم المضلع هو 180 0 ( ن. – 2) .

المبلغ الإجمالي لزوايا جميع المثلثات متساو 360 0 في + 180 0 (G - ن.) + 180 0 (ن. – 2).

وهكذا، 180 0 م. \u003d 360 0 في + 180 0 (G - ن.) + 180 0 (ن. – 2),

180 0 م. \u003d 360 0 في + 180 0 G - 180 0 ن. + 180 0 ن. - 180 0 · 2،

180 0 م. \u003d 360 0 في + 180 0 g - 360 0،

\u003d ب +. – 1 ,

أين أحصل على تعبير عن منطقة مضلع:

س.\u003d ب +. – 1 ,

المعروف باسم صيغة الذروة.

الشكل: B \u003d 24، G \u003d 9، لذلك،س. = 24 + – 1 = 27,5.

ابحث عن مساحة أول مضلع وفقا لصيغة الذروة:

ب \u003d 28 (النقاط الخضراء)؛

g \u003d 20 (النقاط الزرقاء).

نحصل S \u003d
\u003d 37 متر مربع

برهان الثاني.

كل مضلع م مع رؤوس في عقد شعرية عددا صحيح وضعت وفقا للرقم f (m) \u003d
حيث يتم التمييز على جميع العقد الشبكة التي تنتمي إلى م، والزاوية مصممة على النحو التالي: =
للدرجة الداخلية من المضلع، =
لنقطة الحدود بخلاف الأعلى و - زاوية في الأعلى، إذا كانت هذه العقدة قمة الرأس. من السهل أن نرى أن f (m) \u003d
+
\u003d ب +. - 1. يبقى للتحقق من أن الرقم F (M) يساوي مساحة المضلع M.

دع المضلع م يتم قطعه إلى مضلعات M 1 و M 2 مع القمم في العقد الشبكة. ثم f (m) \u003d f (m 1) + f (m 2)، لأنه لكل عقدة، يتم طي الزوايا. لذلك، إذا كانت صيغة الذروة صحيحة لشخصين من المضلعات M، M 1 و M 2، فمن الصحيح عن الثالث.

إذا م هو مستطيل مع الجانبين p. و س:موجهة على طول خطوط شعرية

f (m) \u003d (p - 1) (q - 1) +
\u003d pq.

في هذه الحالة، صيغة الذروة صالحة. عن طريق قطع مستطيل M قطري على مثلثات M 1 و M 2 واستخدام حقيقة أن f (m) \u003d f (m 1) + f (m 2) و f (m 1) \u003d f (m 2)، هو سهل لإثبات انعدام صيغة الذروة لأي مثلث مستطيل مع الجمارك الموجهة على طول خطوط شعرية. لقد قطعت بعض المثلثات من المستطيل، يمكنك الحصول على أي مثلث.

لإكمال إثبات صيغة الذروة، لا يزال يلاحظ أن أي مضلع يمكن قطعه في مثلثات مع قطري غير متقاطع.

برهان sh.

العلاقة بين منطقة الشكل وعدد العقد الوقوع في هذا الرقم هي مرئية بشكل خاص بشكل خاص في حالة المستطيل.

اسمحوا ان ا ب ت ث. - مستطيل مع رؤوس في العقد والجانبين، والمشي على طول خطوط الشبكة.

للدلالة به فيعدد العقد ملقاة داخل المستطيل، ومن خلال G. - عدد العقد على حدودها. حرك الشبكة على أرضية الخلية إلى اليمين والمأوى لأسفل.

ثم مساحة المستطيل "توزيع" بين العقد على النحو التالي: كل من فيالعقد "الضوابط" خلية كاملة من الشبكة النازحة، كل من G. - 4 العقد غير المحترقة للحدود - نصف الخلية، وكل من النقاط الزاوية هو ربع الخلية. لذلك، فإن مساحة المستطيل S متساوية

لذلك، بالنسبة للمستطيلات مع القمم في العقد والأطراف التي تسير على خطوط الشبكة، قمنا بتثبيت الصيغة

نثبت أن هذه الصيغة صحيحة ليس فقط للمستطيلات، ولكن أيضا للحصول على مضلعات تعسفية مع رؤوس في العقد الشبكة.

للدلالة به س. م. مضلع المنطقةم. مع القمم في العقد، ومن خلالP م. - الحجم
أينفي م. - عدد العقد في الداخلم لكن G. م. - عدد العقد على الحدود. ثم يمكن كتابة صيغة الذروة
.

إثبات الفورمولا لكسر خطوات قليلة.

الخطوة 1.

إذا مضلعم. مع القمم في عقد قطع شبكة إلى 2 مضلعاتم. 1 و م. 2 , أيضا وجود قمم فقط في العقد الشبكة، ثم
وبعد دع مضلعام. قطع إلى بوليجلم. 1 و م. 2 مع القمم في قطاع العقدAV. جميع العقد، باستثناء تلك التي تقع على قطعمن إعطاء نفس المساهمة في اليسار وحق الصيغة. النظر في العقد ملقاة على شريحة AV.

إذا كانت هذه العقدة تكمن بين A و IN (على سبيل المثال، ج)، ثم من أجل مضلعم. إنه داخلي وللموصلم. 1 و م. 2 - حدود. لذلك مساهمته فيP م. يساوي 1، وفي كل تعبيرات
و
- 0.5، أي مساهمات هذه العقدة فيP م. و
مساو.

النظر في العقد A و V. أنها حدود كما هو م.ولل م. 1 , م. 2 .

لذلك، مساهمة كل من هذه العقد فيP م. يساوي 0.5 وفي
- وحدة. لذلك، إجمالي مساهمة العقد A و BP م. يساوي 1، وهو 1 أقل من مساهمتهم في
. لكن
، لكن .

من "المساهمة" العامة لجميع العقد P م. طرح 1، ومن
إزالة 2، وهذا يعوض الفرق في مساهمات العقد A و V.

وبالتالي،
.

الخطوة 2.

إذا مضلع م.مع رؤوس في عقد شبكة مقطعة إلى اثنين من المضلعات م. 1 و م. 2 (أيضا مع القمم في العقد) والصيغة صحيحة بالنسبة لبعض المضلعات مم. 1 ، م. 2 ، ثم صحيح عن المضلع الثالث.

دعونا، على سبيل المثال، صحيحم. 1 و م. 2 , أي
وبعد ثم (في الخطوة الأولى), لكن على الخطوة الأولى) التعبير الأخير متساويP م. , والمساواة
وهناك صيغة الذروة.

الخطوه 3.

نثبت أن الصيغة الذروة لمثلث مستطيل مع رؤوس في العقد الشبكية والعملاء ملقاة على خطوط الشبكة.

مثلث ABC. رمي للمستطيل ا ب ت ث. .

للمستطيلات، صياغة الذروة صحيحة: س. ا ب ت ث. \u003d ص ا ب ت ث. . وفقا للخطوة الأولى P ا ب ت ث. \u003d ص ABC. + ص ACD. ، ص ABC. \u003d ص ACD. , لهذا السبب P ا ب ت ث. \u003d 2P. ABC. . لكن س. ا ب ت ث. = 2 س. ABC. وبعد لذا س. ABC. \u003d ص ABC. .

الخطوة 4.

صريحة الذروة صحيحة لمثلث تعسفية مع رؤوس في العقد الشبكة.

بعد أن نظرت في الرسم، من السهل أن نفهم: يمكن الحصول على أي مثلث من هذا القبيل، "قطع" من بعض المستطيل مع الجوانب التي تتحرك على طول خطوط الشبكة، العديد من المستطيلات والمثلثات المستطيلة مع الجمارك على خطوط الشبكة. وبما أن الصيغة الذروة صحيحة للمستطيلات والمثلثات المستطيلة، ثم (تذكر الخطوة 2) صحيح بالنسبة للمثلث الأصلي.

لقد أثبتنا أنه إذا كان يمكن تقطيع مضلع إلى مثلثات مع رؤوس في العقد الشبكة، فإن صيغة الذروة صحيحة لذلك.

3. المهام.

العثور على مربعات الأرقام:

1
.

ب \u003d 9.

ص \u003d 4.

ب \u003d 9.

ص \u003d 5.

هيبادولينا g.i. (نورلات، مدرسة ماو رقم 1)

1. Boynyovich E.A.، Dorofeyev G.V.، Suvorova S.B. وغيرها. الرياضيات. علم الحساب. الهندسة. الصف الخامس: تعليمي. للتعليم العام. المنظمات مع adj. على الإلكترون. الناقل -3- E إد. - م.: التنوير، 2014. - 223، ص. : انا. - (مجالات).

2. Boynyovich E.A.، Kuznetsova L.V.، مينيفا س. وغيرها. الرياضيات. علم الحساب. الهندسة. الصف 6: التعليم. للتعليم العام. المنظمات. 5th ed. - م.: التنوير، 2016. - 240 ج: ايل. - (مجالات).

3. vasilyev n.b. حول صيغة الذروة // kvant. - 1974. - №2. - P. 39-43.

4. Rosets v.v. مهام القمامة. 5th ed.، الفعل. و أضف. - م.: 2006. - 640 ص.

5. Yashchenko I.V. oge. الرياضيات: الامتحانات النموذجية: O-39 36 خيارات - م.: دار النشر "التعليم الوطني"، 2017. - 240 ص. - (OGE. FPIX - School).

6. أنا تزيين oge: الرياضيات. نظام التدريس Dmitry Gushchina. OGE-2017: المهام والأجوبة والحلول [الموارد الإلكترونية]. - وضع الوصول: https://oge.sdamgia.ru/test؟id\u003d6846966 (تاريخ الاستئناف 04/02/2017).

أنا طالب الصف 6. بدأ دراسة الهندسة منذ العام الماضي، لأنني أفعل في المدرسة على الكتب المدرسية "الرياضيات. علم الحساب. الهندسة "تحريرها E.A. binaovich، l.v. Kuznetsova، S.S. مينيفا وغيرها.

جذبت موضوعات "مربع الأرقام" أكبر اهتمام "، تجميع الصيغ". لقد لاحظت أن مساحة نفس الأرقام يمكن العثور عليها بطرق مختلفة. في الحياة اليومية، غالبا ما نواجه مهام العثور على المنطقة. على سبيل المثال، ابحث عن منطقة الأرض التي سيتعين عليها الطلاء. بفضول بسبب شراء العدد المطلوب من ورق الحائط للإصلاح، تحتاج إلى معرفة حجم الغرفة، أي جدران مربع. حساب مربع المربع، المستطيل والمثلث المستطيل لم يسبب لي صعوبات.

المهتمين بهذا الموضوع، بدأت أبحث عن مواد اضافية في الإنترنت. كنتيجة للبحث، جئت عبر صيغة الذروة هي صيغة لحساب منطقة المضلع المستمدة على الورق المتقلب. بحساب المنطقة لهذه الصيغة بدا لي متاحا لأي طالب. هذا هو السبب في أنني قررت إجراء أعمال بحثية.

أهمية الموضوعوبعد هذا الموضوع هو ملحق وتعميق دراسة دورة الهندسة.

ستساعد دراسة هذا الموضوع في استعدادا أفضل للأولمبياد والامتحانات.

الغرض من العمل:

1. تعرف على صيغة الذروة.

2. أرسل طرق قرارات المشكلات الهندسية باستخدام صيغة الذروة.

3. منهج ويلخص المواد النظرية والعملية.

مهام البحث:

1. تحقق من فعالية وجدوى تطبيق الصيغة عند حل المهام.

2. تعلم تطبيق صيغة الذروة في مهام التعقيد المختلفة.

3. مقارنة المهام التي تم حلها باستخدام صيغة الذروة والطريقة التقليدية.

الجزء الرئيسي

المرجع التاريخي

جورج ألكسندر الذروة - الرياضيات النمساوية، التي ولدت في 10 أغسطس من العام. كان طفلا موهوبا، تم تدريس والده، برئاسة مؤسسة خاصة. في 16، تخرج جورج من المدرسة ودخلت جامعة فيينا. في سن 20 تلقى الحق في تعليم الفيزياء والرياضيات. جلبت الشهرة في جميع أنحاء العالم صيغة لتحديد مساحة شعرية المضلعات. نشر صيغة له في المادة عام 1899. أصبحت شعبية عندما تضمنت العالم البولندي هوغو شتاينهوز في عام 1969 في نشر الطلقات الرياضية.

تم تعليم جورج بيك في جامعة فيينا ودافع عن مرشحه في عام 1880. بعد تلقي درجة الدكتوراه، تم تعيينه مساعد إرنست ماخ بجامعة شير فرديناناند في براغ. كما أصبح المعلم. بقي في براغ لاستقالته في عام 1927، ثم عاد إلى فيينا.

ترأس ذروة اللجنة في الجامعة الألمانية في براغ، التي عينت آينشتاين من أستاذ قسم الفيزياء الرياضية في عام 1911.

تم انتخابه عضوا في الأكاديمية التشيكية للعلوم والفنون، ولكن تم استبعادها بعد التقاط النازيين براغ.

عندما دخل النازيون النمسا في 12 مارس 1938، عاد إلى براغ. في مارس 1939، غزت النازيون تشيكوسلوفاكيا. في 13 يوليو 1942، تم ترحيل الذروة إلى مخيم Teresyienstadt الذي أنشأه النازيون في جمهورية التشيك الوطنية، حيث توفي بعد أسبوعين في سن 82 عاما.

البحث والدليل

لقد بدأت أعمال البحث الخاصة بي مع معرفة السؤال: ما الأرقام التي يمكنني العثور عليها المربع؟ قم بإنشاء صيغة لحساب مساحة مثلثات مختلفة و Quadgangles I A. ولكن ماذا عن خمسة، ستة، وبشكل عام مع مضلعات؟

خلال الدراسة في مواقع مختلفة، رأيت حلولا للمهام لحساب مساحة مضلعات خمسة وستة وغيرها. صيغة تسمح لك بحل هذه المهام، تسمى صيغة الذروة. يبدو أن هذا: S \u003d B + G / 2-1، حيث يوجد في عدد العقد الكذبة داخل المضلع، G هو عدد العقد ملقى على حدود المضلع. خصوصية هذه الصيغة هي أنه يمكن استخدامها فقط للبضائع المرسومة على الورق المتقلب.

من السهل تقسيم أي مضلع من هذا القبيل إلى مثلثات مع قمم في عقد مصبغة لا تحتوي على عقد إما داخل أو على الجانبين. يمكن أن يظهر أن منطقة كل هذه المثلثات هي نفسها وتساوية، وبالتالي، فإن منطقة المضلع تساوي نصف عددهم T.

للعثور على هذا الرقم، تدل على عدد أطراف المضلع، من خلال عدد العقد داخلها، من خلال G هو عدد العقد على الجانبين، بما في ذلك القمم. يبلغ إجمالي كمية زوايا جميع المثلثات 180 درجة. T.

الآن سنجد المبلغ بطريقة أخرى.

مجموع الزوايا مع قمة الرأس في أي عقدة داخلية هو 2.180 درجة، I.E. المبلغ الإجمالي للزوايا هو 360 درجة. في؛ المبلغ الإجمالي للزوايا في العقد على الجانبين، ولكن ليس في القمم يساوي (g - n) 180 درجة، ومجموع الزوايا في قمم المضلع سيكون مساويا (م - 2) 180 درجة. وهكذا، ر \u003d 2.180 درجة. ب + (السيد) 180 درجة + (N-2) 180 درجة. من خلال فتح الأقواس وتقسيم 360 درجة، نحصل على صيغة لمنطقة مضلع، تعرف باسم صيغة الذروة.

جزء عملي

قررت هذه الصيغة التحقق من المهام من مجموعة OGE-2017. استغرق مهمة حساب مساحة مثلث، رباعي الرباعي والبنتاغون. قررت مقارنة الإجابات، وحل بطريقتين: 1) زودت الأرقام إلى المستطيل ومن مساحة المستطيل التي تم الحصول عليها، تم خصم مساحة مثلثات مستطيلة؛ 2) تطبيق ذروة الصيغة.

S \u003d 18-1.5-4.5 \u003d 12 و S \u003d 7 + 12/2-1 \u003d 12.

S \u003d 24-9-3 \u003d 12 و S \u003d 7 + 12/2-1 \u003d 12.

S \u003d 77-7.5-12-4.5-4 \u003d 49 و S \u003d 43 + 14/2-1 \u003d 49.

مقارنة تم الحصول عليها، استنتج أن كلا الصيغين يعطي نفس الإجابة. العثور على مجال الرقم في صيغة ذروة ذروة تحولت إلى أسرع وأسهل، لأن الحسابات كانت أقل. سهتم سهولة حل وتوفير الوقت في الحسابات مفيدا بالنسبة لي في المستقبل عند تسليم OGE.

دفعتني إلى التحقق من إمكانية استخدام صيغة الذروة على أرقام أكثر تعقيدا.

S \u003d 0 + 4/2 -1 \u003d 1

S \u003d 5 + 11/2-1 \u003d 9.5

S \u003d 4 + 16/2-1 \u003d 1

استنتاج

الصيغة الذروة بسيطة في فهمها ومريحة للاستخدام. أولا، يكفي النظر في النظر والتقسيم في 2 أضعاف وخصمها. ثانيا، يمكنك العثور على منطقة وشخصية معقدة، دون إنفاق الكثير من الوقت. ثالثا، تعمل هذه الصيغة لأي مضلع.

العيب هو أن صيغة الذروة تنطبق فقط على الأرقام التي يتم رسمها على الورق المتقلب والزدة تكمن في عقد الخلايا.

أنا متأكد من أنه عند استسلام الامتحانات النهائية، فإن المهام لحساب مجال الأرقام لن يسبب صعوبات. بعد كل شيء، أنا معتاد بالفعل على صيغة الذروة.

مرجع ببليوغرافي

Gabbazov n.n. ذروة الفورمولا // ابدأ في العلوم. - 2017. - № 6-1. - ص. 130-132؛
عنوان URL: http://science-start.ru/ru/article/view؟id\u003d908 (تاريخ التعامل: 03/05/2020).

يتم وضع نص العمل بدون صور وصيغات.
تتوفر النسخة الكاملة من العمل في علامة التبويب "ملفات العمل" بتنسيق PDF

مقدمة

أنا، طالب الصف 6. بدأ دراسة الهندسة منذ العام الماضي، لأنني أفعل في المدرسة على الكتب المدرسية "الرياضيات. علم الحساب. الهندسة "تحريرها E.A. Binaovich، L.V. Kuznetsova، S.S. مينيفا وغيرها.

المهتمين بهذا الموضوع، بدأت أبحث عن مواد إضافية على الإنترنت. كنتيجة للبحث، جئت عبر صيغة الذروة هي صيغة لحساب منطقة المضلع المستمدة على الورق المتقلب. بحساب المنطقة لهذه الصيغة بدا لي متاحا لأي طالب. هذا هو السبب في أنني قررت إجراء أعمال بحثية.

أهمية الموضوع:

هذا الموضوع هو ملحق وتعميق دراسة دورة الهندسة.

ستساعد دراسة هذا الموضوع في استعدادا أفضل للأولمبياد والامتحانات.

الغرض من العمل:

تعرف على صيغة الذروة.

إرسال تقنيات المهام الهندسية باستخدام صيغة الذروة.

منهج ويلخص المواد النظرية والعملية.

مهام البحث:

تحقق من فعالية وجدوى استخدام الصيغة عند حل المهام.

تعلم تطبيق صيغة الذروة في مهام تعقيد مختلف.

مقارنة المهام حلها باستخدام صيغة الذروة والطريقة التقليدية.

الجزء الرئيسي

1.1. المرجع التاريخي

ولد جورج الكسندر بيك - عالم الرياضيات النمساوي، في 10 أغسطس 1859. كان طفلا موهوبا، تم تدريس والده، برئاسة مؤسسة خاصة. في 16، تخرج جورج من المدرسة ودخلت جامعة فيينا. في سن 20 تلقى الحق في تعليم الفيزياء والرياضيات. جلبت الشهرة في جميع أنحاء العالم صيغة لتحديد مساحة شعرية المضلعات. نشر صيغة له في المادة عام 1899. أصبحت شعبية عندما تضمنت العالم البولندي هوغو شتاينهوز في عام 1969 في نشر الطلقات الرياضية.

ترأس ذروة اللجنة في الجامعة الألمانية في براغ، التي عينت آينشتاين من أستاذ قسم الفيزياء الرياضية في عام 1911.

تم انتخابه عضوا في الأكاديمية التشيكية للعلوم والفنون، ولكن تم استبعادها بعد التقاط النازيين براغ.

1.2. البحث والدليل

خلال الدراسة في مواقع مختلفة، رأيت حلولا للمهام لحساب مساحة مضلعات خمسة وستة وغيرها. صيغة تسمح لك بحل هذه المهام، تسمى صيغة الذروة. انها تبدو مثل هذا: S \u003d B + G / 2-1أين في - عدد العقد ملكي داخل المضلع، G.- عدد العقد ملقاة على حدود المضلع. خصوصية هذه الصيغة هي أنه يمكن استخدامها فقط للبضائع المرسومة على الورق المتقلب.

من السهل تقسيم أي مضلع من هذا القبيل إلى مثلثات مع قمم في عقد مصبغة لا تحتوي على عقد إما داخل أو على الجانبين. يمكن إظهار أن منطقة كل هذه المثلثات هي نفسها وتساوية ½، وبالتالي، فإن منطقة المضلع تساوي نصف عددهم T.

للعثور على هذا الرقم، تدل على عدد الأطراف في المضلع، من خلال في- عدد العقد داخلها، من خلال G.- عدد العقد على الجانبين، بما في ذلك القمم. يبلغ إجمالي كمية زوايا جميع المثلثات 180 درجة. T.

الآن سنجد المبلغ بطريقة أخرى.

مجموع الزوايا مع قمة الرأس في أي عقدة داخلية هو 2.180 درجة، I.E. المبلغ الإجمالي للزوايا هو 360 درجة. في؛المبلغ الإجمالي للزوايا في العقد على الجانبين، ولكن ليس في القمم يساوي ( ز- ن) 180وستكون مجموع الزوايا في قمم المضلع يساوي ( G- 2) 180°. في هذا الطريق، ر \u003d.2.180 درجة. ب + (السيد) 180° + (ن -2)180 °. من خلال فتح الأقواس وتقسيم 360 درجة، نحصل على صيغة لمنطقة مضلع، تعرف باسم صيغة الذروة.

2. الجزء العملي

S \u003d 18-1.5-4.5 \u003d 12 و S \u003d 7 + 12/2-1 \u003d 12

S \u003d 24-9-3 \u003d 12 و S \u003d 7 + 12/2-1 \u003d 12

S \u003d 77-7.5-12-4.5-4 \u003d 49 و S \u003d 43 + 14/2-1 \u003d 49

دفعتني إلى التحقق من إمكانية استخدام صيغة الذروة على أرقام أكثر تعقيدا.

S \u003d 0 + 4/2 -1 \u003d 1

S \u003d 5 + 11/2-1 \u003d 9.5

S \u003d 4 + 16/2-1 \u003d 1

استنتاج

العيب هو أن صيغة الذروة تنطبق فقط على الأرقام التي يتم رسمها على الورق المتقلب والزدة تكمن في عقد الخلايا.

فهرس

Binaovich E.A.، Dorofeyev G.V.، Suvorova S.B. وغيرها. الرياضيات. علم الحساب. الهندسة. الصف الخامس: تعليمي. للتعليم العام. المنظمات مع adj. على الإلكترون. الناقل -3-e ed.-m: التنوير، 2014.- 223، ص. : انا. - (مجالات).

Baynovich E.A.، Kuznetsova L.V.، مينيفا س. وغيرها. الرياضيات. علم الحساب. الهندسة. الصف 6: التعليم. للتعليم العام. المنظمات - 5th ed. m: التنوير، 2016.-240s. : Il .- (مجالات).

vasilyev n.b. حول صيغة الذروة. //kvant.- 1974.-№2. -c.39-43.

Rosets v.v. مهام القمامة. / 5- إد.، الفعل. و أضف. - م.: 2006.-640С.

I.V. Yashchenko. الرياضيات: خيارات الامتحانات النموذجية: O-39 36 خيارات - م.: دار النشر "التعليم الوطني"، 2017. -240 ص. - (OGE. مدرسة فاي).

"أنا حلول OGE": الرياضيات. نظام التدريس Dmitry Gushchina. OGE-2017: المهام والأجوبة والحلول [الموارد الإلكترونية]. وضع الوصول: https://oge.sdamgia.ru/test؟id\u003d6846966 (تاريخ الاستئنام 04/04/2017)

ارسم بعض المضلع على الورق المتقلب. على سبيل المثال، مثل موضح في الشكل 1.

دعونا نحاول حساب منطقتها. كيف افعلها؟ ربما أسهل كسرها مثلثات مستطيلة والمستطيلات التي من السهل بالفعل حساب مناطقها وتضيء النتائج التي تم الحصول عليها. المستخدمة من قبل لي بسيط، ولكن مرهقة للغاية، بالإضافة إلى ذلك، فإنه غير مناسب لأي مضلعات.

النظر في مضلع عدد صحيح غير صحيح Nondegenerate (أي، وهو متصل - يمكن توصيل أي نقطتين بمنحنى مستمر، كليا في ذلك، ويتم احتواء جميع رؤوسها إحداثيات كاملة، حدودها مكسورة متماسكة دون تقاطع الذات، ولديها منطقة غير صفرة). لحساب مساحة مثل هذا المضلع، يمكنك استخدام Theorem التالي:

ذروة نظرية. اسمحوا - عدد نقاط عدد صحيح داخل المضلع - عدد النقاط العددية في حدوده - منطقته. ثم صالحة اختيار الفورمولا:

مثال. من أجل مضلع في الشكل 1 (النقاط الصفراء)، (النقاط الزرقاء، لا تنسى القمم!)، وبالتالي، وحدات مربعة.

دليل على ذروة نظرية. أولا، نلاحظ أن الصيغة الذروة صالحة لساحة واحدة. في الواقع، في هذه الحالة لدينا و

النظر في مستطيل مع الجانبين الكذب على خطوط شعرية. دع طول جوانبه متساو و. لدينا في هذه الحالة، وفقا لصيغة الذروة،

نحن ننظر الآن في مثلث مستطيل مع العملاء يكذبون على محاور الإحداثيات. يتم الحصول على مثلث مثلث من مستطيل مع الأطراف، وفي الحالة السابقة، قم بقطعها على قطري. دع الأقطالين تكمن نقاط عدد صحيح. ثم لهذه المناسبة ونحن نحصل على ذلك

الآن النظر في مثلث تعسفية. يمكن الحصول عليها عن طريق قطع العديد من المستطيلات المستطيلة من المستطيل وربما مستطيل (انظر الأرقام 2 و 3). منذ كلاهما لمستطيل، ولهثان مستطيل من صيغة الذروة، فإننا نحصل على ذلك سيكون صالحا أيضا لمثلث تعسف.

يبقى اتخاذ الخطوة الأخيرة: انتقل من مثلثات إلى مضلعات. يمكن تقسيم أي مضلع إلى مثلثات (على سبيل المثال، الأقطار). لذلك، من الضروري إثبات ذلك ببساطة أنه عند إضافة أي مثلث إلى مضلع تعسفي، تظل صيغة الذروة صحيحة.

دع المضلع والمثلث لديه جانب مشترك. لنفترض أنه بالنسبة لصيغة الذروة، سنثبت أنه سيكون صحيحا عن مضلع تم الحصول عليه من الإضافة. نظرا لأن لديهم الجانب الشامل، فإن جميع نقاط عدد صحيح ملقاة على هذا الجانب، باستثناء رأيتين، تصبح نقاطا داخلية من المضلع الجديد. ستكون القمم نقاط حدودية. تشير إلى عدد النقاط المشتركة من خلال والحصول

عدد النقاط العصرية الداخلية من المضلع الجديد،

عدد نقاط الحدود المضلع الجديدة.

من هذه المساواة نحصل عليه

منذ أن اقترحنا أن نظرية حقيقية وفائدة بشكل منفصل،

وبالتالي، يتم إثبات الصيغة الذروة.

تم فتح هذه الصيغة من قبل الرياضيات النمساوية ذروة جورج أليكساندروف (1859 - 1943) في عام 1899. بالإضافة إلى هذه الصيغة، افتتحت جورج ذروة ذروة ذروة، ذروة - جوليا، الذروة - نيفالين أثبتت عدم المساواة في شوارتز - ذروة. في ملحق 1. يمكنك أن ترى تلك التي تعتبرها لي المهام غير القياسية لاستخدام صيغة الذروة.

اختيار الفورمولا

سقينة فاليري أندريبرا، الطالب 9 فئة ماو "Sosh№11" G Ust-Ilimsk Irkutsk Region

قائد: gubar oksana mikhailovna، مدرس الرياضيات من أعلى فئة التأهيل مذكرة التصفية "Sosh№11" السيد Ust-Ilimsk Irkutsk Region

2016 سنة

مقدمة

عند دراسة موضوع الهندسة في "ميدان المضلع"، قررت معرفة: هل هناك طريقة للعثور على المربعات غير تلك التي درستناها في الدروس؟

بهذه الطريقة، هناك صيغة الذروة. L. V. Gorina في "مواد لإيجاد التعليم الذاتي" وصفت هذه الصيغة: "مقدمة في صيغة الذروة ذات الصلة بشكل خاص عشية تسليم الاستخدام وجيا. مع هذه الصيغة، يمكنك بسهولة حل فئة كبيرة من المهام المقدمة في الامتحانات - هذه مهام للعثور على مساحة المضلع المصور على الورق المتقلب. سيؤدي صيغة الذروة الصغيرة إلى استبدال مجموعة كاملة من الصيغ اللازمة لحل هذه المهام. ستعمل صيغة الذروة "واحدة للجميع ..."! "!

في مواد الامتحان، قابلت المهام ذات المحتوى العملي لأراضي الأراضي. قررت التحقق مما إذا كانت هذه الصيغة تنطبق على العثور على منطقة منطقة المدرسة، وأحياء المدينة، المنطقة. وكذلك استخدامها أمر بعقلانية لحل المشاكل.

كائن الدراسة: ذروة الصيغة.

موضوع البحث: تطبيق العقلانية لعلوم الذروة عند حل المهام.

الهدف من العمل هو إثبات عقلانية استخدام الصيغة الذروة عند حل المهام للعثور على مجال الأرقام المصور على الورق المتقلب.

طرق البحث: النمذجة والمقارنة والتعميم والمواقع ودراسة الموارد الأدبية والإنترنت وتحليل وتصنيف المعلومات.

التقط الأدبيات اللازمة وتحليل المعلومات التي تم الحصول عليها؛

النظر في طرق وتقنيات مختلفة لحل المشكلات على الورق الخلوي؛

تحقق تجريبيا حسب عقلانية استخدام صيغة الذروة؛

النظر في استخدام هذه الصيغة.

الفرضية: إذا قمت بتطبيق ذروة الصيغة للعثور على منطقة المضلع، فيمكنك العثور على منطقة الإقليم، وحل المهام على الورقة المتغيرة سيكون أكثر عقلانية.

الجزء الرئيسي

الجزء النظري

ورقة متقلب (أكثر دقة - العقد) التي نفضلها كثيرا ما نفضل السحب والرسم، هي واحدة من أهم الأمثلة على شعرية نقطة على متن الطائرة. بالفعل هذه شعرية بسيطة تقدم K. Gauss بنقطة البداية لمقارنة منطقة الدائرة بعدد النقاط مع الإحداثيات الصحيحة داخلها. إن حقيقة أن بعض البيانات الهندسية البسيطة حول الأرقام الموجودة على متن الطائرة لها عواقب عميقة في الدراسات الحسابية، لاحظت صراحة من قبل مدينة مينكوزكي في عام 1896، عندما ينتذبت في المرة الأولى للنظر في المشكلات النظرية والعددية الأساليب الهندسية.

ارسم بعض المضلع على الورق المتقلب (الملحق 1، الشكل 1). دعونا نحاول حساب منطقتها. كيف افعلها؟ ربما، أسهل طريقة لكسرها على مثلثات مستطيلة ومصفوفة شبه منحرفة، من السهل بالفعل حساب النتائج والحصول عليها.

الطريقة المستخدمة بسيطة، ولكن مرهقة للغاية، بالإضافة إلى ذلك، فإنه غير مناسب لأي مضلعات. لذلك لا يمكن تقسيم المضلع التالي إلى مثلثات مستطيلة، كما فعلنا ذلك في الحالة السابقة (الملحق 2، الشكل 2). يمكنك، على سبيل المثال، محاولة إضافتها إلى "Good" اللازمة لنا، أي أن المنطقة التي سنكون قادرين على حساب الطريقة الموصوفة، ثم من العدد الناتج من مساحة جزء إضافي.

ومع ذلك، اتضح أن هناك صيغة بسيطة للغاية تسمح لك بحساب مساحة المضلعات مثل القمم في عقد الشبكة المربعة.

ظلت هذه الصيغة دون أن يلاحظها أحد لبعض الوقت بعد أن نشرها الذروة، ولكن في عام 1949 تضمنت الرياضيات البولندية في هيوغو ستاندنغازات نظرية في "مشكال الرياضيات" الشهيرة. من هذا الوقت، أصبح نظرية الذروة معروفا على نطاق واسع. في ألمانيا، يتم تضمين صيغة الذروة في الكتب المدرسية.

إنها نتيجة كلاسيكية للهندسة الفردية والهندسة للأرقام.

دليل على صيغة الذروة

دع ASDD يكون مستطيلا مع القمم في العقد والأحزاب التي تعمل على طول خطوط الشبكة (الملحق 3، الشكل 3).

تشير إلى B - عدد العقد الكذب داخل المستطيل، ومن خلال G هو عدد العقد على حدودها. حرك الشبكة على البولنديين إلى اليمين والمأوى

تحت. ثم يمكن أن يتم توزيع مساحة المستطيل بين العقد على النحو التالي: كل العقد "يتحكم" الخلية الكاملة للشبكة النازحة، وكل من العقد - 4 عقدة غير زاوي حدود - نصف خلية، وكل من النقاط الزاوية هو ربع الخلايا. لذلك، فإن مساحة المستطيل S متساوية

س. \u003d ب +. + 4 · \u003d ب +. - 1 .

لذلك، بالنسبة للمستطيلات التي تحتوي على رؤوس في العقد والأطراف التي تسير على خطوط الشبكة، حددنا الصيغة S \u003d B + - 1 . هذا هو شكل الذروة.

اتضح أن هذه الصيغة حقيقية ليس فقط للمستطيلات، ولكن أيضا للضوابط التعسفي مع القمم في العقد الشبكة.

جزء عملي

العثور على مجال الأرقام بواسطة طريقة هندسية وبسمة الذروة

قررت التأكد من أن صيغة الذروة صحيحة لجميع الأمثلة المدروسة.

اتضح أنه إذا كان يمكن قطع المضلع إلى مثلثات مع رؤوس في العقد الشبكة، فمن الصحيح بالنسبة لذلك صيغة الذروة.

نظرت إلى بعض التحديات على الورق الخلوي مع خلايا من 1 سم 21 سم وقضيتها تحليل مقارن عن طريق حل المهام (الجدول رقم 1).

الجدول # 1 حل المهام بطرق مختلفة.

صورة

وفقا لصيغة الهندسة

بواسطة ذروة الفورمولا

رقم المهمة 1.

S \u003d S. إلخ - (2 ثانية. 1 + 2S. 2 )

س. إلخ =4*5=20 سم 2

س. 1 =(2*1)/2=1 سم 2

س. 2 =(2*4)/2=4 سم 2

S \u003d 20- (2 * 1 + 2 * 4) \u003d 10سم 2

إجابه :10 سم ².

ب \u003d 8، ص \u003d 6

س. \u003d 8 + 6/2 - 1 \u003d 10 (الاستمارات)

الجواب: 10 سم².

المهمة رقم 2.

a \u003d 2، h \u003d 4

S \u003d A * H \u003d 2 * 4 \u003d 8سم 2

إجابه : 8 سم ².

ب \u003d 6، ص \u003d 6

س. \u003d 6 + 6/2 - 1 \u003d 8 (سم²)

الجواب: 8 سم².

المهمة رقم 3.

S \u003d S. KV. - (س. 1 + 2S. 2 )

س. KV. =4 2 =16 سم 2

س. 1 \u003d (3 * 3) / 2 \u003d 4.5 سم 2

س. 2 \u003d (1 * 4) / 2 \u003d 2 سم 2

س.\u003d 16- (4.5 + 2 * 2) \u003d 7.5 سم 2

ب \u003d 6، ز \u003d 5

س. \u003d 6 + 5/2 - 1 \u003d 7.5 (سم²)

الجواب: 7.5 سم².

المهمة رقم 4.

S \u003d S. إلخ - (س. 1 + س 2+ س. 3 )

س. إلخ =4 * 3=12 سم 2

س. 1 =(3*1)/2=1,5 سم 2

س. 2 =(1*2)/2=1 سم 2

س. 3 =(1+3)*1/2=2 سم 2

S \u003d 12- (1.5 + 1 + 2) \u003d 7.5سم 2

ب \u003d 5، ز \u003d 7

س. \u003d 5 + 7/2 - 1 \u003d 7.5 (سم²)

الجواب: 7.5 سم².

رقم المهمة 5.

S \u003d S. إلخ - (س. 1 + س 2+ س. 3 )

س. إلخ =6 * 5=30 سم 2

س. 1 =(2*5)/2=5 سم 2

س. 2 =(1*6)/2=3 سم 2

س. 3 =(4*4)/2=8 سم 2

S \u003d 30- (5 + 3 + 8) \u003d 14سم 2

الجواب: 14 سم²

ب \u003d 12، ص \u003d 6

س. \u003d 12 + 6/2 - 1 \u003d 14 (سم²)

الجواب: 14 سم²

مهمة №6.

س. TR \u003d (4 + 9) / 2 * 3 \u003d 19.5 سم 2

الجواب: 19.5 سم 2

ب \u003d 12، ز \u003d 17

س. \u003d 12 + 17/2 - 1 \u003d 19.5 (الاستراحة)

الجواب: 19.5 سم 2

مهمة №7. ابحث عن منطقة Forest Massif (في م²) تصور على الخطة مع شبكة مربعة 1 × 1 (سم) على مقياس من 1 سم - 200 م

S \u003d S. 1 + س 2+ س. 3

س. 1 =(800*200)/2=80000 م. 2

س. 2 =(200*600)/2=60000 م. 2

س. 3 =(800+600)/2*400=

280000 م. 2

S \u003d.80000+60000+240000=

420000 متر 2.

الجواب: 420،000 متر مربع

ب \u003d 8، ز \u003d 7. س. \u003d 8 + 7/2 - 1 \u003d 10.5 (²)

1 سم² - 200² m²؛ س. \u003d 40000 · 10.5 \u003d 420 000 (م²)

الجواب: 420،000 متر مربع

المهمة رقم 8. وبعد ابحث عن منطقة الحقل (في م²) تم تصويرها على الخطة مع شبكة مربعة 1 × 1 (سم) على النطاق

1 سم - 200 م.

س.= س. KV -2 ( س. tr +. س. سلم)

س. KV \u003d 800 * 800 \u003d 640000 م 2

س. TR \u003d (200 * 600) / 2 \u003d 60000 متر

س. فخ \u003d (200 + 800) / 2 * 200 \u003d

100000 متر 2.

س.=640000-2(60000+10000)=

320000 م 2.

الجواب: 320،000 متر مربع

قرار. تجد س. منطقة Quadsle المصور على الورق المتقلب من قبل ميكلة الذروة:س. \u003d B + - 1

ب \u003d 7، ص \u003d 4. س. \u003d 7 + 4/2 - 1 \u003d 8 (سم²)

1 سم² - 200² m²؛ س. \u003d 40000 · 8 \u003d 320 000 (م²)

الجواب: 320،000 متر مربع

المهمة رقم 9. وبعد العثور على مربعس. القطاعات، عد الخلايا المربعة تساوي 1. استجابة، حدد .

القطاع هو جزء رابع من الدائرة، وبالتالي، فإن منطقتها تساوي مساحة ربع الدائرة. منطقة الدائرة تساوي πرديئة 2 أين رديئة - دائرة نصف قطرها. في حالتنا هذهرديئة =√5 وبالتالي، المنطقةس. القطاعات هي 5π / 4. من عندس./ π \u003d 1.25.

إجابه. 1.25.

ص \u003d 5، ب \u003d 2، س. \u003d B + G / 2 - 1 \u003d 2 + 5/2 - 1 \u003d 3.5، ≈ 1,11

إجابه. 1111.

مهمة رقم 10. العثور على مربع س. حلقات، عد الخلايا المربعة تساوي 1. ردا على ذلك، حدد .

منطقة الحلقات تساوي الفرق في مجال الدوائر الخارجية والداخلية. نصف القطررديئة الدائرة الخارجية على قدم المساواة

2، دائرة نصف قطرها رديئة الدائرة الداخلية 2. وبالتالي، فإن منطقة الحلقات هي 4 وبالتالي، وبعد الجواب: 4.

ص \u003d 8، ب \u003d 8، س. \u003d B + G / 2 - 1 \u003d 8 + 8/2 - 1 \u003d 11، ≈ 3,5

الجواب: 3.5.

الاستنتاجات: المهام المدرجة مشابهة للمهمة من خيارات قياس مواد الامتحان في الرياضيات (المهام رقم 5.6)،.

من قرارات المهام التي تعتبر، رأيت أن بعضهم، مثل المهام رقم 2.6، فمن الأسهل حلها، وتطبيق الصيغ الهندسية، حيث يمكن تحديد الطول والقاعدة في الشكل. لكن معظم المهام تتطلب تقسيم الرقم لأبسط (رقم واحد 7) أو إكمال المستطيل (المهام رقم 14،5)، مربع (المهام رقم 3،8).

من حل المشكلات رقم 9 ورقم 10، رأيت أن استخدام الصيغة الذروة للأرقام التي ليست مضلعات، تعطي نتيجة تقريبية.

من أجل اختبار عقلانية تطبيق صيغة الذروة، أجريت دراسة الوقت الذي يقضيه (الملحق 4، الجدول رقم 2).

الخلاصة: من الجدول والتخطيط (الملحق 4، الرسم البياني 1) يمكن أن نرى أنه عند حل المشكلات مع صيغة الذروة، يتم إنفاق الوقت أقل بكثير.

العثور على مساحة النماذج المكانية

تحقق من قابلية تطبيق هذه الصيغة للأشكال المكانية (الملحق 5، الشكل 4).

ابحث عن منطقة سطح كامل من المستطيل المتوازي، عد الجانب من الخلايا المربعة تساوي 1.

هذا هو عدم وجود صيغة.

تطبيق الصيغة الذروة لإيجاد مساحة الإقليم

حل المهام ذات المحتوى العملي (المهام رقم 7.8؛ الجدول رقم 1)، قررت تطبيق هذه الطريقة للعثور على منطقة أراضي مدرستنا، أحياء مدينة Ust-Ilimsk، منطقة إيركوتسك.

بعد قراءة "مشروع حدود مؤامرة الأرض Mausosh111 G. Nast-Ilimsk" (الملحق 6)، وجدت منطقة إقليم مدرستنا ومقارنتها بمنطقة حدود المؤامرة الأرضية (الملحق 9 ، الجدول 3).

بعد أن نظرت في البنك المناسب ل Ust-Ilimsk (الملحق 7)، حسبما احسبت منطقة Microdistricon ومقارنتها بالبيانات من "Ust-Ilimsk" لمنطقة Irkutsk ". النتائج المقدمة في الجدول (الملحق 9، الجدول 4).

بعد أن نظرت إلى خريطة منطقة إيركوتسك (الملحق 7)، وجدت منطقة الإقليم ومقارنتها مع البيانات من ويكيبيديا. النتائج المقدمة في الجدول (الملحق 9، الجدول 5).

بعد تحليل النتائج، جئت إلى الاستنتاج: وفقا لصيغة الذروة، يمكن العثور على هذه المجالات أسهل بكثير، ولكن النتائج تقريبية.

من الدراسات التي أجريت، والأهمية الأكثر دقة التي تلقيتها عندما أجد مساحة الأراضي المدرسية (الملحق 10، الرسم البياني 2). نجح بتناقض أكبر في النتائج عندما يكون مربع منطقة إيركوتسك (الملحق 10، الرسم البياني 3). هذا يرجع إلى الحقيقة. إن عدم وجود كل حدود المنطقة هي أطراف المضلعات، والقمم ليست نقاطا عقيدة.

استنتاج

نتيجة لعملي، قمت بتوسيع معرفتي حول حل المشكلات على الورقة المتقلبة، حدد تصنيف المهام قيد الدراسة.

عند تنفيذ العمل، تم حل المهام للعثور على مجال المضلعات المصور على الورق المتقلب بطريقتين: هندسي واستخدام صيغة الذروة.

أظهر تحليل الحلول والتجربة لتحديد الوقت الذي يقضيه أن تطبيق الصيغة يجعل من الممكن حل مهمة العثور على مساحة المضلع، أكثر عقلانية. هذا يحفظ الوقت للامتحان في الرياضيات.

العثور على مجال الأرقام المختلفة التي يصور على الورق المتقلب جعل من الممكن أن نستنتج أن استخدام صيغة الذروة لحساب مساحة القطاع الدائري والخاتم غير عملي، لأنه يعطي نتيجة تقريبية، وهذا لا تنطبق صيغة الذروة على حل المشكلات في الفضاء.

وفي العمل أيضا تم العثور على مجالات من مختلف المناطق بواسطة ذروة الصيغة. يمكن أن نستنتج: استخدام الصيغة لإيجاد مجال المناطق المختلفة ممكن، ولكن النتائج تقريبية.

تم تأكيد الفرضية التي رشحها لي.

جئت إلى استنتاج أن الموضوع الذي يهتم بي هو متعدد الأوجه، فإن المهام الموجودة على الورقة المتقلبة متنوعة، وأساليب وتقنيات قراراتهم متنوعة أيضا. لذلك، قررت مواصلة العمل في هذا الاتجاه.

المؤلفات

فولكوف S.D .. مشروع حدود مؤامرة الأرض، 2008، ص. السادس عشر.

جورينا L.V.، الرياضيات. جميع المعلم، M: Science، 2013 جم. رقم 3، ص. 28.

Prokopieva V.P.، Petrov A.G.، الخطة العامة لمدينة Ust-Ilimsk، منطقة إيركوتسك، Gosstroy روسيا، 2004. مع. 65.

RISS E. A. A.، Zharkovskaya N. M.، هندسة الورقة المتقلبة. ذروة الصيغة. - موسكو، 2009، № 17، ص. 24-25.

Smirnova I. M.،. Smirnov V. A، الهندسة على الورق الخلوي. - موسكو، البرك الصرفة، 2009، ص. 120.

Smirnova I. M.، Smirnov V. A.، المهام الهندسية ذات المحتوى العملي. - موسكو، البرك الصرفة، 2010، ص. 150.

أهداف المهام المصرفية المفتوحة في الرياضيات FIPI، 2015.

خريطة مدينة Ust-Ilimsk.

خريطة منطقة إيركوتسك.

ويكيبيديا.

العمل الإبداعي "تطبيق صيغة الذروة". هندسة

مرجع ببليوغرافي

مقدمة

الجزء الرئيسي

الجزء النظري

دليل على صيغة الذروة

جزء عملي

العثور على مجال الأرقام بواسطة طريقة هندسية وبسمة الذروة

العثور على مساحة النماذج المكانية

تطبيق الصيغة الذروة لإيجاد مساحة الإقليم

استنتاج

المؤلفات

نوصي بالمقالات الأخرى

ما هو الفخر والغرور ما هو كبرياء مثل الخطيئة

كيف تتعلم اليابانية بنفسك؟