الرسوم البيانية الوظيفية. قوس جيب التمام العكسي - الخصائص والرسوم البيانية والصيغ رسم بياني للدالة arcsin x 2

غالبًا ما يتم تقديم المهام المثلثية العكسية في امتحانات التخرج من المدرسة الثانوية وامتحانات القبول في بعض الجامعات. لا يمكن إجراء دراسة مفصلة لهذا الموضوع إلا في الفصول الاختيارية أو المقررات الاختيارية. تم تصميم الدورة التدريبية المقترحة لتطوير قدرات كل طالب على أكمل وجه ممكن ، لتحسين تدريبه الرياضي.

الدورة مصممة لمدة 10 ساعات:

1.الوظائف arcsin x و arccos x و arctg x و arcctg x (4 ساعات).

2- عمليات الدوال المثلثية العكسية (4 ساعات).

3. العمليات المثلثية العكسية على الدوال المثلثية (2 ساعة).

الدرس 1 (ساعتان) الموضوع: الدالات y = arcsin x، y = arccos x، y = arctan x، y = arcctg x.

الغرض: تغطية كاملة لهذه القضية.

1. الوظيفة y = arcsin x.

أ) بالنسبة للدالة y = sin x على المقطع ، توجد دالة عكسية (أحادية القيمة) ، والتي اتفقنا على تسميتها القوسين ونشير إليها على النحو التالي: y = arcsin x. الرسم البياني للدالة العكسية متماثل مع الرسم البياني للوظيفة الرئيسية بالنسبة لمنصف زوايا الإحداثيات من الأول إلى الثالث.

خصائص الوظيفة y = arcsin x.

1) مجال التعريف: مقطع [-1 ؛ 1] ؛

2) مجال التغيير: الجزء ؛

3) الوظيفة y = arcsin x فردية: arcsin (-x) = - arcsin x ؛

4) الوظيفة y = arcsin x تتزايد بشكل رتيب ؛

5) يتقاطع الرسم البياني مع محاور Ox و Oy في الأصل.

مثال 1. أوجد a = arcsin. يمكن صياغة هذا المثال بالتفصيل على النحو التالي: ابحث عن مثل هذه الحجة ، الكذب في النطاق من إلى ، الذي يساوي جيبه.

حل. هناك عدد لا يحصى من الحجج التي يكون شرطها متساويًا ، على سبيل المثال: إلخ. لكننا مهتمون فقط بالحجة الموجودة في هذا الجزء. مثل هذه الحجة ستكون. وبالتالي، .

مثال 2. بحث .حل.الاستدلال بنفس الطريقة كما في المثال 1 ، نحصل عليه .

ب) تمارين الفم. أوجد: arcsin 1، arcsin (-1)، arcsin، arcsin ()، arcsin، arcsin ()، arcsin، arcsin ()، arcsin 0. نموذج للإجابة: حيث ... هل التعبيرات منطقية :؛ آركسين 1.5 ؛ ?

ج) قم بالترتيب التصاعدي: arcsin ، arcsin (-0.3) ، arcsin 0.9.

ثانيًا. الدالات y = arccos x ، y = arctan x ، y = arcctg x (مماثلة).

الدرس 2 (ساعتان) الموضوع: الدوال المثلثية المعكوسة والرسوم البيانية الخاصة بها.

الغرض: من الضروري في هذا الدرس ممارسة المهارات في تحديد القيم الدوال المثلثية، في بناء الرسوم البيانية للوظائف المثلثية العكسية باستخدام D (y) و E (y) والتحولات اللازمة.

في هذا الدرس ، قم بإجراء تمارين تتضمن إيجاد المجال ، ومجال قيم الوظائف من النوع: y = arcsin ، y = arccos (x-2) ، y = arctan (tg x) ، y = arccos.

من الضروري بناء رسوم بيانية للوظائف: أ) y = arcsin 2x ؛ ب) ص = 2 قوسين 2 س ؛ ج) ص = أركسين ؛

د) ص = أركسين ؛ ه) ص = أركسين ؛ و) ص = أركسين ؛ ز) ص = | قوسين | ...

مثال.مؤامرة y = arccos

يمكنك تضمين التمارين التالية في واجبك: بناء الرسوم البيانية للوظائف: y = arccos، y = 2 arcctg x، y = arccos | x | ...

الرسوم البيانية للدالة المعكوسة

الدرس رقم 3 (ساعتان) الموضوع:

العمليات على التوابع المثلثية العكسية.

الغرض: لتوسيع المعرفة الرياضية (هذا مهم للمتقدمين للتخصصات ذات المتطلبات المتزايدة للتدريب الرياضي) من خلال إدخال العلاقات الأساسية للوظائف المثلثية العكسية.

مادة للدرس.

بعض أبسط العمليات المثلثية على الدوال المثلثية العكسية: الخطيئة (arcsin x) = x، i xi؟ 1 ؛ cos (arсcos x) = x، i xi؟ 1 ؛ tg (arctan x) = x ، x I R ؛ ctg (arcctg x) = x، x I R.

تمارين.

أ) tg (1.5 + arctan 5) = - ctg (arctan 5) = .

ctg (arctg x) = ؛ tg (arcctg x) =.

ب) كوس (+ arcsin 0.6) = - كوس (قوسين 0.6). دع arcsin 0.6 = a ، sin a = 0.6 ؛

كوس (arcsin x) = ؛ الخطيئة (arccos x) =.

ملاحظة: نأخذ علامة "+" أمام الجذر لأن a = arcsin x يرضي.

ج) الخطيئة (1،5 + arcsin) الجواب :؛

د) ctg (+ arctan 3) الجواب :؛

ه) tg (- arcctg 4) الإجابة:.

و) كوس (0.5 + arccos). إجابة: .

احسب:

أ) الخطيئة (2 arctan 5).

لنفترض أن الدالة arctan 5 = a ، ثم sin 2 a = أو الخطيئة (2 arctan 5) = ;

ب) كوس (+ 2 arcsin 0.8) الإجابة: 0.28.

ج) arctg + arctg.

دع أ = أركتان ، ب = أركتان ،

ثم tg (a + b) = .

د) الخطيئة (أركسين + أركسين).

ه) إثبات ذلك للجميع x I [-1 ؛ 1] هو صحيح arcsin x + arccos x =.

دليل:

arcsin x = - arccos x

الخطيئة (arcsin x) = الخطيئة (- arccos x)

س = كوس (arccos x)

لحل مستقل:الخطيئة (arccos) ، cos (arcsin) ، cos (arcsin ()) ، الخطيئة (arctg (- 3)) ، tg (arccos) ، ctg (arccos).

لحل محلي الصنع: 1) الخطيئة (arcsin 0.6 + arctan 0) ؛ 2) arcsin + arcsin ؛ 3) ctg (- arccos 0.6) ؛ 4) كوس (2 arcctg 5) ؛ 5) الخطيئة (1.5 - أركسين 0.8) ؛ 6) أركتان 0.5 - أركتان 3.

الدرس № 4 (ساعتان) الموضوع: العمليات على الدوال المثلثية العكسية.

الغرض: في هذا الدرس توضيح استخدام النسب في تحويل التعبيرات الأكثر تعقيدًا.

مادة للدرس.

شفويا:

أ) الخطيئة (arccos 0.6) ، كوس (arcsin 0.8) ؛

ب) tg (arcсtg 5) ، ctg (arctan 5) ؛

ج) الخطيئة (arctg -3) ، كوس (arcсtg ()) ؛

د) tg (arccos) ، ctg (arccos ()).

مكتوب:

1) كوس (أركسين + أركسين + أركسين).

2) cos (arctan 5 - arccos 0.8) = cos (arctan 5) cos (arccos 0.8) + sin (arctan 5) sin (arccos 0.8) =

3) tg (- arcsin 0.6) = - tg (arcsin 0.6) =

4)

سيساعد العمل المستقل في تحديد مستوى استيعاب المواد

1) تى جى (أركتان 2 - أركتج) 2) كوس (- arctg2) 3) arcsin + arccos	1) كوس (arcsin + arcsin) 2) الخطيئة (1.5 - أركتان 3) 3) ARCCTG3 - ARCTG 2

للواجب المنزلي ، يمكنك تقديم:

1) ctg (arctg + arctg + arctg) ؛ 2) الخطيئة 2 (أركتان 2 - أركتج ()) ؛ 3) الخطيئة (2 arctan + tg (arcsin)) ؛ 4) الخطيئة (2 arctg) ؛ 5) تي جي ((أركسين))

الدرس № 5 (ساعتان) الموضوع: العمليات المثلثية العكسية على الدوال المثلثية.

الغرض: لتكوين فكرة للطلاب حول العمليات المثلثية العكسية على الدوال المثلثية ، ركز على زيادة مغزى النظرية التي تتم دراستها.

عند دراسة هذا الموضوع ، يُفترض أن كمية المادة النظرية المراد حفظها محدودة.

مادة الدرس:

يمكنك البدء في تعلم مادة جديدة عن طريق فحص الوظيفة y = arcsin (sin x) والتخطيط لها.

3. يرتبط كل x I R بـ y I ، أي<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. الوظيفة فردية: sin (-x) = - sin x؛ arcsin (sin (-x)) = - arcsin (sin x).

6. رسم بياني y = arcsin (sin x) على:

أ) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

ب)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin (- x) = sinx ، 0<= - x <= .

وبالتالي،

بعد بناء y = arcsin (sin x) ، نواصل بشكل متماثل حول الأصل إلى [-؛ 0] ، مع مراعاة غرابة هذه الوظيفة. باستخدام الدورية ، سنستمر في محور العدد بالكامل.

ثم اكتب بعض النسب: arcsin (الخطيئة أ) = أ إذا<= a <= ; arccos (cos أ ) = أ إذا 0<= a <= ؛ arctan (tg a) = أ إذا< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

وقم بإجراء التمارين التالية: أ) arccos (الخطيئة 2) الجواب: 2 -؛ ب) arcsin (كوس 0.6) الإجابة: - 0.1 ؛ ج) arctan (tg 2) الجواب: 2 -؛

د) arcctg (tg 0.6) الإجابة: 0.9؛ ه) arccos (كوس (- 2)) الجواب: 2 - ؛ و) أركسين (الخطيئة (- 0.6)). الجواب: - 0.6 ؛ ز) arctan (tg 2) = arctan (tg (2 -)). الجواب: 2 - ؛ ح) أركتج (تان 0.6). الجواب: - 0.6 ؛ - arctg x ؛ ه) arccos + arccos

الرسومات الوظيفية

وظيفة شرط

- الكثير من صكل الأعداد الحقيقية.

مجموعة من القيم الدالة- الجزء [-1 ؛ 1] ، أي دالة الجيب - محدود.

الوظيفة غريبة:الخطيئة (−x) = - sin x للجميع х ∈ ص.

الوظيفة الدورية

sin (x + 2π k) = sin x ، حيث k ∈ ضللجميع х ∈ ص.

الخطيئة س = 0ل س = π ك ، ك ∈ ض.

الخطيئة x> 0(موجب) لكل x ∈ (2π k، π + 2π k)، k ∈ ض.

الخطيئة x< 0 (سالب) لجميع س ∈ (π + 2π ك ، 2π + 2π ك) ، ك ∈ ض.

دالة جيب التمام

نطاق الوظيفة- الكثير من صكل الأعداد الحقيقية.

مجموعة من القيم الدالة- الجزء [-1 ؛ 1] ، أي وظيفة جيب التمام - محدود.

الوظيفة زوجية: cos (−x) = cos x لجميع х ∈ ص.

الوظيفة الدوريةمع أصغر فترة موجبة 2π:

كوس (س + 2π ك) = cos x أين ك ∈ ضللجميع х ∈ ص.

كوس س = 0في
cos x> 0للجميع
كوس x< 0 للجميع
الوظيفة تتزايدمن -1 إلى 1 على فترات:
الوظيفة تتناقصمن -1 إلى 1 على فترات:
أكبر قيمة للدالة sin x = 1في النقاط:
أصغر قيمة للدالة sin x = −1في النقاط:

وظيفة الظل

مجموعة من القيم الدالة- خط الأعداد الصحيح ، أي الظل - الوظيفة غير محدود.

الوظيفة غريبة: tg (−x) = - tg x
الرسم البياني للوظيفة متماثل حول محور OY.

الوظيفة الدوريةمع أصغر فترة إيجابية π ، أي tg (س + π ك) = tg x ، ك ∈ ضللجميع س من المجال.

دالة ظل التمام

مجموعة من القيم الدالة- خط الأعداد الصحيح ، أي ظل التمام - الوظيفة غير محدود.

الوظيفة غريبة: ctg (−x) = - ctg x لكل x من المجال.
الرسم البياني للوظيفة متماثل حول محور OY.

الوظيفة الدوريةمع أصغر فترة إيجابية π ، أي ctg (x + π ك) = ctg x ، ك ∈ ضللجميع س من المجال.

دالة القوسين

نطاق الوظيفة- الجزء [-1 ؛ 1]

مجموعة من القيم الدالة- المقطع / 2 arcsin x π / 2 ، أي دالة القوسين محدود.

الوظيفة غريبة: arcsin (−x) = - arcsin x للجميع х ∈ ص.
الرسم البياني للدالة متماثل حول الأصل.

على كامل مجال التعريف.

دالة قوس جيب التمام

نطاق الوظيفة- الجزء [-1 ؛ 1]

مجموعة من القيم الدالة- الجزء 0 arccos x π ، أي معكوس دالة جيب التمام محدود.

الوظيفة تصاعديةعلى كامل مجال التعريف.

دالة قوسية

نطاق الوظيفة- الكثير من صكل الأعداد الحقيقية.

مجموعة من القيم الدالة- الجزء 0 π ، أي قوس ظل - وظيفة محدود.

الوظيفة غريبة: arctan (−x) = - arctan x للجميع х ∈ ص.
الرسم البياني للدالة متماثل حول الأصل.

الوظيفة تصاعديةعلى كامل مجال التعريف.

دالة قوس التمام

نطاق الوظيفة- الكثير من صكل الأعداد الحقيقية.

مجموعة من القيم الدالة- الجزء 0 π ، أي ظل التمام القوسي - وظيفة محدود.

الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.
الرسم البياني للوظيفة غير متماثل لا حول الأصل ولا حول محور Oy.

الوظيفة تتناقصعلى كامل مجال التعريف.

التعريف والترميز

قوس القوس (ص = أركسين x) هي دالة الجيب العكسية (x = ذ الخطيئة -1 ≤ س ≤ 1ومجموعة القيم / 2 ص π / 2.
الخطيئة (arcsin x) = x ;
arcsin (sin x) = x .

يُشار أحيانًا إلى Arcsine على النحو التالي:
.

الرسم البياني لدالة القوسين

الرسم البياني للدالة y = أركسين x

يتم الحصول على مؤامرة القوس من مخطط الجيب عن طريق تبديل محاور الإحداثي والإحداثيات. للقضاء على الغموض ، فإن نطاق القيم محدود بالفاصل الزمني الذي تكون فيه الوظيفة رتيبة. هذا التعريف يسمى القيمة الرئيسية للقوس.

Arccosine ، arccos

التعريف والترميز

قوس جيب التمام (y = arccos x) هي الدالة العكسية لجيب التمام (x = مريح). لها نطاق -1 ≤ س ≤ 1ومعاني كثيرة 0 ≤ y π.
كوس (arccos x) = x ;
arccos (cos x) = x .

يشار إلى Arccosine أحيانًا على النحو التالي:
.

الرسم البياني لدالة Arccosine

الرسم البياني للدالة y = arccos x

يتم الحصول على مؤامرة جيب التمام المعكوس من مخطط جيب التمام عن طريق تبديل محاور الإحداثي السيني وتنسيقها. للقضاء على الغموض ، فإن نطاق القيم محدود بالفاصل الزمني الذي تكون فيه الوظيفة رتيبة. يسمى هذا التعريف القيمة الرئيسية لجناح القوس.

التكافؤ

وظيفة القوسين غريبة:
arcsin (- x) = arcsin (-sin arcsin x) = arcsin (sin (-arcsin x)) = - arcsin x

دالة جيب التمام العكسية ليست زوجية أو فردية:
arccos (- x) = arccos (-cos arccos x) = arccos (cos (π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

الخصائص - القيم القصوى ، الزيادة ، النقصان

دالتا الجيب العكسي وجيب التمام العكسي مستمرتان في مجال تعريفهما (انظر إثبات الاستمرارية). يتم عرض الخصائص الرئيسية للأركسين والأركسين في الجدول.

	ص = أركسين x	ص = arccos x
مجال التعريف والاستمرارية	- 1 ≤ س ≤ 1	- 1 ≤ س ≤ 1
مدى من القيم
زيادة نقصان	يزيد بشكل رتيب	ينخفض ​​بشكل رتيب
ارتفاعات
الدنيا
الأصفار ، ص = 0	س = 0	س = 1
نقاط التقاطع مع المحور y ، x = 0	ص = 0	ص = π / 2

طاولة أركسين و أركوزين

يوضح هذا الجدول قيم الأقواس و القوس القوسي ، بالدرجات والراديان ، لبعض قيم الوسيطة.

x	أركسين x		arccos x
	وابل.	مسرور.	وابل.	مسرور.
- 1	- 90 درجة	-	180 درجة	π
-	- 60 درجة	-	150 درجة
-	- 45 درجة	-	135 درجة
-	- 30 درجة	-	120 درجة
0	0°	0	90 درجة
	30 درجة		60 درجة
	45 درجة		45 درجة
	60 درجة		30 درجة
1	90 درجة		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

الصيغ

أنظر أيضا: اشتقاق الصيغ للدوال المثلثية العكسية

صيغ الجمع والفرق

في أو

في و

في و

في أو

في و

في و

في

في

في

في

التعابير اللوغاريتمية والأرقام المركبة

أنظر أيضا: اشتقاق الصيغ

التعبيرات من حيث الدوال الزائدية

المشتقات

;
.
انظر مشتقات Arcsine و Arccosine >>>

المشتقات عالية الرتبة:
,
أين هي كثير الحدود من الدرجة. يتم تحديده من خلال الصيغ:
;
;
.

انظر اشتقاق مشتقات الرتبة الأعلى من القوسين والأركسين >>>

التكاملات

التعويض x = الخطيئة ر... ندمج حسب الأجزاء ، مع الأخذ في الاعتبار أن-/ 2 ≤ ر ≤ π / 2, كوس ر ≥ 0:
.

دعونا نعبر عن جيب التمام العكسي بدلالة الجيب العكسي:
.

توسيع السلسلة

لـ | x |< 1 يحدث التحلل التالي:
;
.

وظائف معكوسة

معكوس القوسين وجيب التمام هما الجيب وجيب التمام ، على التوالي.

الصيغ التالية صالحة في جميع أنحاء المجال:
الخطيئة (arcsin x) = x
كوس (arccos x) = x .

الصيغ التالية صالحة فقط على مجموعة قيم القوس والزاوية:
arcsin (sin x) = xفي
arccos (cos x) = xفي .

مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب المؤسسات التقنية ، "Lan" ، 2009.

أنظر أيضا: