Случаи приведения плоской системы сил к простейшему виду. Приведение системы сил к простейшему виду Приведение к равнодействующей

Случаи приведения к простейшему виду

Приведение к паре

Пусть в результате приведения сил к центру О оказалось, что главный вектор равен нулю, а главный момент отличен от нуля: . Тогда в силу основной теоремы статики можем написать

Это означает, что исходная система сил в этом случае эквивалентна паре сил с моментом .

Момент пары не зависит от того, какая точка выбрана в качестве центра моментов при вычислении момента пары. Следовательно, в данном случае главный момент не должен зависеть от выбора центра приведения. Но именно к этому выводу и приводит соотношение

связывающее главные моменты относительно двух различных центров. При добавочный член также равен нулю, и мы получаем

Приведение к равнодействующей

Пусть теперь главный вектор не равен нулю, а главный момент равен нулю: . В силу основной теоремы статики имеем

то есть система сил оказывается эквивалентной одной силе - главному вектору. Следовательно, в этом случае исходная система сил приводится к равнодействующей, и эта равнодействующая совпадает с главным вектором, приложенным в центре приведения: .

Система сил приводится к равнодействующей и в том случае, когда главный вектор и главный момент оба не равны нулю, но взаимно перпендикулярны: . Доказательство осуществляется при помощи следующей последовательности действий.

Через центр приведения О проводим плоскость, перпендикулярную главному моменту (рис. 50, а). На рисунке эта плоскость совмещена с плоскостью чертежа, в ней же расположен главный вектор . В этой плоскости строим пару с моментом , причем силы пары выберем равными по модулю главному вектору ; тогда плечо пары будет равно . Далее переместим пару в ее плоскости таким образом, чтобы одна из сил пары оказалась приложенной в центре приведения О противоположно главному ; вторая сила пары будет приложена в точке С, отстоящей от центра О в нужную сторону, определяемую направлением , на расстоянии ОС, равном плечу пары h (рис. 50, б). Отбрасывая теперь уравновешенные силы R и - , приложенные в точке О, приходим к одной силе , приложенной в точке С (рис. 50, в). Она и будет служить равнодействующей данной системы сил .

Видно, что равйодействующая по-прежнему равна главному вектору , однако отличается от главного вектора своей точкой приложения. Если главный вектор приложен в центре приведения О, то равнодействующая - в точке С, положение которой требует специального определения. Геометрический способ нахождения точки С виден из проделанного выше построения.

Для момента равнодействующей относительно центра приведения О можно написать (см. рис. 50):

или, опуская промежуточные значения:

Если спроектировать это векторное равенство на какую-либо ось , проходящую через точку О, получаем соответствующее равенство в проекциях:

Вспоминая, что проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, является моментом силы относительно оси, перепишем этой равенство так:

Полученные равенства выражают теорему Вариньона в ее общем виде (в лекции 2 теорема была сформулирована только для сходящихся сил): если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей (относительно точки, относительно оси) равен сумме моментов всех заданных сил - составляющих (относительно той же точки, той же оси). Понятно, что в случае точки суммирование моментов векторное, в случае оси - алгебраическое.

Приведение к динаме

Динамой или динамическим винтом называется совокупность пары сил и силы, направленной перпендикулярно плоскости действия пары. Можно показать, что в общем случае приведения, когда и не перпендикулярен , исходная система сил эквивалентна некоторой динаме.

Случай I.

Если главный вектор системы сил равен нулю и ее главный момент относительно центра приведения равен нулю, то силы взаимно уравновешиваются.

Случай II.

Если главный вектор системы сил равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения не равен нулю, то силы приводятся к паре сил. Момент этой пары сил равен главному моменту системы сил относительно центра приведения.

В этом случае главные моменты системы сил относительно всех точек пространства геометрически равны.

Случай III.

Если главный вектор системы сил не равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения равен нулю, то силы приводятся к равнодействующей , линия действия которой проходит через центр привидения.

Случай IV. и .

Если главный момент системы сил относительно центра приведения перпендикулярен к главному вектору, то силы приводятся к равнодействующей , линия действия которой не проходит через центр приведения (рис. 145).

Случай V. и .

Если главный момент системы сил относительно центра приведения не перпендикулярен к главному вектору, то силы приводятся к двум скрещивающимся силам или к силовому винту (динаме), т.е. к совокупности силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна к силе.

Приведение к двум скрещивающимся силам (рис. 147):

Уравнения равновесия различных систем сил

Для сил, произвольно расположенных в пространстве, соответствуют два условия равновесия:

Модули главного момента и главного вектора для рассматриваемой системы сил определяются по формулам:

Условия выполняются только при соответствующих им шести основных уравнения равновесия сил, расположенных произвольно в пространстве:

Первые три уравнения называют уравнениями моментов сил относительно осей координат, а последние три - уравнениями проекций сил на оси.

Формы уравнений равновесия плоской системы сил

Для сил, произвольно расположенных на плоскости, имеются два условия равновесия:

Два условия равновесия сил, произвольно расположенных на плоскости, можно выразить в виде системы трех уравнений:

Эти уравнения называются основными уравнениями равновесия плоской системы сил. Центр моментов и направление осей координат для этой системы уравнений можно выбирать произвольно.

Существует и две другие системы трех уравнений системы сил.

При этом в системе ось u не должна быть перпендикулярна прямой проходящей через точки A и B.

Так как главные моменты системы сил относительно двух центров равны нулю, то рассматриваемая система сил не приводится к паре сил. Проекция равнодействующей на любую ось равна сумме проекций составляющих сил, т.е. следовательно, предполагаемая равнодействующая Таким образом, система сил не приводится ни к паре сил, ни к равнодействующей, а, следовательно, уравновешивается.

где точки A, B, C не лежат на одной прямой. В этом случае силы не приводятся к паре сил, так как главные моменты сил относительно трех центров равны нулю. Силы не приводятся и к равнодействующей, так как если она существует, то линия ее действия не может пройти через три точки не лежащие на одной прямой. Таким образом, система сил не приводится ни к паре сил, ни к равнодействующей, а, следовательно, уравновешивается.

Центр параллельных сил

При сложении двух параллельных сил две параллельные приводятся к одной силе - равнодействующей, линия действия которой направлена параллельно линиям действия сил. Равнодействующая приложена в точке делящей прямую, на расстояния обратно пропорциональные величинам сил.

Поскольку силу можно переносить по линии ее действия, то точка приложения равнодействующей не определена. Если силы повернуть на один и тот же угол и вновь произвести сложение сил, то получим другое направление линии действия равнодействующей. Точка пересечения этих двух линий равнодействующих может рассматриваться как точка приложения равнодействующей, не изменяющая своего положения при повороте всех сил одновременно на один и тот же угол. Такая точка называется центром параллельных сил.

Как выше было доказано, произвольная система сил, как угодно расположенных в пространстве, может быть приведена к одной силе, равной главному вектору системы и приложенной в произвольном центре приведения О , и одной паре с моментом , равным глав­ному моменту системы относительно того же центра. Поэтому в дальнейшем произвольную систему сил можно заменять эквива­лентной ей совокупностью двух векторов - силы и момента , приложенных в точке О . При изменении положения центра приведения О главный вектор будет сохранять величину и напра­вление, а главный момент будет изменяться. Докажем, что если главный вектор отличен от нуля и перпендикулярен к главному моменту, то система сил приводится к одной силе, которую в этом случае будем называть равнодействующей (рис.8). Главный момент можно представить парой сил ( , ) с плечом , тогда силы и главный век тор образуют систему двух

сил эквивалентную нулю, которую можно отбросить. Останется одна сила , действующая вдоль прямой, параллельной главно

Рис 8 му вектору и проходящей на расстоянии

h = от плоскости, образуемой векторами и . Рассмотренный случай показывает, что если с самого начала выбрать центр приведения на прямой L, то систему сил сразу бы привели к равнодействующей, главный момент был бы равен нулю. Теперь докажем, что если главный вектор отличен от нуля и не перпендикулярен к главному моменту, то за центр приведения может быть выбрана такая точка О *, что главный момент относительно этой точки и главный вектор расположатся на одной прямой. Для доказательства разложим момент на две составляю­щие- одну , направленную вдоль главного вектора, и другую - перпендикулярную к главному вектору. Тем самым пара сил раскладывается на две пары с моментами: и , причем плоскость первой пары перпендикулярна к , тогда плоскость второй пары, перпендикулярная к вектору (рис 9) содержит вектор . Совокупность пары с моментом и силы образует систему сил, которая может быть сведена к одной силе (рис.8) , проходящей через точку О* . Таким образом (рис 9), совокупность главного вектора и главного момента в точке О сведена к силе , проходящей через точку О* , и паре с моментом параллельным этой прямой , что и требовалось доказать. Совокупность силы и пары, плоскость которой перпендикулярна к линии действия силы, называется динамой (рис.10). Пару сил можно представить двумя равными по величине силами ( , ), расположенными как показано на рис 10. Но, сложив две силы и , получим их сумму и оставшуюся силу , откуда следует (рис.10), что совокупность главного вектора и главного момента в точке О , может быть сведена к двум непересекающимся силам и .

Рассмотрим некоторые случаи приведения системы сил.

1. Плоская система сил. Пусть для определённости все силы находятся в плоскости OXY . Тогда в самом общем случае

Главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, их скалярное произведение равно нулю, действительно

следовательно, главный вектор перпендикулярен главному моменту: плоская система сил приводится к равнодействующей.

2. Система параллельных сил. Пусть для определённости все силы параллельны оси OZ . Тогда в самом общем случае

Здесь также главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, а их скалярное произведение равно нулю, действительно

следовательно, и этом случае главный вектор перпендикулярен главному моменту: система параллельных сил приводится к равнодействующей. В частном случае, если равен нулю, то и главный вектор сил равен нулю, и система сил приводится к паре сил, вектор момента которой находится в плоскости OXY . Систематизируем теперь рассмотренные случаи. Напомним: произвольная пространственная система сил, приложенная к твердому телу, статически эквивалентна силе, равной главному вектору, приложенной в произвольной точке тела (центре приведения), и паре сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно указанного центра приведения.

Рассмотрим некоторые частные случаи предыдущей теоремы.

1. Если для данной системы силR = 0, M 0 = 0, то она находится в равновесии.

2. Если для данной системы силR = 0, M 0  0, то она приводится к одной паре с моментом M 0 = m 0 (F i). В этом случае величина M 0 не зависит от выбора центра О.

3. Если для данной системы силR  0, то она приводится к одной равнодействующей, причем если R  0 и M 0 = 0, то система заменяется одной силой, т.е. равнодействующей R, проходящей через центр О; в случае если R  0 и M 0  0, то система заменяется одной силой, проходящей через некоторую точку С, причем ОС = d(OCR) и d = |M 0 |/R.

Таким образом, плоская система сил, если она не находится в равновесии, приводится или к одной равнодействующей (когда R  0) или к одной паре (когда R = 0).

Пример 2. К диску приложены силы:

(рис. 3.16) привести эту систему сил к простейшему виду.

Решение: выберем систему координат Оху. За центр приведения выберем точку О. Главный векторR:

R x = F ix = -F 1 cos30 0 – F 2 cos30 0 +F 4 cos45 0 = 0; Рис. 3.16

R y = F iy = -F 1 cos60 0 + F 2 cos60 0 – F 3 + F 4 cos45 0 = 0. Поэтому R = 0.

Главный момент системы М 0:

М 0: = m 0 (F i) = F 3 *a – F 4 *a*sin45 0 = 0, где а – радиус диска.

Ответ: R = 0; М 0 = 0; тело находится в равновесии.

Привести к простейшему виду систему силF 1 , F 2 , F 3, изображенную на рисунке (рис. 3.17). Силы F 1 и F 2 направлены по противоположным сторонам, а сила F 3 – по диагонали прямоугольника ABCD, сторона AD которого равна a. |F 1 | = |F 2 | = |F 3 |/2 = F.

Решение: направим оси координат так, как это показано на рисунке. Определим проекции всех сил на оси координат:

Модуль главного вектора R равен:
;
.

Направляющие косинусы будут:
;
.

Отсюда: (х,R) = 150 0 ; (y, R) = 60 0 .

Определим главный момент системы сил относительно центра приведения А. Тогда

m A = m A (F 1) + m A (F 2) + m A (F 3).

Учитывая, чтоm A (F 1) = m A (F 3) = 0, так как направление сил проходит через точку А, тогда

m A = m A (F 2) = F*a.

Таким образом система сил приведена к силе R и паре сил с моментом m A , направленном против часовой стрелки (рис. 3.18).

Ответ: R = 2F; (х,^ R) = 150 0 ; (y,^ R) = 60 0 ; m A = F*a.

Вопросы для самоконтроля

Что такое момент силы относительно центра?

Что такое пара сил?

Приведение произвольной плоской системы сил к данному центру?

Сложение параллельных сил?

Литература: , , .

Лекция 4. Условия равновесия произвольной плоской системы сил

Основная форма условий равновесия. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю:

F ix = 0; F iy = 0; m 0 (F i) = 0.

Вторая форма условий равновесия: Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно каких-либо двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ох не перпендикулярную к прямой АВ, были равны нулю:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; F ix = 0.

Третья форма условий равновесия (уравнение трех моментов): Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма всех этих сил относительно любых трех центров А, В, С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; m С (F i) = 0.

Пример 1. Определить реакции заделки консольной балки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, одной сосредоточенной силы и двух пар сил (рис. 4.1); интенсивность нагрузкиq = 3*10 4 H/м; F = 4*10 4 H; m 1 = 2*10 4 H*м; m 2 = 3*10 4 H*м. BN = 3м; NC = 3м; CA = 4м.

Решение:

По принципу освобождаемости от связей заменим связи соответствующими реакциями. При жесткой заделке в стене возникает сила реакцииR A неизвестного направления и неизвестным моментом m А (рис. 4.2). Распределенную нагрузку заменим эквивалентной сосредоточенной силой Q, приложенной в точке К (ВК = 1,5м). Выберем систему координат ВХУ и составим условия равновесия балки в основной форме:

проекции сил на ось Х: - Fcos45 0 – R Ax = 0 (1)

проекции сил на ось Y: -Q - Fsin45 0 + R Ax = 0 (2)

сумма моментов:m A (F) = m 1 – m 2 + m A + Q*KA + F”*CA = 0 (3)

СилуF разложим в точке С на две взаимно перпендикулярные составляющие F” и F’; сила F’ момента относительно точки А не создает, так как линия действия силы проходит через точку А. Модуль силы F” = Fcos45 0 = F(2) 1/2 /2.

Подставляя численные значения в уравнения (1), (2) и (3), получим:

Вданной системе трех уравнений имеются три неизвестные, поэтому система имеет решение и притом только единственное.

4*10 4 *0,7 = R Ax R Ax = 2.8*10 4 H

3*10 4 *3 – 4*10 4 *0.7 + R Ay = 0 R Ay = 11.8*10 4 H

m A – 10 4 + 3*10 4 *3*8.5 + 4*10 4 *2.8 = 0 m A = - 86.8*10 4 H*м

Ответ: R Ax = 2.8*10 4 H; R Ay = 11.8*10 4 H; m A = - 86.8*10 4 H*м.

Пример 2. Определить реакции опор А, В, С и шарнира D составной балки (рис. 4.3).

q = 1,75*10 4 H/м; F = 6*10 4 H; P = 5*10 4 H.

Решение: По принципу освобождаемости от связей заменим связи соответствующими реакциями.

Распределенную нагрузкуq заменим эквивалентной сосредоточенной силой Q = q*KA, приложенной в точке М (АМ = 2м). Количество неизвестных сил реакции: R Ax , R Ay , R B , R C и две пары составляющих сил реакции в шарнире D.

Рассмотрим отдельно реакции в шарниреD. Для этого рассмотрим отдельно балки AD и DE (рис. 4.5а, 4.5б).

По третьему закону Ньютона в шарниреD на балку KD действует система сил R Dx и R Dy , а на балку DE система сил противоположная: R’ Dx и R’ Dy , причем модули сил попарно равны, т.е. R Dx = R Dx и R Dy = R Dy . Это внутренние силы составной балки, поэтому количество неизвестных сил реакции составляет шесть. Для их определения надо составить шесть независимых уравнений состояний равновесия. Возможны следующие варианты составления уравнений состояния.

Составляем условия равновесия для всей конструкции (3 уравнения) и для отдельного элемента этой конструкции: балки KD или балки DE. При составлении уравнений равновесия для всей конструкции внутренние силы не учитываются, так как при суммировании они взаимно уничтожаются.

Уравнения условия равновесия для всей конструкции:

R Ax – Fcos60 0 = 0

Q - R Ay – Fsin60 0 + R B + R C – P = 0

m A (F) = Q*m A – Fsin60 0 *AN + R B *AB + R C *AC – P*AE = 0

Уравнения условия равновесия для элемента DE:

R’ Dy , + R C – P*DE = 0

M D (F) = R C *DC – P*DE = 0

Таким образом составлено шесть независимых уравнений с шестью неизвестными, поэтому система уравнений имеет решение и причем только единственное. Решая систему уравнений определим неизвестные силы реакции.

Основная теорема статики о приведении произвольной системы сил к заданному центру: Любая плоская система сил эквивалентна одной силе, равной главному вектору системы , приложенному в некоторой точке (центре приведения) и паре сил, момент которой равен главному моменту сил системы относительно центра приведения .

Доказательство теоремы выполняется в такой последовательности: выбирают некоторую точку (например, точку О )в качестве центра приведения и переносят каждую силу в эту точку, добавляя, согласно теореме о параллельном переносе силы, соответствующие пары сил . В результате этого получают систему сходящихся сил , приложенных в точке О , где , и систему добавленных пар сил , моменты которых . Затем заменяют систему сходящихся сил равнодействующей, равной главному вектору системы , а систему пар сил – одной парой сил с моментом, равным главному моменту системы относительно центра приведения. В результате получают, что ~ . Следовательно, теорема доказана.

Случаи приведения пространственной системы сил к простейшему виду:

1 , а – система сводится к одной паре сил с моментом, равным главному моменту системы, и значение главного момента системы от выбора центра приведения не зависит.

2 , а – система сил приводится к равнодействующей, равной главному вектору системы, линия действия которой проходит через центр О приведения.

3 , и –такая система сил сводится к одной равнодействующей , равной главному вектору системы, линия действия которой смещена от предыдущего центра приведения на расстояние .

4 Если главный вектор и главный момент , то система сил будет уравновешенной, т.е. ~0.

2.1.5 Условия равновесия плоской системы сил

Необходимые и достаточные условия равновесия любой плоской системы сил определяются уравнениями:

Величина главного вектора плоской системы сил определяется зависимостями: , а главного момента – зависимостью .

Главный вектор будет равняться нулю только тогда, когда одновременно . Следовательно, условия равновесия выполняются при выполнении таких аналитических уравнений:

Эти уравнения являются основной (первой ) формой аналитических условий равновесия произвольной плоской системы сил, которые формулируются так: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки на плоскости действия сил равнялись нулю .

Отметим, что число уравнений равновесия произвольной плоской системы сил в общем случае равняется трём. Они могут быть представлены в разной форме.

Существуют еще две формы уравнений равновесия произвольной плоской системы сил, выполнение которых выражает условия равновесия ().

Вторая форма аналитических условий равновесия предусматривает: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно двух точек и сумма проекций этих сил на ось, неперпендикулярную к прямой, проведенной через эти точки равнялись нулю:

(линия АВ неперпендикулярна оси Ох )

Сформулируем третью форму аналитических условий равновесия рассматриваемой системы сил: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов сил системы относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой, равнялись нулю :

В случае плоской системы параллельных сил, можно направить ось Оу параллельно силам системы. Тогда проекции каждой из сил системы на ось Ох будут равняться нулю. В итоге для плоской системы параллельных сил останутся две формы условий равновесия.

Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на параллельную им ось и сумма моментов всех сил относительно любой точки равнялись нулю:

Эта первая форма аналитических условий равновесия для плоской системы параллельных сил вытекает из уравнений ().

Вторую форму условий равновесия плоской системы параллельных сил получим из уравнений ().

Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил системы относительно двух точек, которые не лежат на прямой, параллельной силам, равнялись нулю: