Как найти площадь параллелограмма. Параллелограмм в задачах Площадь параллелограмма можно
Площадь параллелограмма
Теорема 1
Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.
где $a$ сторона параллелограмма, $h$ - высота, проведенная к этой стороне.
Доказательство.
Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, у которого $AD=BC=a$. Проведем высоты $DF$ и $AE$ (рис. 1).
Рисунок 1.
Очевидно, что фигура $FDAE$ -- прямоугольник.
\[\angle BAE={90}^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-{90}^0={180}^0-\angle A-{90}^0={90}^0-\angle A=\angle BAE\]
Следовательно, так как $CD=AB,\ DF=AE=h$, по $I$ признаку равенства треугольников $\triangle BAE=\triangle CDF$. Тогда
Значит по теореме о площади прямоугольника :
Теорема доказана.
Теорема 2
Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.
Математически это можно записать следующим образом
где $a,\ b$ стороны параллелограмма, $\alpha $ -- угол между ними.
Доказательство.
Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, у которого $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Проведем высоту $DF=h$ (рис. 2).
Рисунок 2.
По определению синуса, получим
Следовательно
Значит, по теореме $1$:
Теорема доказана.
Площадь треугольника
Теорема 3
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.
Математически это можно записать следующим образом
где $a$ сторона треугольника, $h$ - высота, проведенная к этой стороне.
Доказательство.
Рисунок 3.
Значит по теореме $1$:
Теорема доказана.
Теорема 4
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.
Математически это можно записать следующим образом
где $a,\ b$ стороны треугольника, $\alpha $ -- угол между ними.
Доказательство.
Пусть нам дан треугольник $ABC$, у которого $AB=a$. Проведем высоту $CH=h$. Достроим его до параллелограмма $ABCD$ (рис. 3).
Очевидно, что по $I$ признаку равенства треугольников $\triangle ACB=\triangle CDB$. Тогда
Значит по теореме $1$:
Теорема доказана.
Площадь трапеции
Теорема 5
Площадь трапеции определяется как половина произведения суммы длин его оснований, на его высоту.
Математически это можно записать следующим образом
Доказательство.
Пусть нам дана трапеция $ABCK$, где $AK=a,\ BC=b$. Проведем в ней высоты $BM=h$ и $KP=h$, а также диагональ $BK$ (рис. 4).
Рисунок 4.
По теореме $3$, получим
Теорема доказана.
Пример задачи
Пример 1
Найти площадь равностороннего треугольника, если длина его стороны равняется $a.$
Решение.
Так как треугольник равносторонний, то все его углы равняются ${60}^0$.
Тогда, по теореме $4$, имеем
Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Заметим, что результат этой задачи можно применять при нахождении площади любого равностороннего треугольника с данной стороной.
При решении задач по данной теме кроме основных свойств параллелограмма и соответственных формул можно запомнить и применять следующее:
- Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
- Биссектрисы внутренних углов прилежащие к одной из сторон параллелограмма взаимно перпендикулярные
- Биссектрисы, выходящие из противоположных внутренних углов параллелограмма, параллельные между собой либо лежат на одной прямой
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
- Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними
Рассмотрим задачи, при решении которых используются данные свойства.
Задача 1.
Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если АЕ = 4, DМ = 3.
Решение.
1. Треугольник СМD равнобедренный. (Свойство 1). Следовательно, СD = МD = 3 см.
2. Треугольник ЕАМ равнобедренный.
Следовательно, АЕ = АМ = 4 см.
3. АD = АМ + МD = 7 см.
4. Периметр АВСD = 20 см.
Ответ. 20 см.
Задача 2.
В выпуклом четырёхугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырёхугольник является параллелограммом.
Решение.
1. Пусть ВЕ – высота треугольника АВD, СF – высота треугольника АCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание АD, то высоты этих треугольников равны. ВЕ = СF.
2. ВЕ, СF перпендикулярны АD. Точки В и С расположены по одну сторону относительно прямой АD. ВЕ = СF. Следовательно, прямая ВС || AD. (*)
3. Пусть АL – высота треугольника АСD, BK – высота треугольника BCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание СD, то высоты этих треугольников равны. АL = BK.
4. АL и BK перпендикулярны СD. Точки В и А расположены по одну сторону относительно прямой СD. АL = BK. Следовательно, прямая АВ || СD (**)
5. Из условий (*), (**) вытекает – АВСD параллелограмм.
Ответ. Доказано. АВСD – параллелограмм.
Задача 3.
На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВМ и НD пересекаются в точке О; <ВМD = 95 о,
Решение.
1. В треугольнике DОМ <МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. В прямоугольном треугольнике DНС Тогда <НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Но СD = АВ. Тогда АВ: НD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Ответ: АВ: НD = 2: 1, <А = <С = 30 о, <В = Задача 4.
Одна из диагоналей параллелограмма длиною 4√6, составляет с основанием угол 60 о, а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45 о. Найти вторую диагональ.
Решение.
1. АО = 2√6. 2. К треугольнику АОD применим теорему синусов. АО/sin D = OD/sin А. 2√6/sin 45 о = OD/sin 60 о. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Ответ: 12.
Задача 5.
У параллелограмма со сторонами 5√2 и 7√2 меньший угол между диагоналями равен меньшему углу параллелограмма. Найдите сумму длин диагоналей.
Решение.
Пусть d 1 , d 2 – диагонали параллелограмма, а угол между диагоналями и меньший угол параллелограмма равен ф. 1. Посчитаем двумя разными S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф, S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф. Получим равенство 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф или 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Используя соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма запишем равенство (АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2 . ((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Составим систему: {d 1 2 + d 2 2 = 296, Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим с первым. Получим (d 1 + d 2) 2 = 576. Отсюда Id 1 + d 2 I = 24. Так как d 1 , d 2 – длины диагоналей параллелограмма, то d 1 + d 2 = 24. Ответ: 24.
Задача 6.
Стороны параллелограмма 4 и 6. Острый угол между диагоналями равен 45 о. Найдите площадь параллелограмма.
Решение.
1. Из треугольника АОВ, используя теорему косинусов, запишем соотношение между стороной параллелограмма и диагоналями. АВ 2 = АО 2 + ВО 2 2 · АО · ВО · cos АОВ. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)cos 45 о; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Аналогично запишем соотношение для треугольника АОD. Учтем, что <АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Получим уравнение d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Имеем систему Вычитая из второго уравнения первое, получим 2d 1 · d 2 √2 = 80 или d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10. Примечание:
В этой и в предыдущей задаче нет надобности, решать полностью систему, предвидя то, что в данной задаче для вычисления площади нам нужно произведение диагоналей. Ответ: 10.
Задача 7.
Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны равны 8 и 15. Найдите квадрат меньшей диагонали.
Решение.
1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Сделаем подстановку в формулу. Получим 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Отсюда sin ВAD = 4 / 5 . 2. Найдём cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 . По условию задачи мы находим длину меньшей диагонали. Диагональ ВD будет меньшей, если угол ВАD острый. Тогда cos ВАD = 3 / 5. 3. Из треугольника АВD по теореме косинусов найдём квадрат диагонали ВD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВАD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145. Ответ: 145.
Остались вопросы? Не знаете, как решить геометрическую задачу? сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. Прежде чем узнать, как найти площадь параллелограмма, нам необходимо вспомнить, что такое параллелограмм и что называется его высотой. Параллелограмм – четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (лежат на параллельных прямых). Перпендикуляр, проведенный из произвольной точки противоположной стороны к прямой, содержащей эту сторону называется высотой параллелограмма. Квадрат, прямоугольник и ромб – это частные случаи параллелограмма. Площадь параллелограмма обозначается как (S). S=a*h
, где а – это основание, h – это высота, которая проведена к основанию. S=a*b*sinα
, где a и b – это основания, а α - угол между основаниями а и b. S =p*r
, где р – это полупериметр, r – это радиус окружности, которая вписана в параллелограмм. Площадь параллелограмма, который образован векторами a и b равна модулю произведения заданных векторов, а именно: Рассмотрим пример №1: Дан параллелограмм, сторона которого равна 7 см, а высота 3 см. Как найти площадь параллелограмма, формула для решения нам необходима. Таким образом, S= 7x3. S=21. Ответ: 21 см 2 . Рассмотрим пример №2: Даны основания 6 и 7 см, а также дан угол между основаниями 60 градусов. Как найти площадь параллелограмма? Формула, используемая для решения: Таким образом, сначала найдем синус угла. Синус 60 = 0,5, соответственно S = 6*7*0,5=21 Ответ: 21 см 2 . Надеюсь, что эти примеры Вам помогут при решении задач. И помните, главное – это знание формул и внимательность Что такое параллелограмм? Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 1. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \[ \LARGE S = a \cdot h_{a}\] где: 2. Если известны длины двух смежных сторон параллелограмма и угол между ними, то площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \] 3. Если заданы диагонали параллелограмма и известен угол между ними, то площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \[ \LARGE S = \frac{1}{2} \cdot d_{1} \cdot d_{2} \cdot sin(\alpha) \] В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB = CD \)
, \(BC = AD \)
В параллелограмме противоположные углы равны: \(\angle A = \angle C \)
, \(\angle B = \angle D \)
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам \(AO = OC \)
, \(BO = OD \)
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180 o: \(\angle A + \angle B = 180^{o} \), \(\angle B + \angle C = 180^{o}\)
\(\angle C + \angle D = 180^{o} \), \(\angle D + \angle A = 180^{o}\)
Диагонали и стороны параллелограмма связаны следующим соотношением: \(d_{1}^{2} + d_{2}^2 = 2a^{2} + 2b^{2} \)
В параллелограмме угол между высотами равен его острому углу: \(\angle K B H =\angle A \)
. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, взаимно перпендикулярны. Биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны. Четырехугольник будет параллелограммом, если: \(AB = CD \)
и \(AB || CD \)
\(AB = CD \)
и \(BC = AD \)
\(AO = OC \)
и \(BO = OD \)
\(\angle A = \angle C \)
и \(\angle B = \angle D \)
Площадь геометрической фигуры
- численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц. a · b · sin α Где S - Площадь трапеции,
(
(Так как в прямоугольном треугольнике катет, который лежит против угла в 30 о, равен половине гипотенузы).
способами его площадь.
{d 1 + d 2 = 140.
{d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
{d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
Формулы нахождения площади параллелограмма
a – сторона параллелограмма,
h a – высота, проведенная к этой стороне.Свойства параллелограмма
Признаки параллелограмма
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Формулы площади треугольника
Площадь треугольника
равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Площадь треугольника
равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
- длины сторон треугольника,
- высота треугольника,
- угол между сторонами и,
- радиус вписанной окружности,
R - радиус описанной окружности,Формулы площади квадрата
Площадь квадрата
равна квадрату длины его стороны.
Площадь квадрата
равна половине квадрата длины его диагонали.S =
1
2
2
- длина стороны квадрата,
- длина диагонали квадрата.
Формула площади прямоугольника
Площадь прямоугольника
равна произведению длин двух его смежных сторон
где S - Площадь прямоугольника,
- длины сторон прямоугольника.Формулы площади параллелограмма
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма
равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
- длины сторон параллелограмма,
- длина высоты параллелограмма,
- угол между сторонами параллелограмма.
Формулы площади ромба
Площадь ромба
равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
Площадь ромба
равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
Площадь ромба
равна половине произведению длин его диагоналей.
- длина стороны ромба,
- длина высоты ромба,
- угол между сторонами ромба,
1 , 2 - длины диагоналей.
Формулы площади трапеции
- длины основ трапеции,
- длины боковых сторон трапеции,
